Ushbu geometrik shakl va uning xususiyatlari haqidagi savollarni o'rganishdan oldin, ba'zi atamalarni tushunishingiz kerak. Inson piramida haqida eshitsa, Misrdagi ulkan binolarni tasavvur qiladi. Eng oddiylari shunday ko'rinadi. Ammo ular sodir bo'ladi har xil turlari va shakllar, ya'ni geometrik shakllar uchun hisoblash formulasi boshqacha bo'ladi.

Piramida - geometrik shakl, bir nechta yuzlarni bildiruvchi va ifodalovchi. Aslini olganda, bu xuddi shu ko'pburchak bo'lib, uning poydevorida ko'pburchak yotadi va yon tomonlarida bir nuqtada - tepada tutashadigan uchburchaklar mavjud. Rasm ikkita asosiy turga bo'linadi:

  • to'g'ri;
  • kesilgan.

Birinchi holda, asos muntazam ko'pburchakdir. Bu erda barcha lateral yuzalar tengdir o'zlari va figuraning o'zi o'rtasida perfektsionistning ko'zini quvontiradi.

Ikkinchi holda, ikkita tayanch mavjud - eng pastki qismida katta va yuqori o'rtasida kichik, asosiyning shaklini takrorlaydi. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, kesilgan piramida - bu ko'ndalang kesimi asosga parallel ravishda hosil bo'lgan ko'pburchak.

Shartlar va belgilar

Asosiy shartlar:

  • Muntazam (teng tomonli) uchburchak- uchta teng burchakli va teng tomonlari bo'lgan figura. Bunday holda, barcha burchaklar 60 daraja. Shakl oddiy ko'pburchaklarning eng oddiyidir. Agar bu raqam poydevorda bo'lsa, unda bunday ko'pburchak muntazam uchburchak deb ataladi. Agar asos kvadrat bo'lsa, piramida oddiy to'rtburchak piramida deb ataladi.
  • Vertex– qirralarning tutashgan eng yuqori nuqtasi. Cho'qqining balandligi piramidaning cho'qqisidan poydevorigacha cho'zilgan to'g'ri chiziq orqali hosil bo'ladi.
  • Chet– ko‘pburchak tekisliklaridan biri. U uchburchakli piramida holatida uchburchak shaklida yoki kesilgan piramida uchun trapezoid shaklida bo'lishi mumkin.
  • Bo'lim- parchalanish natijasida hosil bo'lgan tekis shakl. Uni bo'lim bilan aralashtirib yubormaslik kerak, chunki bo'lim bo'lim ortida nima borligini ham ko'rsatadi.
  • Apotema- piramidaning tepasidan poydevorigacha chizilgan segment. Bundan tashqari, ikkinchi balandlik nuqtasi joylashgan yuzning balandligi. Bu ta'rif faqat oddiy ko'pburchak uchun amal qiladi. Misol uchun, agar bu kesilgan piramida bo'lmasa, unda yuz uchburchak bo'ladi. Bunday holda, bu uchburchakning balandligi apothemga aylanadi.

Hudud formulalari

Piramidaning lateral sirt maydonini toping har qanday turdagi bir necha usulda amalga oshirilishi mumkin. Agar raqam nosimmetrik bo'lmasa va turli tomonlari bo'lgan ko'pburchak bo'lsa, unda bu holda hisoblash osonroq bo'ladi. umumiy maydoni barcha sirtlarning umumiyligi orqali yuzalar. Boshqacha qilib aytganda, siz har bir yuzning maydonini hisoblashingiz va ularni bir-biriga qo'shishingiz kerak.

Qaysi parametrlar ma'lum bo'lganiga qarab, kvadrat, trapezoid, o'zboshimchalik bilan to'rtburchak va boshqalarni hisoblash uchun formulalar talab qilinishi mumkin. Turli holatlarda formulalarning o'zi farqlari ham bo‘ladi.

Oddiy raqam bo'lsa, maydonni topish ancha oson. Faqat bir nechta asosiy parametrlarni bilish kifoya. Ko'pgina hollarda, bunday raqamlar uchun hisob-kitoblar maxsus talab qilinadi. Shuning uchun tegishli formulalar quyida keltirilgan. Aks holda, siz hamma narsani bir necha sahifaga yozishingiz kerak bo'ladi, bu sizni chalkashtirib yuboradi.

Hisoblash uchun asosiy formula muntazam piramidaning lateral yuzasiga ega bo'ladi keyingi ko'rinish:

S=½ Pa (P - asosning perimetri va apotema)

Keling, bitta misolni ko'rib chiqaylik. Ko'pburchakning A1, A2, A3, A4, A5 segmentlari bo'lgan asosi bor va ularning barchasi 10 sm ga teng Apotem 5 sm ga teng bo'lsin, avval siz perimetrni topishingiz kerak. Bazaning barcha besh yuzi bir xil bo'lganligi sababli, uni quyidagicha topishingiz mumkin: P = 5 * 10 = 50 sm Keyinchalik, biz asosiy formulani qo'llaymiz: S = ½ * 50 * 5 = 125 sm kvadrat.

Muntazam uchburchak piramidaning lateral yuzasi hisoblash uchun eng oson. Formula quyidagicha ko'rinadi:

S =½* ab *3, bu erda a - apotema, b - asosning yuzi. Bu erda uchta omil taglikning yuzlari sonini, birinchi qism esa yon yuzaning maydonini bildiradi. Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik. Apotemli 5 sm va tayanch qirrasi 8 sm bo'lgan raqam berilgan, Biz hisoblaymiz: S = 1/2*5*8*3=60 sm kvadrat.

Kesilgan piramidaning lateral yuzasi Hisoblash biroz qiyinroq. Formula quyidagicha ko'rinadi: S =1/2*(p_01+ p_02)*a, bu erda p_01 va p_02 asoslarning perimetrlari va apotemdir. Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik. Aytaylik, to'rtburchak figura uchun asoslar tomonlarining o'lchamlari 3 va 6 sm, apotem esa 4 sm.

Bu yerda, avvalo, asoslarning perimetrlarini topish kerak: r_01 =3*4=12 sm; r_02=6*4=24 sm qiymatlarni asosiy formulaga almashtirish qoladi va biz quyidagilarni olamiz: S =1/2*(12+24)*4=0,5*36*4=72 sm kvadrat.

Shunday qilib, har qanday murakkablikdagi oddiy piramidaning lateral sirt maydonini topishingiz mumkin. Siz ehtiyot bo'lishingiz va chalkashmasligingiz kerak bilan bu hisob-kitoblar to'liq maydon butun ko'pburchak. Va agar siz hali ham buni qilishingiz kerak bo'lsa, shunchaki ko'pburchakning eng katta poydevorining maydonini hisoblang va uni ko'pburchakning lateral yuzasi maydoniga qo'shing.

Video

Ushbu video sizga turli xil piramidalarning lateral sirtini qanday topish haqida ma'lumotni birlashtirishga yordam beradi.

Savolingizga javob olmadingizmi? Mualliflarga mavzu taklif qiling.

Matematika bo'yicha yagona davlat imtihoniga tayyorgarlik ko'rayotganda talabalar algebra va geometriya bo'yicha bilimlarini tizimlashtirishlari kerak. Men barcha ma'lum ma'lumotlarni, masalan, piramidaning maydonini qanday hisoblashni birlashtirmoqchiman. Bundan tashqari, taglik va yon qirralardan butun sirt maydoniga qadar. Agar yon yuzlar bilan vaziyat aniq bo'lsa, ular uchburchaklar bo'lganligi sababli, taglik har doim boshqacha bo'ladi.

Piramida poydevorining maydonini qanday topish mumkin?

Bu mutlaqo har qanday raqam bo'lishi mumkin: ixtiyoriy uchburchakdan n-gongacha. Va bu asos, burchaklar sonining farqiga qo'shimcha ravishda, muntazam shakl yoki tartibsiz bo'lishi mumkin. Maktab o'quvchilarini qiziqtiradigan Yagona davlat imtihonidagi topshiriqlarda faqat bazada to'g'ri raqamlar bo'lgan vazifalar mavjud. Shuning uchun biz faqat ular haqida gaplashamiz.

Oddiy uchburchak

Ya'ni, teng qirrali. Barcha tomonlar teng bo'lgan va "a" harfi bilan belgilangan. Bunday holda, piramida poydevorining maydoni quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

S = (a 2 * √3) / 4.

Kvadrat

Uning maydonini hisoblash formulasi eng oddiy, bu erda "a" yana tomon:

Ixtiyoriy muntazam n-gon

Ko'pburchakning tomoni bir xil belgiga ega. Burchaklar soni uchun lotincha n harfi ishlatiladi.

S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n)).

Yanal va umumiy sirt maydonini hisoblashda nima qilish kerak?

Poydevor muntazam shakl bo'lgani uchun piramidaning barcha yuzlari tengdir. Bundan tashqari, ularning har biri teng yonli uchburchakdir, chunki lateral qovurg'alar teng. Keyin, piramidaning lateral maydonini hisoblash uchun sizga bir xil monomiallarning yig'indisidan iborat formula kerak bo'ladi. Terminlar soni bazaning tomonlar soniga qarab belgilanadi.

Kvadrat teng yonli uchburchak bazaning mahsulotining yarmi balandlikka ko'paytiriladigan formuladan foydalanib hisoblanadi. Piramidadagi bu balandlik apotema deb ataladi. Uning belgisi "A". Yon sirt maydonining umumiy formulasi:

S = ½ P*A, bu erda P - piramida poydevorining perimetri.

Poydevorning tomonlari noma'lum bo'lgan holatlar mavjud, lekin yon qirralari (c) va uning cho'qqisidagi tekis burchak (a) berilgan. Keyin piramidaning lateral maydonini hisoblash uchun quyidagi formuladan foydalanishingiz kerak:

2 sin a ichida S = n/2 * .

Vazifa № 1

Vaziyat. Piramidaning umumiy maydonini toping, agar uning poydevori tomoni 4 sm va apotemning qiymati √3 sm bo'lsa.

Yechim. Baza perimetrini hisoblashdan boshlashingiz kerak. Bu oddiy uchburchak bo'lganligi sababli, P = 3 * 4 = 12 sm, apotem ma'lum bo'lgani uchun, biz darhol butun lateral yuzaning maydonini hisoblashimiz mumkin: ½ * 12 * √3 = 6√3 sm 2.

Poydevordagi uchburchak uchun siz quyidagi maydon qiymatini olasiz: (4 2 *√3) / 4 = 4√3 sm 2.

Butun maydonni aniqlash uchun siz ikkita natijani qo'shishingiz kerak bo'ladi: 6√3 + 4√3 = 10√3 sm 2.

Javob. 10√3 sm 2.

Muammo № 2

Vaziyat. Muntazam to'rtburchak piramida mavjud. Asosiy tomonining uzunligi 7 mm, yon qirrasi 16 mm. Uning sirt maydonini aniqlash kerak.

Yechim. Ko'pburchak to'rtburchak va muntazam bo'lgani uchun uning asosi kvadratdir. Poydevor va yon tomonlarning maydonini bilganingizdan so'ng, siz piramidaning maydonini hisoblashingiz mumkin. Kvadrat uchun formula yuqorida keltirilgan. Yon yuzlar uchun esa uchburchakning barcha tomonlari ma'lum. Shuning uchun ularning maydonlarini hisoblash uchun Heron formulasidan foydalanish mumkin.

Birinchi hisob-kitoblar oddiy va quyidagi raqamga olib keladi: 49 mm 2. Ikkinchi qiymat uchun siz yarim perimetrni hisoblashingiz kerak bo'ladi: (7 + 16 * 2): 2 = 19,5 mm. Endi siz teng yonli uchburchakning maydonini hisoblashingiz mumkin: √(19,5*(19,5-7)*(19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm 2. Bunday uchburchaklar faqat to'rtta, shuning uchun yakuniy raqamni hisoblashda uni 4 ga ko'paytirish kerak bo'ladi.

Ko'rinib turibdiki: 49 + 4 * 54,644 = 267,576 mm 2.

Javob. Kerakli qiymat - 267,576 mm 2.

Muammo № 3

Vaziyat. Muntazam to'rtburchak piramida uchun siz maydonni hisoblashingiz kerak. Kvadratning yon tomoni 6 sm, balandligi esa 4 sm ekanligi ma'lum.

Yechim. Eng oson yo'li - perimetr va apotem mahsuloti bilan formuladan foydalanish. Birinchi qiymatni topish oson. Ikkinchisi biroz murakkabroq.

Biz Pifagor teoremasini esga olishimiz kerak va u piramidaning balandligi va gipotenuza bo'lgan apotema bilan tuzilgan deb hisoblashimiz kerak. Ikkinchi oyoq kvadratning yarmiga teng, chunki ko'pburchakning balandligi uning o'rtasiga to'g'ri keladi.

Kerakli apotema (to'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzasi) √(3 2 + 4 2) = 5 (sm) ga teng.

Endi siz kerakli qiymatni hisoblashingiz mumkin: ½*(4*6)*5+6 2 = 96 (sm 2).

Javob. 96 sm 2.

Muammo № 4

Vaziyat. To'g'ri tomoni berilgan: uning poydevorining yon tomonlari 22 mm, yon qirralari 61 mm. Ushbu ko'pburchakning lateral yuzasi qancha?

Yechim. Undagi mulohazalar 2-sonli vazifada tasvirlangan bilan bir xil. Faqat u erda poydevorda kvadrat bo'lgan piramida berilgan va endi u olti burchakli.

Avvalo, tayanch maydoni yuqoridagi formula bo'yicha hisoblanadi: (6*22 2) / (4*tg (180º/6)) = 726/(tg30º) = 726√3 sm 2.

Endi siz yon yuzi bo'lgan teng yonli uchburchakning yarim perimetrini topishingiz kerak. (22 + 61 * 2): 2 = 72 sm, har bir uchburchakning maydonini hisoblash uchun Heron formulasidan foydalanish va keyin uni oltiga ko'paytirish va uni asos uchun olinganga qo'shish qoladi.

Heron formulasi yordamida hisoblar: √(72*(72-22)*(72-61) 2)=√435600=660 sm 2. Yon sirt maydonini beradigan hisob-kitoblar: 660 * 6 = 3960 sm 2. Butun sirtni aniqlash uchun ularni qo'shish kerak: 5217,47≈5217 sm 2.

Javob. Baza 726√3 sm 2, yon yuzasi 3960 sm 2, butun maydoni 5217 sm 2.

Piramidaning sirt maydoni. Ushbu maqolada biz oddiy piramidalar bilan bog'liq muammolarni ko'rib chiqamiz. Eslatib o'taman, muntazam piramida asosi muntazam ko'pburchak bo'lgan piramida bo'lib, piramidaning tepasi shu ko'pburchakning markaziga proyeksiyalangan.

Bunday piramidaning yon yuzi teng yonli uchburchakdir.Muntazam piramida cho'qqisidan chizilgan bu uchburchakning balandligi apothem, SF - apotema deyiladi:

Quyida keltirilgan muammo turida siz butun piramidaning sirt maydonini yoki uning lateral yuzasining maydonini topishingiz kerak. Blog allaqachon oddiy piramidalar bilan bog'liq bir nechta muammolarni muhokama qilgan, bu erda elementlarni (balandlik, taglik cheti, yon chekka) topish masalasi ko'tarilgan.

IN Yagona davlat imtihon topshiriqlari Qoida tariqasida, muntazam uchburchak, to'rtburchak va olti burchakli piramidalar ko'rib chiqiladi. Muntazam beshburchak va etti burchakli piramidalar bilan bog'liq hech qanday muammo ko'rmadim.

Butun yuzaning maydoni uchun formula oddiy - siz piramida asosining maydoni va uning lateral yuzasining yig'indisini topishingiz kerak:

Keling, vazifalarni ko'rib chiqaylik:

Muntazam toʻrtburchakli piramida poydevorining tomonlari 72, yon qirralari 164. Ushbu piramidaning sirt maydonini toping.

Piramidaning sirt maydoni lateral yuzasi va poydevori maydonlarining yig'indisiga teng:

*Yan yuzasi teng maydonli to'rtta uchburchakdan iborat. Piramidaning asosi kvadratdir.

Biz piramidaning yon tomonining maydonini hisoblashimiz mumkin:


Shunday qilib, piramidaning sirt maydoni:

Javob: 28224

Muntazam olti burchakli piramida asosining tomonlari 22 ga, yon qirralari 61 ga teng. Ushbu piramidaning lateral sirt maydonini toping.

Muntazam olti burchakli piramidaning asosi muntazam olti burchakli.

Ushbu piramidaning lateral yuzasi tomonlari 61,61 va 22 bo'lgan teng uchburchaklarning oltita maydonidan iborat:

Keling, Heron formulasidan foydalanib, uchburchakning maydonini topamiz:


Shunday qilib, lateral sirt maydoni:

Javob: 3240

*Yuqorida keltirilgan masalalarda yon yuzning maydonini boshqa uchburchak formulasi yordamida topish mumkin, ammo buning uchun siz apotemni hisoblashingiz kerak.

27155. Asos tomonlari 6, balandligi 4 ga teng bo‘lgan muntazam to‘rtburchak piramidaning sirt maydonini toping.

Piramidaning sirt maydonini topish uchun biz poydevorning maydoni va lateral yuzaning maydonini bilishimiz kerak:

Poydevorning maydoni 36 ga teng, chunki u 6 tomoni bo'lgan kvadrat.

Yon yuzasi to'rtta yuzdan iborat bo'lib, ular teng uchburchaklar. Bunday uchburchakning maydonini topish uchun siz uning asosi va balandligini bilishingiz kerak (apotem):

*Uchburchakning maydoni poydevor va bu asosga chizilgan balandlikning yarmiga teng.

Baza ma'lum, u oltiga teng. Keling, balandlikni topamiz. To'g'ri uchburchakni ko'rib chiqing (sariq bilan belgilangan):

Bir oyoq 4 ga teng, chunki bu piramidaning balandligi, ikkinchisi esa 3 ga teng, chunki u poydevorning yarmiga teng. Pifagor teoremasi yordamida gipotenuzani topishimiz mumkin:

Bu shuni anglatadiki, piramidaning lateral yuzasi maydoni:

Shunday qilib, butun piramidaning sirt maydoni:

Javob: 96

27069. Muntazam to‘rtburchakli piramida asosining tomonlari 10 ga, yon qirralari 13 ga teng. Ushbu piramidaning sirt maydonini toping.

27070. Muntazam olti burchakli piramida asosining tomonlari 10 ga, yon qirralari 13 ga teng. Ushbu piramidaning lateral sirt maydonini toping.

Oddiy piramidaning lateral yuzasi uchun formulalar ham mavjud. Oddiy piramidada asos lateral yuzaning ortogonal proyeksiyasidir, shuning uchun:

P- asosiy perimetri, l- piramidaning apothemi

*Ushbu formula uchburchak maydoni formulasiga asoslangan.

Agar siz ushbu formulalar qanday olinganligi haqida ko'proq bilmoqchi bo'lsangiz, uni o'tkazib yubormang, maqolalar nashrini kuzatib boring.Ana xolos. Sizga omad!

Hurmat bilan, Aleksandr Krutitskix.

P.S: Ijtimoiy tarmoqlardagi sayt haqida ma'lumot bersangiz, minnatdor bo'laman.

ko'p qirrali figura bo'lib, uning asosi ko'pburchak bo'lib, qolgan yuzlar umumiy uchi bo'lgan uchburchaklar bilan ifodalanadi.

Agar asos kvadrat bo'lsa, u holda piramida deyiladi to'rtburchak, agar uchburchak bo'lsa - keyin uchburchak. Piramidaning balandligi uning tepasidan poydevorga perpendikulyar ravishda chiziladi. Shuningdek, maydonni hisoblash uchun ishlatiladi apotema- yon yuzining balandligi, uning tepasidan tushirilgan.
Piramidaning lateral yuzasining maydoni formulasi uning lateral yuzlarining bir-biriga teng bo'lgan maydonlarining yig'indisidir. Biroq, bu hisoblash usuli juda kamdan-kam qo'llaniladi. Asosan, piramidaning maydoni poydevor va apotema perimetri orqali hisoblanadi:

Keling, piramidaning lateral yuzasi maydonini hisoblash misolini ko'rib chiqaylik.

Piramida ABCDE asosi va F tepasi bilan berilgan bo'lsin. AB =BC =CD =DE =EA =3 sm Apotem a = 5 sm.
Keling, perimetrni topamiz. Poydevorning barcha qirralari teng bo'lganligi sababli, beshburchakning perimetri quyidagilarga teng bo'ladi:
Endi siz piramidaning lateral maydonini topishingiz mumkin:

Muntazam uchburchak piramidaning maydoni


Muntazam uchburchak piramida oddiy uchburchak yotadigan poydevor va maydoni teng bo'lgan uchta yon yuzdan iborat.
Oddiy uchburchak piramidaning lateral sirt maydoni uchun formulani hisoblash mumkin turli yo'llar bilan. Siz perimetr va apotem yordamida odatiy hisoblash formulasini qo'llashingiz mumkin yoki bitta yuzning maydonini topib, uni uchga ko'paytirishingiz mumkin. Piramidaning yuzi uchburchak bo'lganligi sababli, biz uchburchakning maydoni uchun formulani qo'llaymiz. Buning uchun apotem va taglikning uzunligi kerak bo'ladi. Oddiy uchburchak piramidaning lateral sirt maydonini hisoblash misolini ko'rib chiqaylik.

Apotemli a = 4 sm va asosiy yuzi b = 2 sm bo'lgan piramida berilgan bo'lsa, piramidaning lateral yuzasi maydonini toping.
Birinchidan, yon yuzlardan birining maydonini toping. Bu holda shunday bo'ladi:
Qiymatlarni formulaga almashtiring:
Oddiy piramidada barcha tomonlar bir xil bo'lganligi sababli, piramidaning yon yuzasining maydoni uchta yuzning maydonlari yig'indisiga teng bo'ladi. Mos ravishda:

Kesilgan piramidaning maydoni


Kesilgan Piramida - bu piramida va uning kesimi poydevorga parallel bo'lgan ko'pburchak.
Kesilgan piramidaning lateral sirt maydoni uchun formula juda oddiy. Maydoni asoslar va apotema perimetrlari yig'indisining yarmining ko'paytmasiga teng:

Ko'rsatmalar

Avvalo, piramidaning lateral yuzasi bir nechta uchburchaklar bilan ifodalanganligini tushunish kerak, ularning maydonlarini ma'lum ma'lumotlarga qarab turli formulalar yordamida topish mumkin:

S = (a*h)/2, bu yerda h - a tomoniga tushirilgan balandlik;

S = a*b*sinb, bu yerda a, b - uchburchakning tomonlari, b - bu tomonlar orasidagi burchak;

S = (r*(a + b + c))/2, bu yerda a, b, c uchburchakning tomonlari, r esa bu uchburchak ichiga chizilgan aylananing radiusi;

S = (a * b * c) / 4 * R, bu erda R - aylana bo'ylab chegaralangan uchburchakning radiusi;

S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R (uchburchak to‘g‘ri burchakli bo‘lsa);

S = S = (a²*√3)/4 (agar uchburchak teng yonli bo'lsa).

Aslida, bu uchburchakning maydonini topish uchun ma'lum bo'lgan eng asosiy formulalardir.

Yuqoridagi formulalar yordamida piramidaning yuzlari bo'lgan barcha uchburchaklarning maydonlarini hisoblab chiqqandan so'ng, siz ushbu piramidaning maydonini hisoblashni boshlashingiz mumkin. Bu juda sodda tarzda amalga oshiriladi: hosil bo'lgan barcha uchburchaklarning maydonlarini qo'shishingiz kerak lateral yuzasi piramidalar. Buni quyidagi formula bilan ifodalash mumkin:

Sp = SSi, bu erda Sp - lateral yuzaning maydoni, Si - uning lateral yuzasining bir qismi bo'lgan i-uchburchakning maydoni.

Aniqroq bo'lish uchun biz kichik bir misolni ko'rib chiqishimiz mumkin: oddiy piramida berilgan, uning yon tomonlari teng qirrali uchburchaklar bilan tuzilgan va uning tagida kvadrat yotadi. Ushbu piramidaning chetining uzunligi 17 sm, bu piramidaning lateral yuzasining maydonini topish kerak.

Yechish: bu piramida chetining uzunligi ma'lum, uning yuzlari teng tomonli uchburchaklar ekanligi ma'lum. Shunday qilib, lateral yuzadagi barcha uchburchaklarning barcha tomonlari 17 sm ga teng deb aytishimiz mumkin, shuning uchun ushbu uchburchaklarning har qandayining maydonini hisoblash uchun siz quyidagi formulani qo'llashingiz kerak bo'ladi.

S = (17²*√3)/4 = (289*1,732)/4 = 125,137 sm²

Ma'lumki, piramidaning tagida kvadrat yotadi. Shunday qilib, to'rtta teng qirrali uchburchak mavjudligi aniq. Keyin piramidaning lateral sirt maydoni quyidagicha hisoblanadi:

125,137 sm² * 4 = 500,548 sm²

Javob: Piramidaning lateral yuzasi 500,548 sm²

Birinchidan, piramidaning lateral yuzasining maydonini hisoblaylik. Yanal sirt barcha lateral yuzlarning maydonlarining yig'indisidir. Agar siz oddiy piramida bilan ishlayotgan bo'lsangiz (ya'ni, uning asosida muntazam ko'pburchak bo'lgan va tepasi ushbu ko'pburchakning markaziga proyeksiyalangan), unda butun lateral sirtni hisoblash uchun uning perimetrini ko'paytirish kifoya qiladi. asos (ya'ni, asosiy piramidada yotgan ko'pburchakning barcha tomonlari uzunligi yig'indisi) yon yuzining balandligi (aks holda apotem deb ataladi) va olingan qiymatni 2 ga bo'ling: Sb = 1/2P* h, bu erda Sb - yon yuzaning maydoni, P - poydevorning perimetri, h - yon yuzning balandligi (apotem).

Agar sizning oldingizda ixtiyoriy piramida bo'lsa, barcha yuzlarning maydonlarini alohida hisoblashingiz va keyin ularni qo'shishingiz kerak bo'ladi. Piramidaning yon tomonlari uchburchaklar bo'lganligi sababli, uchburchakning maydoni uchun formuladan foydalaning: S = 1/2b * h, bu erda b - uchburchakning asosi va h - balandlik. Barcha yuzlarning maydonlari hisoblangandan so'ng, piramidaning lateral yuzasi maydonini olish uchun ularni qo'shish qoladi.

Keyin piramida poydevorining maydonini hisoblashingiz kerak. Hisoblash uchun formulani tanlash piramidaning tagida qaysi ko'pburchak yotishiga bog'liq: muntazam (ya'ni, barcha tomonlari bir xil uzunlikdagi) yoki tartibsiz. Muntazam ko'pburchakning maydonini perimetrni ko'pburchakdagi chizilgan doira radiusiga ko'paytirish va olingan qiymatni 2 ga bo'lish yo'li bilan hisoblash mumkin: Sn = 1/2P * r, bu erda Sn - ko'pburchakning maydoni. ko'pburchak, P - perimetri va r - ko'pburchakda chizilgan doira radiusi.

Kesilgan piramida - bu piramida va uning kesimi poydevorga parallel bo'lgan ko'pburchak. Piramidaning lateral sirt maydonini topish unchalik qiyin emas. Bu juda oddiy: maydon asoslar yig'indisining yarmining ko'paytmasiga teng. Keling, lateral sirt maydonini hisoblash misolini ko'rib chiqaylik. Aytaylik, bizga oddiy piramida berilgan. Poydevorning uzunligi b = 5 sm, apotem a = 4 sm. Piramidaning lateral yuzasining maydonini topish uchun siz avval poydevorlarning perimetrini topishingiz kerak. Katta bazada u p1=4b=4*5=20 sm ga teng bo'ladi, kichikroq bazada formula quyidagicha bo'ladi: p2=4c=4*3=12 sm : s=1/2(20+12 )*4=32/2*4=64 sm.

Agar piramidaning tagida tartibsiz ko'pburchak bo'lsa, butun shaklning maydonini hisoblash uchun siz avval ko'pburchakni uchburchaklarga bo'lishingiz, har birining maydonini hisoblashingiz va keyin ularni qo'shishingiz kerak bo'ladi. Boshqa hollarda, piramidaning yon yuzasini topish uchun siz uning har bir yon yuzining maydonini topishingiz va natijalarni qo'shishingiz kerak. Ba'zi hollarda piramidaning yon yuzasini topish vazifasi osonlashtirilishi mumkin. Agar bir yon yuzi asosga perpendikulyar bo'lsa yoki ikkita qo'shni yon yuzi asosga perpendikulyar bo'lsa, u holda piramida asosi uning yon yuzasi qismining ortogonal proyeksiyasi hisoblanadi va ular formulalar bilan bog'lanadi.

Piramidaning sirt maydonini hisoblashni yakunlash uchun piramidaning yon yuzasi va poydevorining maydonlarini qo'shing.

Piramida ko'pburchak bo'lib, uning yuzlaridan biri (asos) ixtiyoriy ko'pburchak, qolgan yuzlari (tomonlari) esa -ga ega bo'lgan uchburchaklardir. Burchaklar soniga ko'ra, piramidaning asoslari uchburchak (tetraedr), to'rtburchak va boshqalar.

Piramida - bu ko'pburchak shaklida asosga ega bo'lgan ko'pburchak, qolgan yuzlari esa umumiy uchi bo'lgan uchburchaklardir. Apotema - oddiy piramidaning cho'qqisidan chizilgan yon yuzining balandligi.

Piramida ko'pburchak bo'lib, uning asosi ko'pburchak, yon yuzlari esa bitta umumiy uchi bo'lgan uchburchaklardir. Kvadrat yuzalar piramidalar lateral maydonlarining yig'indisiga teng yuzalar va asoslar piramidalar.

Sizga kerak bo'ladi

  • Qog'oz, qalam, kalkulyator

Ko'rsatmalar

Avval biz tomonning maydonini hisoblaymiz yuzalar . Yanal sirt deganda biz barcha lateral yuzlarning yig'indisini tushunamiz. Agar siz oddiy piramida bilan ishlayotgan bo'lsangiz (ya'ni, unda muntazam ko'pburchak yotadigan va tepasi ushbu ko'pburchakning markaziga proyeksiya qilingan), unda butun lateralni hisoblash uchun yuzalar asosning perimetrini ko'paytirish kifoya (ya'ni poydevorda yotgan ko'pburchakning barcha tomonlari uzunliklarining yig'indisi). piramidalar) yon yuzning balandligi bo'yicha (akscha deb ataladi) va olingan qiymatni 2 ga bo'ling: Sb = 1/2P * h, bu erda Sb - yon tomonning maydoni yuzalar, P - poydevorning perimetri, h - yon yuzning balandligi (apotem).

Agar sizning oldingizda ixtiyoriy piramida bo'lsa, siz barcha yuzlarning maydonlarini hisoblashingiz va keyin ularni qo'shishingiz kerak bo'ladi. Yon tomonlarga qaraganligi sababli piramidalar bo'lsa, uchburchakning maydoni uchun formuladan foydalaning: S = 1/2b * h, bu erda b - uchburchakning asosi va h - balandlik. Barcha yuzlarning maydonlari hisoblanganda, yon tomonning maydonini olish uchun ularni qo'shish qoladi. yuzalar piramidalar.

Keyin poydevorning maydonini hisoblashingiz kerak piramidalar. Hisoblash uchun tanlov ko'pburchak piramidaning tagida joylashganligiga bog'liq: muntazam (ya'ni, tomonlari bir xil uzunlikdagi) yoki. Kvadrat Muntazam ko'pburchakning perimetrini ko'pburchakdagi chizilgan doira radiusiga ko'paytirish va olingan qiymatni 2 ga bo'lish yo'li bilan hisoblash mumkin: Sn = 1/2P * r, bu erda Sn - ko'pburchakning maydoni, P - perimetri, r esa ko‘pburchakda chizilgan aylana radiusi.

Agar bazada piramidalar tartibsiz ko'pburchak yotadi, keyin butun shaklning maydonini hisoblash uchun siz yana ko'pburchakni uchburchaklarga bo'lishingiz, har birining maydonini hisoblashingiz va keyin ularni qo'shishingiz kerak bo'ladi.

Hududni hisoblashni yakunlash uchun yuzalar piramidalar, kvadrat tomonini katlayın yuzalar va asoslar piramidalar.

Mavzu bo'yicha video

Ko'pburchak - bu ko'p chiziqni yopish orqali qurilgan geometrik figura. Ko'pburchakning bir nechta turlari mavjud bo'lib, ular uchlari soniga qarab farqlanadi. Ko'pburchakning har bir turi uchun maydon hisoblanadi muayyan yo'llar bilan.

Ko'rsatmalar

Agar kvadrat yoki to'rtburchakning maydonini hisoblash kerak bo'lsa, tomonlarning uzunligini ko'paytiring. Agar siz to'g'ri burchakli uchburchakning maydonini bilishingiz kerak bo'lsa, uni to'rtburchaklargacha kengaytiring, uning maydonini hisoblang va ikkiga bo'ling.

Agar rasmda 180 darajadan ortiq bo'lmasa (qavariq ko'pburchak), uning barcha uchlari koordinata panjarasida bo'lsa va o'zini kesishmasa, maydonni hisoblash uchun quyidagi usuldan foydalaning.
Bunday ko‘pburchak atrofiga uning tomonlari to‘r chiziqlariga (koordinata o‘qlariga) parallel bo‘lishi uchun to‘rtburchak chizing. Bunday holda, ko'pburchakning eng kamida bittasi to'rtburchakning cho'qqisi bo'lishi kerak.

Faqatgina kesilgan ikkita asosga ega bo'lishi mumkin piramidalar. Bunday holda, ikkinchi asos kattaroq asosga parallel bo'lgan qismdan hosil bo'ladi piramidalar. dan birini toping sabablar ma'lum bo'lsa, mumkin yoki ikkinchisining chiziqli elementlari.

Sizga kerak bo'ladi

  • - piramidaning xossalari;
  • - trigonometrik funktsiyalar;
  • - raqamlarning o'xshashligi;
  • - ko'pburchaklar maydonlarini topish.

Ko'rsatmalar

Agar asos oddiy uchburchak bo'lsa, uni toping kvadrat tomonning kvadratini 3 ning kvadrat ildiziga ko'paytirish orqali 4 ga bo'linadi. Agar asos kvadrat bo'lsa, uning tomonini ikkinchi darajaga ko'taring. Umuman olganda, har qanday muntazam ko'pburchak uchun S=(n/4) a² ctg(180º/n) formulasini qo'llang, bu erda n - muntazam ko'pburchakning tomonlar soni, a - uning tomonining uzunligi.

b=2 (a/(2 tg(180º/n))-h/tg(a)) tg(180º/n) formulasi yordamida kichikroq asosning tomonini toping. Bu erda a - kattaroq asos, h - kesilgan balandlik piramidalar, a – uning asosidagi dihedral burchak, n – tomonlar soni sabablar(xuddi shunday). Formulada uning tomoni uzunligi S=(n/4) b² ctg(180º/n) dan foydalanib, ikkinchi asosning maydonini birinchisiga o'xshash tarzda toping.

Agar asoslar boshqa turdagi ko'pburchaklar bo'lsa, ulardan birining barcha tomonlari ma'lum sabablar, va boshqa tomonlaridan biri, keyin qolgan tomonlarni o'xshash deb hisoblang. Masalan, kattaroq poydevorning tomonlari 4, 6, 8 sm, kichikroq taglikning katta tomoni 4 sm, proportsionallik koeffitsientini hisoblang, 4/8 = 2 (har birida tomonlarni olamiz sabablar) va boshqa tomonlarini hisoblang 6/2=3 sm, 4/2=2 sm tomonning kichikroq poydevorida tomonlar 2, 3, 4 sm. Endi ularni uchburchaklarning maydonlari sifatida hisoblang.

Agar kesilgan elementdagi mos keladigan elementlarning nisbati ma'lum bo'lsa, u holda maydonlarning nisbati sabablar bu elementlarning kvadratlari nisbatiga teng bo'ladi. Masalan, tegishli tomonlar ma'lum bo'lsa sabablar a va a1, keyin a²/a1²=S/S1.

ostida hudud piramidalar odatda uning lateral yoki maydoniga ishora qiladi to'liq sirt. Bu geometrik jismning negizida ko'pburchak joylashgan. Yon yuzlar uchburchak shaklga ega. Ularning umumiy cho'qqisi bor, u ham cho'qqidir piramidalar.

Sizga kerak bo'ladi

  • - bir varaq qog'oz;
  • - qalam;
  • - kalkulyator;
  • - berilgan parametrlarga ega piramida.

Ko'rsatmalar

Vazifada berilgan piramidani ko'rib chiqing. Ko‘pburchak asosida muntazam yoki tartibsiz ekanligini aniqlang. To'g'ri barcha tomonlar teng bo'ladi. Bu holda maydon perimetr va radius mahsulotining yarmiga teng. l tomonning uzunligini n tomonlar soniga, ya'ni P=l*n ga ko'paytirish orqali perimetrni toping. Poydevorning maydoni So=1/2P*r formulasi bilan ifodalanishi mumkin, bu erda P perimetri, r esa chizilgan aylana radiusi.

Noto'g'ri ko'pburchakning perimetri va maydoni boshqacha hisoblanadi. Tomonlar bor turli uzunliklar. Kimga