Ta'rif. Prizma ko'pburchak bo'lib, uning barcha uchlari ikkita parallel tekislikda joylashgan va shu ikki tekislikda prizmaning ikkita yuzi yotadi, ular mos ravishda parallel tomonlari bo'lgan teng ko'pburchaklar va bu tekisliklarda yotmaydigan barcha qirralar paralleldir.

Ikki teng yuzlar deyiladi prizma asoslari(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Prizmaning boshqa barcha yuzlari deyiladi yon yuzlar(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Barcha yon yuzlar hosil bo'ladi prizmaning lateral yuzasi .

Prizmaning barcha lateral yuzlari parallelogrammdir .

Poydevorda yotmaydigan qirralar prizmaning lateral qirralari deyiladi ( AA 1, BB 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Prizma diagonali uchlari prizmaning bir yuzida yotmaydigan ikkita uchi boʻlgan segment (AD 1).

Prizma asoslarini bir vaqtning o'zida tutashtiruvchi va ikkala asosga perpendikulyar bo'lgan segment uzunligi deyiladi. prizma balandligi .

Belgilash:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Avval o'tish tartibida bir asosning uchlari, so'ngra xuddi shu tartibda boshqasining uchlari ko'rsatiladi; har birining uchlari. lateral qovurg'a bir xil harflar bilan belgilanadi, faqat bitta asosda yotgan tepaliklar indekssiz harflar bilan, ikkinchisida esa indeks bilan belgilanadi)

Prizma nomi uning asosida yotgan shakldagi burchaklar soni bilan bog'liq, masalan, 1-rasmda asosda beshburchak bor, shuning uchun prizma deyiladi. beshburchak prizma. Lekin chunki bunday prizmaning 7 ta yuzi bor, keyin u yettitaedr(2 yuz - prizma asoslari, 5 yuz - parallelogrammalar, - uning yon yuzlari)

To'g'ri prizmalar orasida u ajralib turadi shaxsiy ko'rinish: to'g'ri prizmalar.

To'g'ri prizma deyiladi to'g'ri, uning asoslari muntazam ko'pburchaklar bo'lsa.

Parallelepiped

To'rtburchak parallelepiped- asosi to'rtburchak bo'lgan to'g'ri parallelepiped.

Xususiyatlar va teoremalar:

,

bu erda d - kvadratning diagonali;
a - kvadratning tomoni.

Prizma g'oyasi quyidagicha ifodalanadi:

• turli me'moriy tuzilmalar;
• bolalar o'yinchoqlari;
• qadoqlash qutilari;
• dizayner buyumlari va boshqalar.

Prizmaning umumiy va lateral yuzasining maydoni

S to'liq = S tomoni + 2S asosiy,

Qayerda S to'la- umumiy sirt maydoni, S tomoni- lateral sirt maydoni, S asosi- tayanch maydoni

To'g'ri prizmaning yon yuzasi maydoni poydevor perimetri va prizma balandligining mahsulotiga teng..

S tomoni= P asosiy * h,

Qayerda S tomoni-to'g'ri prizmaning lateral yuzasining maydoni;

P asosiy - to'g'ri prizma asosining perimetri,

h - to'g'ri prizmaning balandligi, yon chetiga teng.

Prizma hajmi

Prizmaning hajmi poydevor maydoni va balandlikning mahsulotiga teng.

Prizmaning lateral yuzasi maydoni. Salom! Ushbu nashrda biz stereometriyadagi bir guruh muammolarni tahlil qilamiz. Keling, jismlarning kombinatsiyasini ko'rib chiqaylik - prizma va silindr. Hozirgi vaqtda ushbu maqola stereometriyadagi vazifalar turlarini ko'rib chiqish bilan bog'liq barcha maqolalar seriyasini to'ldiradi.

Agar vazifalar bankida yangilari paydo bo'lsa, unda, albatta, kelajakda blogga qo'shimchalar bo'ladi. Ammo imtihonning bir qismi sifatida qisqa javob bilan barcha muammolarni qanday hal qilishni o'rganishingiz uchun allaqachon mavjud bo'lgan narsa etarli. Kelgusi yillar uchun etarli material bo'ladi (matematika dasturi statik).

Taqdim etilgan vazifalar prizma maydonini hisoblashni o'z ichiga oladi. Shuni ta'kidlaymanki, biz quyida to'g'ri prizmani (va shunga mos ravishda to'g'ri silindrni) ko'rib chiqamiz.

Hech qanday formulalarni bilmasdan, biz buni tushunamiz lateral yuzasi prizmalar uning barcha yon yuzlaridir. To'g'ri prizma to'rtburchaklar yon yuzlariga ega.

Bunday prizmaning lateral yuzasining maydoni uning barcha lateral yuzlari (ya'ni to'rtburchaklar) maydonlarining yig'indisiga teng. Agar silindr chizilgan muntazam prizma haqida gapiradigan bo'lsak, bu prizmaning barcha yuzlari TENG to'rtburchaklar ekanligi aniq.

Rasmiy ravishda, muntazam prizmaning lateral sirt maydoni quyidagicha aks ettirilishi mumkin:

27064. Baza radiusi va balandligi 1 ga teng bo‘lgan silindr atrofida muntazam to‘rtburchak prizma chizilgan. Prizmaning yon sirtini toping.

Ushbu prizmaning lateral yuzasi teng maydonga ega to'rtta to'rtburchakdan iborat. Yuzning balandligi 1 ga, prizma poydevorining cheti 2 ga teng (bular silindrning ikkita radiusi), shuning uchun yon yuzning maydoni teng:

Yon sirt maydoni:

73023. Baza radiusi √0,12 va balandligi 3 ga teng bo‘lgan silindr atrofida aylana chizilgan muntazam uchburchak prizmaning lateral sirt maydonini toping.

Berilgan prizmaning lateral yuzasining maydoni uchta lateral yuzlarning (to'rtburchaklar) maydonlarining yig'indisiga teng. Yon yuzning maydonini topish uchun siz uning balandligini va taglik chetining uzunligini bilishingiz kerak. Balandligi uch. Asosiy chetining uzunligini topamiz. Proyeksiyani ko'rib chiqing (yuqori ko'rinish):

Bizda radiusi √0,12 bo'lgan doira chizilgan muntazam uchburchak bor. AOC to'g'ri burchakli uchburchakdan AC ni topishimiz mumkin. Va keyin AD (AD = 2AC). Tangensning ta'rifi bo'yicha:

Bu AD = 2AC = 1.2 degan ma'noni anglatadi, shuning uchun lateral sirt maydoni tengdir:

27066. Baza radiusi √75 va balandligi 1 bo‘lgan silindr atrofida aylanib o‘tilgan muntazam olti burchakli prizmaning lateral sirt maydonini toping.

Kerakli maydon barcha yon yuzlarning maydonlarining yig'indisiga teng. Muntazam olti burchakli prizma teng to'rtburchaklar bo'lgan lateral yuzlarga ega.

Yuzning maydonini topish uchun siz uning balandligini va taglik chetining uzunligini bilishingiz kerak. Balandligi ma'lum, u 1 ga teng.

Asosiy chetining uzunligini topamiz. Proyeksiyani ko'rib chiqing (yuqori ko'rinish):

Bizda muntazam olti burchakli radiusi √75 aylana chizilgan.

ABO to'g'ri burchakli uchburchakni ko'rib chiqing. Biz OB oyog'ini bilamiz (bu silindrning radiusi). AOB burchagini ham aniqlashimiz mumkin, u 300 ga teng (AOC uchburchak teng yonli, OB bissektrisa).

To'g'ri burchakli uchburchakda tangens ta'rifidan foydalanamiz:

AC = 2AB, chunki OB medianadir, ya'ni AC ni ikkiga bo'ladi, bu AC = 10 degan ma'noni anglatadi.

Shunday qilib, yon yuzaning maydoni 1∙10=10 va yon yuzaning maydoni:

76485. Baza radiusi 8√3 va balandligi 6 ga teng silindrga chizilgan muntazam uchburchak prizmaning yon sirtini toping.

Uchta teng o'lchamdagi yuzlarning (to'rtburchaklar) ko'rsatilgan prizmasining lateral yuzasining maydoni. Maydonni topish uchun siz prizma poydevorining chetining uzunligini bilishingiz kerak (biz balandlikni bilamiz). Agar biz proyeksiyani (yuqori ko'rinish) ko'rib chiqsak, bizda aylana ichiga yozilgan muntazam uchburchak bor. Bu uchburchakning yon tomoni radiusda quyidagicha ifodalanadi:

Ushbu munosabatlarning tafsilotlari. Shunday qilib, teng bo'ladi

Keyin yon yuzning maydoni: 24∙6=144. Va kerakli maydon:

245354. Baza radiusi 2 bo‘lgan silindr atrofida muntazam to‘rtburchak prizma chizilgan. Prizmaning lateral yuzasi 48 ga teng. Silindrning balandligini toping.

Bu oddiy. Bizda teng maydonning to'rtta yon yuzi bor, shuning uchun bitta yuzning maydoni 48: 4 = 12. Tsilindr asosining radiusi 2 bo'lganligi sababli, prizma asosining cheti erta 4 bo'ladi - bu silindrning diametriga teng (bu ikki radius). Biz yuzning va bir chetining maydonini bilamiz, ikkinchisi balandligi 12: 4 = 3 ga teng bo'ladi.

27065. Baza radiusi √3 va balandligi 2 bo‘lgan silindr atrofida aylanib o‘tilgan muntazam uchburchak prizmaning lateral sirt maydonini toping.

Hurmat bilan, Aleksandr.

Prizma. Parallelepiped

Prizma ikki yuzi n-gonlarga teng boʻlgan koʻpburchakdir (asos) , parallel tekisliklarda yotgan va qolgan n ta yuzi parallelogrammdir (yon yuzlar) . Yanal qovurg'a prizmaning yon yuzining asosga tegishli bo'lmagan tomoni.

Yon qirralari asoslar tekisliklariga perpendikulyar bo'lgan prizma deyiladi bevosita prizma (1-rasm). Yon qirralarning asoslar tekisliklariga perpendikulyar bo'lmasa, prizma deyiladi moyil . To'g'ri Prizma - asoslari muntazam ko'pburchaklar bo'lgan to'g'ri prizma.

Balandligi prizma - asoslar tekisliklari orasidagi masofa. Diagonal Prizma - bir yuzga tegishli bo'lmagan ikkita uchni bog'laydigan segment. Diagonal qism prizmaning bir yuzga tegishli bo'lmagan ikkita lateral chetidan o'tuvchi tekislik kesimi deyiladi. Perpendikulyar qism prizmaning yon chetiga perpendikulyar tekislik bilan prizma kesimi deyiladi.

Yanal sirt maydoni prizma - barcha lateral yuzlarning maydonlarining yig'indisi. Umumiy sirt maydoni prizmaning barcha yuzlari maydonlarining yig'indisi (ya'ni, yon yuzlari va asoslar maydonlarining yig'indisi) deb ataladi.

Ixtiyoriy prizma uchun quyidagi formulalar to'g'ri bo'ladi::

Qayerda l- yon qovurg'aning uzunligi;

H- balandligi;

P

Q

S tomoni

S to'la

S asosi- asoslar maydoni;

V- prizma hajmi.

To'g'ri prizma uchun quyidagi formulalar to'g'ri:

Qayerda p- bazaning perimetri;

l- yon qovurg'aning uzunligi;

H- balandlik.

parallelepiped asosi parallelogramm bo'lgan prizma deyiladi. Yon qirralari asoslarga perpendikulyar bo'lgan parallelepiped deyiladi bevosita (2-rasm). Agar yon qirralarning asoslarga perpendikulyar bo'lmasa, u holda parallelepiped deyiladi moyil . Poydevori to‘rtburchak bo‘lgan to‘g‘ri parallelepiped deyiladi to'rtburchaklar. Barcha qirralari teng bo'lgan to'rtburchaklar parallelepiped deyiladi kub

Parallelepipedning umumiy uchlari bo'lmagan yuzlari deyiladi qarama-qarshi . Bir tepadan chiqadigan qirralarning uzunliklari deyiladi o'lchovlar parallelepiped. Parallelepiped prizma bo'lgani uchun uning asosiy elementlari prizmalar uchun qanday aniqlangan bo'lsa, xuddi shunday aniqlanadi.

Teoremalar.

1. Parallelepipedning diagonallari bir nuqtada kesishadi va uni ikkiga bo'ladi.

2. To‘g‘ri burchakli parallelepipedda diagonal uzunligining kvadrati uning uch o‘lchami kvadratlari yig‘indisiga teng:

3. To'rtburchak parallelepipedning barcha to'rt diagonali bir-biriga teng.

Ixtiyoriy parallelepiped uchun quyidagi formulalar amal qiladi:

Qayerda l- yon qovurg'aning uzunligi;

H- balandligi;

P- perpendikulyar kesma perimetri;

Q– Perpendikulyar kesma maydoni;

S tomoni- lateral sirt maydoni;

S to'la- umumiy sirt maydoni;

S asosi- asoslar maydoni;

V- prizma hajmi.

To'g'ri parallelepiped uchun quyidagi formulalar to'g'ri:

Qayerda p- bazaning perimetri;

l- yon qovurg'aning uzunligi;

H- to'g'ri parallelepipedning balandligi.

To'rtburchaklar parallelepiped uchun quyidagi formulalar to'g'ri:

(3)

Qayerda p- bazaning perimetri;

H- balandligi;

d- diagonal;

a,b,c- parallelepipedning o'lchovlari.

Quyidagi formulalar kub uchun to'g'ri:

Qayerda a- qovurg'a uzunligi;

d- kubning diagonali.

1-misol. To'g'ri burchakli parallelepipedning diagonali 33 dm, o'lchamlari esa 2:6:9 nisbatda.Parallelepipedning o'lchamlarini toping.

Yechim. Parallelepipedning o'lchamlarini topish uchun biz (3) formuladan foydalanamiz, ya'ni. kuboidning gipotenuzasi kvadrati uning o'lchamlari kvadratlari yig'indisiga teng ekanligi bilan. bilan belgilaymiz k proportsionallik omili. Shunda parallelepipedning o'lchamlari 2 ga teng bo'ladi k, 6k va 9 k. Muammoli ma'lumotlar uchun formula (3) yozamiz:

uchun bu tenglamani yechish k, biz olamiz:

Bu shuni anglatadiki, parallelepipedning o'lchamlari 6 dm, 18 dm va 27 dm.

Javob: 6 dm, 18 dm, 27 dm.

2-misol. Agar yon qirrasi asosning yon tomoniga teng va asosga 60º burchak ostida qiya bo'lsa, poydevori 8 sm bo'lgan teng tomonli uchburchak bo'lgan qiya uchburchak prizmaning hajmini toping.

Yechim . Keling, rasm chizamiz (3-rasm).

Eğimli prizmaning hajmini topish uchun siz uning poydevori va balandligining maydonini bilishingiz kerak. Ushbu prizma poydevorining maydoni 8 sm bo'lgan teng tomonli uchburchakning maydonidir.

Prizmaning balandligi uning asoslari orasidagi masofadir. Yuqoridan A Yuqori taglikning 1, pastki poydevor tekisligiga perpendikulyar tushiring A 1 D. Uning uzunligi prizmaning balandligi bo'ladi. D ni ko'rib chiqing A 1 AD: chunki bu yon qirraning moyillik burchagi A 1 A asosiy tekislikka, A 1 A= 8 sm bu uchburchakdan topamiz A 1 D:

Endi biz (1) formuladan foydalanib hajmni hisoblaymiz:

Javob: 192 sm 3.

3-misol. Muntazam olti burchakli prizmaning lateral qirrasi 14 sm, eng katta diagonal kesmaning maydoni 168 sm 2. Prizmaning umumiy sirtini toping.

Yechim. Keling, rasm chizamiz (4-rasm)

Eng katta diagonal qism to'rtburchakdir A.A. 1 DD Diagonaldan beri 1 AD muntazam olti burchakli ABCDEF eng kattasi hisoblanadi. Prizmaning lateral sirt maydonini hisoblash uchun poydevorning yon tomonini va yon chetining uzunligini bilish kerak.

Diagonal qismning (to'rtburchak) maydonini bilib, biz poydevorning diagonalini topamiz.

O'shandan beri

O'shandan beri AB= 6 sm.

Keyin poydevorning perimetri:

Prizmaning lateral yuzasi maydonini topamiz:

Tomoni 6 sm bo'lgan oddiy olti burchakning maydoni:

Prizmaning umumiy sirtini toping:

Javob:

4-misol. To'g'ri parallelepipedning asosi rombdir. Diagonal kesma maydonlari 300 sm2 va 875 sm2. Parallelepipedning lateral yuzasi maydonini toping.

Yechim. Keling, rasm chizamiz (5-rasm).

Romb tomonini bilan belgilaymiz A, rombning diagonallari d 1 va d 2, parallelepiped balandligi h. To'g'ri parallelepipedning lateral yuzasi maydonini topish uchun poydevorning perimetrini balandlikka ko'paytirish kerak: (formula (2)). Baza perimetri p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, chunki ABCD- romb H = AA 1 = h. Bu. Topish kerak A Va h.

Keling, diagonal kesmalarni ko'rib chiqaylik. AA 1 SS 1 - bir tomoni rombning diagonali bo'lgan to'rtburchak AC = d 1, ikkinchi - yon chekka AA 1 = h, Keyin

Xuddi shunday bo'lim uchun BB 1 DD 1 biz olamiz:

Diagonallar kvadratlari yig'indisi uning barcha tomonlari kvadratlari yig'indisiga teng bo'ladigan parallelogrammning xossasidan foydalanib, tenglikni qo'lga kiritamiz Quyidagini olamiz.

Maxfiyligingizni saqlash biz uchun muhim. Shu sababli, biz sizning ma'lumotlaringizdan qanday foydalanishimiz va saqlashimizni tavsiflovchi Maxfiylik siyosatini ishlab chiqdik. Iltimos, maxfiylik amaliyotlarimizni ko'rib chiqing va savollaringiz bo'lsa, bizga xabar bering.

Shaxsiy ma'lumotlarni to'plash va ulardan foydalanish

Shaxsiy ma'lumotlar ma'lum bir shaxsni aniqlash yoki unga murojaat qilish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan ma'lumotlarni anglatadi.

Biz bilan bog'langaningizda istalgan vaqtda shaxsiy ma'lumotlaringizni taqdim etishingiz so'ralishi mumkin.

Quyida biz to'plashimiz mumkin bo'lgan shaxsiy ma'lumotlar turlari va bunday ma'lumotlardan qanday foydalanishimiz mumkinligiga ba'zi misollar keltirilgan.

Biz qanday shaxsiy ma'lumotlarni yig'amiz:

• Saytda ariza topshirganingizda, biz turli xil ma'lumotlarni, jumladan ismingiz, telefon raqamingiz, manzilingizni to'plashimiz mumkin elektron pochta va hokazo.

Shaxsiy ma'lumotlaringizdan qanday foydalanamiz:

• Biz tomonidan yig'ilgan Shaxsiy ma'lumot bizga siz bilan bog'lanish va noyob takliflar, aktsiyalar va boshqa tadbirlar va bo'lajak voqealar haqida sizni xabardor qilish imkonini beradi.
• Vaqti-vaqti bilan biz sizning shaxsiy ma'lumotlaringizdan muhim xabarlar va xabarlarni yuborish uchun foydalanishimiz mumkin.
• Shaxsiy ma'lumotlardan audit, ma'lumotlarni tahlil qilish va boshqalar kabi ichki maqsadlarda ham foydalanishimiz mumkin turli tadqiqotlar biz taqdim etayotgan xizmatlarni yaxshilash va sizga xizmatlarimiz bo'yicha tavsiyalar berish uchun.
• Agar siz sovrinlar o'yinida, tanlovda yoki shunga o'xshash aksiyada ishtirok etsangiz, biz siz taqdim etgan ma'lumotlardan bunday dasturlarni boshqarish uchun foydalanishimiz mumkin.

Ma'lumotni uchinchi shaxslarga oshkor qilish

Biz sizdan olingan ma'lumotlarni uchinchi shaxslarga oshkor etmaymiz.

Istisnolar:

• Zarur bo'lganda - qonun hujjatlariga muvofiq, sud tartibida, in sud, va/yoki Rossiya Federatsiyasining davlat organlarining ommaviy so'rovlari yoki so'rovlari asosida - shaxsiy ma'lumotlaringizni oshkor qiling. Shuningdek, biz siz haqingizdagi ma'lumotlarni oshkor qilishimiz mumkin, agar bunday oshkor qilish xavfsizlik, huquqni muhofaza qilish yoki boshqa jamoat ahamiyatiga ega bo'lgan maqsadlar uchun zarur yoki mos ekanligini aniqlasak.
• Qayta tashkil etish, qo'shilish yoki sotilgan taqdirda, biz to'plagan shaxsiy ma'lumotlarni tegishli vorisi uchinchi shaxsga o'tkazishimiz mumkin.

Shaxsiy ma'lumotlarni himoya qilish

Shaxsiy ma'lumotlaringizni yo'qotish, o'g'irlash va noto'g'ri foydalanish, shuningdek ruxsatsiz kirish, oshkor qilish, o'zgartirish va yo'q qilishdan himoya qilish uchun ma'muriy, texnik va jismoniy ehtiyot choralarini ko'ramiz.

Shaxsiy hayotingizni kompaniya darajasida hurmat qilish

Shaxsiy ma'lumotlaringiz xavfsizligini ta'minlash uchun biz maxfiylik va xavfsizlik standartlarini xodimlarimizga yetkazamiz va maxfiylik amaliyotlarini qat'iy tatbiq qilamiz.

IN maktab o'quv dasturi Stereometriya kursida uch o'lchamli figuralarni o'rganish odatda oddiy geometrik jism - prizma ko'pburchakdan boshlanadi. Uning asoslari rolini parallel tekisliklarda yotgan 2 ta teng ko'pburchak bajaradi. Maxsus holat - bu muntazam to'rtburchak prizma. Uning asoslari ikkita bir xil muntazam to'rtburchaklar bo'lib, tomonlari perpendikulyar bo'lib, parallelogramm shakliga ega (yoki prizma qiya bo'lmasa, to'rtburchaklar).

Prizma nimaga o'xshaydi?

Muntazam to'rtburchak prizma olti burchakli bo'lib, uning asoslari 2 kvadrat, yon yuzlari to'rtburchaklar bilan ifodalanadi. Ushbu geometrik figuraning yana bir nomi to'g'ri parallelepipeddir.

Quyida to'rtburchak prizma ko'rsatilgan chizma ko'rsatilgan.

Rasmda ham ko'rishingiz mumkin muhim elementlar, undan geometrik jism iborat. Bularga quyidagilar kiradi:

Ba'zan geometriya masalalarida kesim tushunchasiga duch kelishingiz mumkin. Ta'rif shunday bo'ladi: kesma - bu kesuvchi tekislikka tegishli bo'lgan hajmli tananing barcha nuqtalari. Bo'lim perpendikulyar bo'lishi mumkin (rasmning qirralarini 90 graduslik burchak ostida kesib o'tadi). To'g'ri to'rtburchaklar prizma uchun diagonal kesma ham ko'rib chiqiladi (qurilishi mumkin bo'lgan bo'limlarning maksimal soni 2 ta), 2 chetidan va poydevorning diagonallaridan o'tadi.

Agar kesma kesuvchi tekislik na asoslarga, na yon yuzlarga parallel bo'lmagan tarzda chizilgan bo'lsa, natijada kesilgan prizma hosil bo'ladi.

Qisqartirilgan prizmatik elementlarni topish uchun turli munosabatlar va formulalar qo'llaniladi. Ulardan ba'zilari planimetriya kursidan ma'lum (masalan, prizma asosining maydonini topish uchun kvadrat maydoni formulasini eslab qolish kifoya).

Sirt maydoni va hajmi

Prizma hajmini formuladan foydalanib aniqlash uchun siz uning asosi va balandligining maydonini bilishingiz kerak:

V = Sbas h

Muntazam tetraedral prizma asosi tomoni bo'lgan kvadrat bo'lgani uchun a, Siz formulani batafsilroq shaklda yozishingiz mumkin:

V = a²·h

Agar biz kub haqida gapiradigan bo'lsak - oddiy prizma teng uzunlik, kengligi va balandligi, hajmi quyidagicha hisoblanadi:

Prizmaning lateral sirt maydonini qanday topishni tushunish uchun uning rivojlanishini tasavvur qilish kerak.

Chizmadan ko'rinib turibdiki, yon sirt 4 ta teng to'rtburchakdan iborat. Uning maydoni poydevor perimetri va rasm balandligining mahsuloti sifatida hisoblanadi:

Sside = Posn h

Kvadratning perimetri teng ekanligini hisobga olgan holda P = 4a, formula quyidagi shaklni oladi:

Yon tomoni = 4a soat

Kub uchun:

Yon tomoni = 4a²

Prizmaning umumiy sirt maydonini hisoblash uchun siz lateral maydonga 2 ta asosiy maydonni qo'shishingiz kerak:

Sfull = Sside + 2Smain

To'rtburchak muntazam prizmaga nisbatan formula quyidagicha ko'rinadi:

Jami = 4a h + 2a²

Kubning sirt maydoni uchun:

Sfull = 6a²

Hajmi yoki sirt maydonini bilib, siz geometrik tananing alohida elementlarini hisoblashingiz mumkin.

Prizma elementlarini topish

Ko'pincha hajm berilgan yoki lateral sirt maydonining qiymati ma'lum bo'lgan muammolar mavjud, bu erda taglikning yon tomonining uzunligini yoki balandligini aniqlash kerak. Bunday hollarda formulalar olinishi mumkin:

• Asosiy tomon uzunligi: a = Sside / 4h = √(V / h);
• balandligi yoki yon qovurg'a uzunligi: h = Sside / 4a = V / a²;
• baza maydoni: Sbas = V / h;
• yon yuz maydoni: Yon gr = Sside / 4.

Diagonal qismning qancha maydoni borligini aniqlash uchun diagonalning uzunligini va raqamning balandligini bilishingiz kerak. Kvadrat uchun d = a√2. Bundan kelib chiqadiki:

Sdiag = ah√2

Prizma diagonalini hisoblash uchun quyidagi formuladan foydalaning:

dprize = √(2a² + h²)

Berilgan munosabatlarni qanday qo'llashni tushunish uchun siz bir nechta oddiy vazifalarni mashq qilishingiz va hal qilishingiz mumkin.

Yechimlari bilan muammolarga misollar

Mana, matematikadan davlat yakuniy imtihonlarida topilgan ba'zi vazifalar.

Vazifa 1.

Qum odatdagi to'rtburchak prizma shaklidagi qutiga quyiladi. Uning balandligi 10 sm, agar siz uni bir xil shakldagi idishga o'tkazsangiz, lekin ikki baravar uzunroq taglik bilan qum darajasi qanday bo'ladi?

Buni quyidagicha asoslash kerak. Birinchi va ikkinchi idishlardagi qum miqdori o'zgarmadi, ya'ni ulardagi hajmi bir xil. Poydevorning uzunligini quyidagicha belgilashingiz mumkin a. Bunday holda, birinchi quti uchun moddaning hajmi quyidagicha bo'ladi:

V₁ = ha² = 10a²

Ikkinchi quti uchun taglikning uzunligi 2a, lekin qum sathining balandligi noma'lum:

V₂ = h (2a)² = 4ga²

beri V₁ = V₂, biz ifodalarni tenglashtirishimiz mumkin:

10a² = 4ga²

Tenglamaning ikkala tomonini a² ga kamaytirgandan so'ng, biz quyidagilarni olamiz:

Natijada, yangi qum darajasi bo'ladi h = 10/4 = 2,5 sm.

Vazifa 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ to'g'ri prizma. Ma'lumki, BD = AB₁ = 6√2. Tananing umumiy sirt maydonini toping.

Qaysi elementlar ma'lum ekanligini tushunishni osonlashtirish uchun siz rasm chizishingiz mumkin.

Biz muntazam prizma haqida gapirayotganimiz sababli, asosda diagonali 6√2 bo'lgan kvadrat bor degan xulosaga kelishimiz mumkin. Yon yuzning diagonali bir xil o'lchamga ega, shuning uchun yon yuz ham poydevorga teng kvadrat shakliga ega. Ma'lum bo'lishicha, barcha uch o'lcham - uzunlik, kenglik va balandlik tengdir. ABCDA₁B₁C₁D₁ kub degan xulosaga kelishimiz mumkin.

Har qanday qirraning uzunligi ma'lum diagonal orqali aniqlanadi:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Umumiy sirt maydoni kub formulasi yordamida topiladi:

Sfull = 6a² = 6 6² = 216

Vazifa 3.

Xona ta'mirlanmoqda. Ma'lumki, uning qavati maydoni 9 m² bo'lgan kvadrat shakliga ega. Xonaning balandligi 2,5 m, agar 1 m² 50 rubl bo'lsa, xonani devor qog'ozi bilan qoplashning eng past narxi qancha?

Zamin va ship kvadratchalar, ya'ni muntazam to'rtburchaklar va uning devorlari gorizontal sirtlarga perpendikulyar bo'lganligi sababli, biz uni muntazam prizma deb xulosa qilishimiz mumkin. Uning lateral yuzasining maydonini aniqlash kerak.

Xonaning uzunligi a = √9 = 3 m.

Hudud devor qog'ozi bilan qoplanadi Yon tomoni = 4 3 2,5 = 30 m².

Bu xona uchun devor qog'ozi eng past narxi bo'ladi 50·30 = 1500 rubl

Shunday qilib, to'rtburchaklar prizma bilan bog'liq masalalarni hal qilish uchun kvadrat va to'rtburchakning maydoni va perimetrini hisoblay olish, shuningdek, hajm va sirt maydonini topish formulalarini bilish kifoya.

Kubning maydonini qanday topish mumkin