Pifagor teoremasi
Xuddi shunday, CBH uchburchagi ABC ga o'xshaydi. Belgilanish bilan tanishtirish orqali 
1. Rasmda ko'rsatilganidek, to'rtta teng to'g'ri burchakli uchburchakni joylashtiring. 
Evklidning isboti g'oyasi quyidagicha: keling, gipotenuzada qurilgan kvadrat maydonining yarmi oyoqlarda qurilgan kvadratlarning yarim maydonlari yig'indisiga teng ekanligini isbotlashga harakat qilaylik, keyin esa maydonlar. katta va ikkita kichik kvadrat tengdir. Keling, chap tomondagi rasmni ko'rib chiqaylik. Unda biz to'g'ri burchakli uchburchakning yon tomonlariga kvadratlar qurdik va AB gipotenuzasiga perpendikulyar bo'lgan to'g'ri burchakli C burchak cho'qqisidan s nurini chizdik, u gipotenuzaga qurilgan ABIK kvadratini ikkita to'rtburchaklar - BHJI va HAKJga kesadi, mos ravishda. Ma'lum bo'lishicha, bu to'rtburchaklar maydonlari mos keladigan oyoqlarda qurilgan kvadratlarning maydonlariga to'liq teng. Keling, DECA kvadratining maydoni AHJK to'rtburchaklar maydoniga teng ekanligini isbotlashga harakat qilaylik, buning uchun biz yordamchi kuzatuvdan foydalanamiz: balandligi va asosi bir xil bo'lgan uchburchakning maydoni. berilgan to'rtburchaklar berilgan to'rtburchaklar maydonining yarmiga teng. Bu uchburchakning maydonini poydevor va balandlikning yarmi mahsuloti sifatida belgilashning natijasidir. Ushbu kuzatishdan kelib chiqadiki, ACK uchburchakning maydoni AHK uchburchagining maydoniga teng (rasmda ko'rsatilmagan), bu o'z navbatida AHJK to'rtburchaklar maydonining yarmiga teng. Keling, ACK uchburchagining maydoni ham DECA kvadratining yarmiga teng ekanligini isbotlaylik. Buning uchun qilish kerak bo'lgan yagona narsa ACK va BDA uchburchaklarining tengligini isbotlashdir (chunki BDA uchburchakning maydoni yuqoridagi xususiyatga ko'ra kvadrat maydonining yarmiga teng). Bu tenglik ravshan, uchburchaklar ikkala tomonda va ular orasidagi burchakda tengdir. Ya'ni - AB=AK,AD=AC - CAK va BAD burchaklarining tengligini harakat usuli bilan isbotlash oson: biz CAK uchburchagini soat miliga teskari yo'nalishda 90° aylantiramiz, keyin ikki uchburchakning mos tomonlari o'z-o'zidan aniq bo'ladi. savol mos keladi (kvadrat tepasidagi burchak 90 ° bo'lganligi sababli). BCFG kvadrati va BHJI to'rtburchaklar maydonlarining tengligining asoslari butunlay o'xshash. Shunday qilib, biz gipotenuzada qurilgan kvadratning maydoni oyoqlarda qurilgan kvadrat maydonlaridan iborat ekanligini isbotladik. 
Chizmani ko'rib chiqamiz, simmetriyadan ko'rinib turibdiki, CI segmenti ABHJ kvadratini ikkita bir xil qismga kesib tashlaydi (chunki ABC va JHI uchburchaklar qurilishi bo'yicha teng). 90 daraja soat miliga teskari aylanishdan foydalanib, biz CAJI va GDAB soyali raqamlarining tengligini ko'ramiz. Endi biz soya qilgan rasmning maydoni oyoqlarda qurilgan kvadratlarning yarmi va asl uchburchakning maydoni yig'indisiga teng ekanligi aniq. Boshqa tomondan, u gipotenuzada qurilgan kvadrat maydonining yarmiga va asl uchburchakning maydoniga teng. Pifagor teoremasi- munosabatni o'rnatuvchi Evklid geometriyasining asosiy teoremalaridan biri
to'g'ri burchakli uchburchakning tomonlari o'rtasida.
Buni yunon matematigi Pifagor isbotlagan va uning nomi bilan atalgan deb ishoniladi.
Pifagor teoremasining geometrik formulasi.
Teorema dastlab quyidagicha tuzilgan:
To'g'ri burchakli uchburchakda gipotenuzada qurilgan kvadratning maydoni kvadratlar maydonlarining yig'indisiga teng,
oyoqlarda qurilgan.
Pifagor teoremasining algebraik formulasi.
To'g'ri burchakli uchburchakda gipotenuzaning uzunligining kvadrati oyoqlarning uzunliklari kvadratlarining yig'indisiga teng.
Ya'ni, uchburchakning gipotenuzasi uzunligini bilan belgilash c, va oyoqlarning uzunliklari orqali a Va b:
Har ikkala formulalar Pifagor teoremasi ekvivalentdir, lekin ikkinchi formula ko'proq elementar, unday emas
maydon tushunchasini talab qiladi. Ya'ni, ikkinchi bayonotni hudud va haqida hech narsa bilmasdan tekshirish mumkin
to'g'ri burchakli uchburchakning faqat tomonlari uzunligini o'lchash orqali.
Qarama-qarshi Pifagor teoremasi.
Agar uchburchakning bir tomonining kvadrati boshqa ikki tomonining kvadratlari yig'indisiga teng bo'lsa, u holda
to'g'ri uchburchak.
Yoki boshqacha aytganda:
Musbat sonlarning har uchligi uchun a, b Va c, shu kabi
oyoqlari bilan to'g'ri burchakli uchburchak mavjud a Va b va gipotenuza c.
Teng yonli uchburchak uchun Pifagor teoremasi.
Teng tomonli uchburchak uchun Pifagor teoremasi.
Pifagor teoremasining isbotlari.
Hozirda bu teoremaning 367 ta isboti ilmiy adabiyotlarda qayd etilgan. Ehtimol, teorema
Pifagor juda ta'sirli dalillarga ega bo'lgan yagona teoremadir. Bunday xilma-xillik
teoremaning geometriya uchun asosiy ahamiyati bilangina izohlash mumkin.
Albatta, kontseptual jihatdan ularning barchasini oz sonli sinflarga bo'lish mumkin. Ulardan eng mashhurlari:
dalil hudud usuli, aksiomatik Va ekzotik dalillar(Masalan,
yordamida differensial tenglamalar).
1. Shu kabi uchburchaklar yordamida Pifagor teoremasini isbotlash.
Algebraik formulaning quyidagi isboti tuzilgan isbotlarning eng oddiyidir
to'g'ridan-to'g'ri aksiomalardan. Xususan, u figuraning maydoni tushunchasidan foydalanmaydi.
Mayli ABC to'g'ri burchakli to'g'ri burchakli uchburchak mavjud C. Keling, balandlikni chizamiz C va belgilang
orqali uning poydevori H.
Uchburchak ACH uchburchakka o'xshaydi AB C ikki burchakda. Xuddi shunday, uchburchak CBH o'xshash ABC.
Belgini kiritish orqali:
olamiz:
,
mos keladi -
Buklangan a 2 va b 2, biz olamiz:
yoki , bu isbotlanishi kerak bo'lgan narsa.
2. Pifagor teoremasini maydon usuli yordamida isbotlash.
Quyidagi dalillar, ko'rinib turgan soddaligiga qaramay, unchalik oddiy emas. Ularning hammasi
dalillari Pifagor teoremasining o'zini isbotlashdan ko'ra murakkabroq bo'lgan maydon xususiyatlaridan foydalaning.
- Ekviplementarlik orqali isbotlash.
Keling, to'rtta teng to'rtburchaklar joylashtiramiz
rasmda ko'rsatilganidek, uchburchak
o'ngda.
Yonlari bilan to'rtburchak c- kvadrat,
chunki ikki o'tkir burchaklar yig'indisi 90 °, va
ochilgan burchak - 180 °.
Butun figuraning maydoni teng, bir tomondan,
tomoni bilan kvadratning maydoni ( a+b), va boshqa tomondan, to'rtta uchburchakning maydonlari yig'indisi va
Q.E.D.
3. Pifagor teoremasini cheksiz kichiklar usuli bilan isbotlash.
Rasmda ko'rsatilgan chizmaga qarab va
tomonning o'zgarishini kuzatisha, Biz qilolamiz
quyidagi cheksiz munosabatni yozing
kichik yon qadamlarBilan Va a(o'xshashlik yordamida
uchburchaklar):
O'zgaruvchilarni ajratish usulidan foydalanib, biz quyidagilarni topamiz:
Ikkala tomonning o'sishida gipotenuzaning o'zgarishining umumiy ifodasi:
Ushbu tenglamani integrallash va dastlabki shartlardan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:
Shunday qilib, biz kerakli javobga erishamiz:
Ko'rish oson bo'lganidek, yakuniy formuladagi kvadratik bog'liqlik chiziqli tufayli paydo bo'ladi
uchburchak tomonlari va o'sishlar o'rtasidagi proportsionallik, yig'indi esa mustaqil bilan bog'liq.
turli oyoqlarning o'sishidan hissa.
Oyoqlardan birida o'sish kuzatilmaydi, deb hisoblasak, oddiyroq dalilni olish mumkin
(bu holda oyoq b). Keyin integratsiya konstantasi uchun biz quyidagilarni olamiz:
Ijodkorlik salohiyati odatda gumanitar fanlarga taalluqli bo‘lib, tabiatshunoslikni tahlilga, amaliy yondashuvga va formulalar va raqamlarning quruq tiliga qoldiradi. Matematikani gumanitar fan sifatida tasniflash mumkin emas. Ammo ijodsiz siz "barcha fanlar malikasi" da uzoqqa bormaysiz - odamlar buni bilishadi uzoq vaqt davomida; anchadan beri. Masalan, Pifagor davridan beri.
Maktab darsliklarida, afsuski, odatda, matematikada nafaqat teoremalar, aksiomalar va formulalarni siqish muhimligi tushuntirilmaydi. Uning asosiy tamoyillarini tushunish va his qilish muhimdir. Shu bilan birga, ongingizni klişelar va oddiy haqiqatlardan ozod qilishga harakat qiling - faqat shunday sharoitda barcha buyuk kashfiyotlar tug'iladi.
Bunday kashfiyotlar bugungi kunda biz bilgan Pifagor teoremasini o'z ichiga oladi. Uning yordami bilan biz matematika nafaqat qiziqarli, balki qiziqarli bo'lishi kerakligini ko'rsatishga harakat qilamiz. Va bu sarguzasht nafaqat qalin ko'zoynakli nerds uchun, balki aqli kuchli va ruhi kuchli har bir kishi uchun mos keladi.
Masala tarixidan
To'g'risini aytganda, teorema "Pifagor teoremasi" deb atalsa ham, Pifagorning o'zi buni kashf qilmagan. To'g'ri uchburchak va uning maxsus xususiyatlari undan ancha oldin o'rganilgan. Bu masala bo'yicha ikkita qutbli nuqtai nazar mavjud. Bir versiyaga ko'ra, Pifagor birinchi bo'lib teoremaning to'liq isbotini topdi. Boshqasiga ko'ra, dalil Pifagor muallifligiga tegishli emas.
Bugun endi kim haq va kim nohaqligini tekshira olmaysiz. Ma'lumki, Pifagorning isboti, agar u mavjud bo'lsa ham, saqlanib qolmagan. Biroq, Evklid elementlarining mashhur isboti Pifagorga tegishli bo'lishi mumkinligi haqida takliflar mavjud va Evklid buni faqat qayd etgan.
To'g'ri burchakli uchburchak bilan bog'liq muammolar fir'avn Amenemhat I davridagi Misr manbalarida, shoh Hammurapi hukmronligi davridagi Bobil loy lavhalarida, qadimgi hindlarning "Sulva Sutra" risolasida va qadimgi Xitoy asarida topilganligi bugungi kunda ham ma'lum. Chjou-bi suan jin”.
Ko'rib turganingizdek, Pifagor teoremasi qadim zamonlardan beri matematiklarning ongini band qilgan. Buni bugungi kunda mavjud bo'lgan 367 ga yaqin turli dalillar tasdiqlaydi. Bunda boshqa hech bir teorema u bilan raqobatlasha olmaydi. Mashhur dalillar mualliflari orasida Leonardo da Vinchi va AQShning yigirmanchi prezidenti Jeyms Garfildni eslashimiz mumkin. Bularning barchasi ushbu teoremaning matematika uchun o'ta muhimligi haqida gapiradi: geometriya teoremalarining aksariyati undan olingan yoki u bilan qandaydir bog'liqdir.
Pifagor teoremasining isbotlari
IN maktab darsliklari Ular asosan algebraik dalillar beradi. Ammo teoremaning mohiyati geometriyada, shuning uchun keling, avvalo ushbu fanga asoslangan mashhur teoremaning isbotlarini ko'rib chiqaylik.
Dalil 1
To'g'ri burchakli uchburchak uchun Pifagor teoremasining eng oddiy isboti uchun siz o'rnatishingiz kerak. ideal sharoitlar: uchburchak nafaqat to'rtburchak, balki teng yon tomonli ham bo'lsin. Qadimgi matematiklar dastlab aynan mana shunday uchburchakni ko'rib chiqishgan, deb ishonishga asos bor.
Bayonot "To'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzasiga qurilgan kvadrat uning oyoqlarida qurilgan kvadratlar yig'indisiga teng" quyidagi chizma bilan tasvirlash mumkin:
ABC to'g'ri burchakli uchburchakka qarang: AC gipotenuzasida siz dastlabki ABCga teng to'rtta uchburchakdan iborat kvadrat qurishingiz mumkin. Va AB va BC tomonlarida kvadrat qurilgan bo'lib, ularning har birida ikkita o'xshash uchburchak mavjud.
Aytgancha, bu rasm Pifagor teoremasiga bag'ishlangan ko'plab hazillar va multfilmlarning asosini tashkil etdi. Eng mashhuri, ehtimol "Pifagor shimlari barcha yo'nalishlarda tengdir":
Dalil 2
Bu usul algebra va geometriyani birlashtiradi va matematik Bxaskarining qadimgi hind isbotining bir varianti deb hisoblanishi mumkin.
Tomonlari bo‘lgan to‘g‘ri burchakli uchburchak tuzing a, b va c(1-rasm). Keyin tomonlari ikki oyoq uzunligi yig'indisiga teng bo'lgan ikkita kvadrat quring - (a+b). Kvadratchalarning har birida 2 va 3-rasmdagi kabi konstruksiyalarni bajaring.
Birinchi kvadratda 1-rasmdagiga o'xshash to'rtta uchburchak yasang. Natijada ikkita kvadrat hosil bo'ladi: biri a tomoni bilan, ikkinchisi tomoni bilan b.
Ikkinchi kvadratda qurilgan to'rtta o'xshash uchburchaklar tomoni gipotenuzaga teng bo'lgan kvadrat hosil qiladi c.
2-rasmdagi qurilgan kvadratlar maydonlarining yig'indisi 3-rasmdagi c tomoni bilan biz qurgan kvadratning maydoniga teng. Buni rasmdagi kvadratlarning maydonini hisoblash orqali osongina tekshirish mumkin. 2 formula bo'yicha. Va 3-rasmdagi chizilgan kvadratning maydoni. kvadratga yozilgan to'rtta teng to'g'ri burchakli uchburchakning maydonlarini bir tomoni bo'lgan katta kvadratning maydonidan ayirish orqali. (a+b).
Bularning barchasini yozsak, bizda: a 2 +b 2 =(a+b) 2 – 2ab. Qavslarni oching, barcha kerakli algebraik hisoblarni bajaring va buni oling a 2 +b 2 = a 2 +b 2. Bunday holda, 3-rasmda yozilgan maydon. kvadratni an'anaviy formula yordamida ham hisoblash mumkin S=c 2. Bular. a 2 +b 2 =c 2- siz Pifagor teoremasini isbotladingiz.
Dalil 3
Qadimgi hind isbotining o'zi XII asrda "Bilimlar toji" ("Siddhanta Shiromani") risolasida tasvirlangan va asosiy dalil sifatida muallif talabalar va izdoshlarning matematik qobiliyatlari va kuzatish qobiliyatlariga qaratilgan murojaatdan foydalanadi: " Qara!”
Ammo biz ushbu dalilni batafsilroq tahlil qilamiz:
Kvadrat ichida chizmada ko'rsatilganidek, to'rtta to'g'ri burchakli uchburchak yasang. Katta kvadratning gipotenuza deb ham ataladigan tomonini belgilaymiz, Bilan. Keling, uchburchakning oyoqlarini chaqiraylik A Va b. Chizilgan rasmga ko'ra, ichki kvadratning yon tomoni (a-b).
Kvadrat maydoni uchun formuladan foydalaning S=c 2 tashqi kvadratning maydonini hisoblash uchun. Shu bilan birga, ichki kvadratning maydonini va barcha to'rtburchak uchburchakning maydonlarini qo'shib bir xil qiymatni hisoblang: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.
Bir xil natija berishiga ishonch hosil qilish uchun kvadratning maydonini hisoblash uchun ikkala variantdan ham foydalanishingiz mumkin. Va bu sizga yozish huquqini beradi c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. Yechim natijasida siz Pifagor teoremasining formulasini olasiz c 2 =a 2 +b 2. Teorema isbotlangan.
Isbot 4
Bu qiziq qadimiy xitoy dalili "Kelin kursisi" deb nomlangan - bu barcha konstruktsiyalardan kelib chiqadigan stulga o'xshash shakl tufayli:
U ikkinchi isbotda biz allaqachon 3-rasmda ko'rgan chizmani ishlatadi. Va tomoni c bo'lgan ichki kvadrat yuqorida keltirilgan qadimgi hind isbotida bo'lgani kabi qurilgan.
Agar siz 1-rasmdagi chizmadan ikkita yashil to'rtburchak uchburchakni aqliy ravishda kesib tashlasangiz, ularni kvadratning qarama-qarshi tomonlariga c tomoni bilan o'tkazsangiz va gipotenuslarni nilufar uchburchaklar gipotenuslariga biriktirsangiz, siz "kelin kursisi" deb nomlangan figuraga ega bo'lasiz. (2-rasm). Aniqlik uchun qog'oz kvadratlar va uchburchaklar bilan ham xuddi shunday qilishingiz mumkin. Siz "kelinning o'rindig'i" ikkita kvadratdan iborat ekanligiga ishonch hosil qilasiz: yon tomoni bo'lgan kichiklar b va bir tomoni bilan katta a.
Bu konstruktsiyalar qadimgi xitoy matematiklari va ularga ergashgan bizga shunday xulosaga kelishga imkon berdi c 2 =a 2 +b 2.
Dalil 5
Bu geometriya yordamida Pifagor teoremasining yechimini topishning yana bir usuli. Bu Garfild usuli deb ataladi.
To‘g‘ri burchakli uchburchak tuzing ABC. Biz buni isbotlashimiz kerak BC 2 = AC 2 + AB 2.
Buning uchun oyoqni davom ettiring AC va segmentni tuzing CD, bu oyog'iga teng AB. Perpendikulyarni pastga tushiring AD chiziq segmenti ED. Segmentlar ED Va AC teng. Nuqtalarni ulang E Va IN, shuningdek E Va BILAN va quyidagi rasmga o'xshash rasmni oling:
Minorani isbotlash uchun biz yana sinab ko'rgan usulga murojaat qilamiz: natijada olingan raqamning maydonini ikki yo'l bilan topamiz va iboralarni bir-biriga tenglashtiramiz.
Ko'pburchakning maydonini toping YOTOQ uni tashkil etuvchi uchta uchburchakning maydonlarini qo'shish orqali amalga oshirilishi mumkin. Va ulardan biri, ERU, nafaqat to'rtburchaklar, balki teng yon tomonli hamdir. Shuni ham unutmaylik AB=CD, AC=ED Va BC=SE- bu bizga yozib olishni soddalashtirish va uni ortiqcha yuklamaslik imkonini beradi. Shunday qilib, S ABED =2*1/2(AB*AC)+1/2VS 2.
Shu bilan birga, bu aniq YOTOQ- Bu trapezoid. Shuning uchun biz uning maydonini formuladan foydalanib hisoblaymiz: S ABED =(DE+AB)*1/2AD. Bizning hisob-kitoblarimiz uchun segmentni ifodalash qulayroq va aniqroqdir AD segmentlar yig'indisi sifatida AC Va CD.
Keling, figuraning maydonini hisoblashning ikkala usulini ham ular orasiga teng belgi qo'yib yozamiz: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Belgining o'ng tomonini soddalashtirish uchun biz allaqachon ma'lum bo'lgan va yuqorida tavsiflangan segmentlarning tengligidan foydalanamiz: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. Endi qavslarni ochamiz va tenglikni o'zgartiramiz: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. Barcha o'zgarishlarni tugatgandan so'ng, biz kerakli narsani olamiz: BC 2 = AC 2 + AB 2. Biz teoremani isbotladik.
Albatta, bu dalillar ro'yxati to'liq emas. Pifagor teoremasi vektorlar, kompleks sonlar, differentsial tenglamalar, stereometriya va boshqalar yordamida ham isbotlanishi mumkin. Va hatto fiziklar: agar, masalan, suyuqlik chizmalarda ko'rsatilganlarga o'xshash kvadrat va uchburchak hajmlarga quyilsa. Suyuqlikni quyish orqali siz maydonlarning tengligini va natijada teoremaning o'zini isbotlashingiz mumkin.
Pifagor uchliklari haqida bir necha so'z
Bu masala maktab o‘quv dasturida kam yoki umuman o‘rganilmagan. Ayni paytda, bu juda qiziqarli va geometriyada katta ahamiyatga ega. Pifagor uchliklari ko'plab matematik muammolarni hal qilish uchun ishlatiladi. Ularni tushunish keyingi ta'limda sizga foydali bo'lishi mumkin.
Xo'sh, Pifagor uchliklari nima? Ular buni shunday deb atashadi butun sonlar, uchlikda yig'ilgan, ikkitasining kvadratlari yig'indisi kvadratdagi uchinchi raqamga teng.
Pifagor uchliklari quyidagilar bo'lishi mumkin:
- ibtidoiy (barcha uchta raqam nisbatan tub);
- ibtidoiy emas (agar uchlikning har bir soni bir xil songa ko'paytirilsa, siz yangi uchlikni olasiz, bu ibtidoiy emas).
Bizning eramizdan oldin ham qadimgi misrliklar Pifagor uchliklarining soni uchun maniya bilan hayratda qolishgan: muammolarda ular tomonlari 3, 4 va 5 birlik bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchakni ko'rib chiqishgan. Aytgancha, tomonlari Pifagor uchligidagi raqamlarga teng bo'lgan har qanday uchburchak sukut bo'yicha to'rtburchaklardir.
Pifagor uchliklariga misollar: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20 ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) , (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), ( 14 , 48, 50), (30, 40, 50) va boshqalar.
Teoremaning amaliy qo'llanilishi
Pifagor teoremasi nafaqat matematikada, balki arxitektura va qurilishda, astronomiya va hatto adabiyotda ham qo'llaniladi.
Birinchi navbatda qurilish haqida: Pifagor teoremasi masalalarda keng qo'llaniladi turli darajalar qiyinchiliklar. Masalan, Romanesk oynasiga qarang:
Deraza kengligini quyidagicha belgilaymiz b, keyin katta yarim doira radiusi sifatida belgilash mumkin R va orqali ifoda eting b: R=b/2. Kichikroq yarim doiralarning radiusi orqali ham ifodalanishi mumkin b: r=b/4. Bu masalada biz oynaning ichki doirasining radiusi bilan qiziqamiz (uni chaqiramiz p).
Pifagor teoremasi hisoblash uchun foydalidir R. Buning uchun biz to'g'ri burchakli uchburchakdan foydalanamiz, bu rasmda nuqta chiziq bilan ko'rsatilgan. Uchburchakning gipotenuzasi ikkita radiusdan iborat: b/4+p. Bir oyoq radiusni ifodalaydi b/4, boshqa b/2-p. Pifagor teoremasidan foydalanib, biz yozamiz: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. Keyinchalik, biz qavslarni ochamiz va olamiz b 2 /16+ bp/2+p 2 =b 2 /16+b 2 /4-bp+p 2. Keling, ushbu ifodani aylantiramiz bp/2=b 2 /4-bp. Va keyin biz barcha shartlarni ajratamiz b, olish uchun o'xshashlarini taqdim etamiz 3/2*p=b/4. Va oxirida biz buni topamiz p=b/6- bu bizga kerak edi.
Teoremadan foydalanib, siz raftersning uzunligini hisoblashingiz mumkin gable tomi. Signal ma'lum bir darajaga yetishi uchun uyali telefon minorasi qanchalik balandligi kerakligini aniqlang turar-joy. Va hatto barqaror o'rnating Rojdestvo daraxti shahar maydonida. Ko'rib turganingizdek, bu teorema nafaqat darslik sahifalarida yashaydi, balki ko'pincha haqiqiy hayotda foydalidir.
Adabiyotda Pifagor teoremasi qadimgi davrlardan beri yozuvchilarni ilhomlantirgan va bizning davrimizda ham shunday qilmoqda. Misol uchun, XIX asrda yashagan nemis yozuvchisi Adelbert fon Chamisso sonet yozishdan ilhomlangan:
Haqiqat nuri tez orada so'nmaydi,
Ammo, porlab, u tarqalib ketishi dargumon
Va ming yillar oldin bo'lgani kabi,
Bu shubha va tortishuvlarga sabab bo'lmaydi.
Sizning ko'zingizga tegsa, eng dono
Haqiqat nuri, xudolarga shukur;
Va yuzta buqa so'yilgan, yolg'on gapiradi -
Baxtli Pifagordan qaytarilgan sovg'a.
O'shandan beri buqalar umidsizlik bilan baqirishdi:
Buqa qabilasini abadiy tashvishga soldi
Bu erda eslatib o'tilgan voqea.
Ularga vaqt yaqinlashib qolgandek tuyuladi,
Va ular yana qurbon qilinadilar
Ba'zi ajoyib teorema.
(Viktor Toporov tarjimasi)
Yigirmanchi asrda sovet yozuvchisi Evgeniy Veltistov o'zining "Elektronikaning sarguzashtlari" kitobida butun bobni Pifagor teoremasini isbotlashga bag'ishlagan. Va Pifagor teoremasi asosiy qonun va hatto yagona dunyo uchun din bo'lsa, mavjud bo'lishi mumkin bo'lgan ikki o'lchovli dunyo haqidagi hikoyaning yana bir yarim bobi. U erda yashash ancha oson, lekin ayni paytda zerikarliroq bo'lar edi: masalan, u erda hech kim "yumaloq" va "momiq" so'zlarining ma'nosini tushunmaydi.
Va "Elektronikaning sarguzashtlari" kitobida muallif matematika o'qituvchisi Taratarning og'zidan shunday deydi: "Matematikada asosiy narsa - fikrning harakati, yangi g'oyalar". Aynan mana shu ijodiy tafakkur parvozi Pifagor teoremasini vujudga keltiradi – uning juda xilma-xil dalillari borligi bejiz emas. Bu sizga tanish chegaradan chiqib ketishga va tanish narsalarga yangicha qarashga yordam beradi.
Xulosa
Ushbu maqola sizga tashqariga qarashga yordam berish uchun mo'ljallangan maktab o'quv dasturi Matematika bo'yicha va "Geometriya 7-9" (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) va "Geometriya 7-11" (A.V. Pogorelov) darsliklarida keltirilgan Pifagor teoremasining isbotlarini emas, balki isbotlashning boshqa qiziqarli usullarini ham o'rganing. mashhur teorema. Shuningdek, Pifagor teoremasini kundalik hayotda qanday qo'llash mumkinligi haqidagi misollarni ko'ring.
Birinchidan, ushbu ma'lumot sizga matematika darslarida yuqori ball olish imkonini beradi - qo'shimcha manbalardan olingan mavzu bo'yicha ma'lumotlar har doim yuqori baholanadi.
Ikkinchidan, biz sizga matematika qanchalik qiziqarli ekanligini his qilishda yordam berishni xohladik. Ishonch hosil qilmoq aniq misollar unda ijodkorlik uchun har doim joy borligini. Umid qilamizki, Pifagor teoremasi va ushbu maqola sizni ilhomlantiradi mustaqil qidiruvlar va matematika va boshqa fanlardagi hayajonli kashfiyotlar.
Maqolada keltirilgan dalillarni qiziqarli deb topsangiz, izohlarda bizga ayting. Ushbu ma'lumotni o'qishingizda foydali deb topdingizmi? Pifagor teoremasi va ushbu maqola haqida fikringizni bizga yozing - bularning barchasini siz bilan muhokama qilishdan xursand bo'lamiz.
blog.site, materialni to'liq yoki qisman nusxalashda asl manbaga havola talab qilinadi.
Har bir maktab o'quvchisi gipotenuzaning kvadrati har doim kvadrat bo'lgan oyoqlarning yig'indisiga teng ekanligini biladi. Ushbu bayonot Pifagor teoremasi deb ataladi. Bu trigonometriya va umuman matematikaning eng mashhur teoremalaridan biridir. Keling, buni batafsil ko'rib chiqaylik.
To'g'ri burchakli uchburchak haqida tushuncha
Gipotenuzaning kvadrati kvadrat bo'lgan oyoqlarning yig'indisiga teng bo'lgan Pifagor teoremasini ko'rib chiqishdan oldin, biz teorema to'g'ri bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchakning tushunchasi va xususiyatlarini ko'rib chiqishimiz kerak.
Uchburchak - bu uchta burchakli va uch tomoni bo'lgan tekis shakl. To'g'ri burchakli uchburchak, uning nomidan ko'rinib turibdiki, bitta to'g'ri burchakka ega, ya'ni bu burchak 90 o ga teng.
Kimdan umumiy xususiyatlar barcha uchburchaklar uchun ma'lumki, bu raqamning har uch burchagining yig'indisi 180 o ga teng, ya'ni to'g'ri burchakli uchburchak uchun to'g'ri burchak bo'lmagan ikki burchakning yig'indisi 180 o - 90 o = 90 o ga teng. Oxirgi fakt to'g'ri bo'lmagan uchburchakdagi har qanday burchak har doim 90 o dan kichik bo'lishini anglatadi.
To'g'ri burchakka qarama-qarshi bo'lgan tomon gipotenuza deb ataladi. Boshqa ikki tomon uchburchakning oyoqlari bo'lib, ular bir-biriga teng bo'lishi mumkin yoki ular boshqacha bo'lishi mumkin. Trigonometriyadan bilamizki, uchburchakning bir tomoni yotadigan burchak qanchalik katta bo'lsa, bu tomonning uzunligi shunchalik katta bo'ladi. Bu shuni anglatadiki, to'g'ri burchakli uchburchakda gipotenuza (90 o burchakka qarama-qarshi yotadi) har doim har qanday oyoqdan (burchaklarga qarama-qarshi yotadi) kattaroq bo'ladi.< 90 o).
Pifagor teoremasining matematik belgilanishi
Bu teorema shuni ko'rsatadiki, gipotenuzaning kvadrati har biri avval kvadrat bo'lgan oyoqlarning yig'indisiga teng. Ushbu formulani matematik tarzda yozish uchun a, b va c tomonlari mos ravishda ikki oyoq va gipotenuza bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchakni ko'rib chiqing. Bunday holda, gipotenuzaning kvadrati oyoqlarning kvadratlari yig'indisiga teng bo'lgan teoremani quyidagi formula bilan ifodalash mumkin: c 2 = a 2 + b 2. Bu yerdan amaliyot uchun muhim bo'lgan boshqa formulalarni olish mumkin: a = √(c 2 - b 2), b = √(c 2 - a 2) va c = √(a 2 + b 2).
E'tibor bering, to'g'ri burchakli teng qirrali uchburchakda, ya'ni a = b formulasi: gipotenuzaning kvadrati har biri kvadrat bo'lgan oyoqlarning yig'indisiga teng, matematik tarzda quyidagicha yoziladi: c 2 = a 2 + b 2 = 2a 2, bu tenglikni bildiradi: c = a√2.
Tarixiy ma'lumotnoma
Gipotenuzaning kvadrati har biri kvadrat bo'lgan oyoqlarning yig'indisiga teng degan Pifagor teoremasi mashhur yunon faylasufi unga e'tibor berishdan ancha oldin ma'lum bo'lgan. Qadimgi Misrning ko'plab papiruslari, shuningdek, bobilliklarning loy lavhalari bu xalqlar to'g'ri burchakli uchburchak tomonlarining qayd etilgan xususiyatidan foydalanganliklarini tasdiqlaydi. Misol uchun, birinchi Misr piramidalaridan biri, qurilishi miloddan avvalgi 26-asrga (Pifagor hayotidan 2000 yil oldin) to'g'ri keladigan Xafre piramidasi 3x4x5 o'lchamdagi to'g'ri burchakli uchburchakdagi tomonlar nisbati haqidagi bilimga asoslangan holda qurilgan. .
Nega endi teorema yunoncha nomini oldi? Javob oddiy: Pifagor birinchi bo‘lib bu teoremani matematik jihatdan isbotladi. Omon qolgan Bobil va Misr yozma manbalari faqat uning ishlatilishi haqida gapiradi, lekin hech qanday matematik dalil keltirmaydi.
Pifagor ko'rib chiqilayotgan teoremani to'g'ri burchakli uchburchakda gipotenuzaga 90 o burchakdan balandlikni chizish yo'li bilan olgan o'xshash uchburchaklarning xossalaridan foydalanib isbotlagan deb ishoniladi.
Pifagor teoremasidan foydalanishga misol
Oddiy masalani ko'rib chiqaylik: agar uning balandligi H = 3 metr bo'lganligi ma'lum bo'lsa va zinapoyaning oyog'igacha bo'lgan masofa P = 2,5 bo'lsa, eğimli zinapoyaning L uzunligini aniqlash kerak. metr.
Bunday holda, H va P - oyoqlar, L esa gipotenuzadir. Gipotenuzaning uzunligi oyoqlarning kvadratlari yig'indisiga teng bo'lganligi sababli, biz olamiz: L 2 = H 2 + P 2, bu erdan L = √(H 2 + P 2) = √(3 2 + 2,5 2) ) = 3,905 metr yoki 3 m va 90, 5 sm.
Atrofda va atrofida
Pifagor teoremasining tarixi asrlar va ming yilliklarga borib taqaladi. Ushbu maqolada biz tarixiy mavzularga batafsil to'xtalmaymiz. Intriga uchun, aytaylik, bu teorema miloddan avvalgi 2000 yildan ortiq yashagan qadimgi Misr ruhoniylariga ma'lum bo'lgan. Qiziqqanlar uchun bu yerda Vikipediya maqolasiga havola.Avvalo, to'liqlik uchun men bu erda Pifagor teoremasining isbotini keltirmoqchiman, bu mening fikrimcha, eng oqlangan va ravshandir. Yuqoridagi rasmda ikkita bir xil kvadrat ko'rsatilgan: chap va o'ng. Rasmdan ko'rinib turibdiki, chap va o'ng tomonda soyali raqamlarning maydonlari teng, chunki katta kvadratlarning har birida 4 ta bir xil to'g'ri burchakli uchburchaklar soyalangan. Bu chap va o'ngdagi soyasiz (oq) joylar ham teng ekanligini anglatadi. Biz shuni ta'kidlaymizki, birinchi holatda soyasiz raqamning maydoni ga, ikkinchi holatda esa soyasiz hududning maydoni ga teng. Shunday qilib, . Teorema isbotlangan!
Bu raqamlarga qanday qo'ng'iroq qilish mumkin? Siz ularni uchburchaklar deb atay olmaysiz, chunki to'rtta raqam uchburchak hosil qila olmaydi. Va bu erda! Ko'kdan bolt kabi
Bunday to'rtta sonlar borligi sababli, bu raqamlarda bir xil xususiyatlarga ega geometrik ob'ekt bo'lishi kerakligini anglatadi!
Endi bu xususiyat uchun qandaydir geometrik ob'ektni tanlash qoladi va hamma narsa joyiga tushadi! Albatta, bu taxmin faqat taxminiy edi va uni qo'llab-quvvatlash uchun hech qanday asos yo'q edi. Ammo shunday bo'lsa-chi!
Ob'ektlarni tanlash boshlandi. Yulduzlar, ko'pburchaklar, muntazam, tartibsiz, to'g'ri burchak va boshqalar va boshqalar. Yana hech narsa mos kelmaydi. Nima qilish kerak? Va shu daqiqada Sherlok o'zining ikkinchi etakchisini oladi.
Biz hajmini oshirishimiz kerak! Uchtasi tekislikdagi uchburchakka to'g'ri kelganligi sababli, to'rttasi uch o'lchamli narsaga to'g'ri keladi!
O yoq! Yana juda ko'p variantlar! Va uch o'lchovda juda ko'p turli xil geometrik jismlar mavjud. Ularning barchasidan o'tishga harakat qiling! Lekin hammasi unchalik yomon emas. To'g'ri burchak va boshqa maslahatlar ham bor! Bizda nima bor? Misrning to'rtlik raqamlari (ular Misr bo'lsin, ularni biror narsa deb atash kerak), to'g'ri burchak (yoki burchaklar) va ba'zi uch o'lchovli ob'ekt. Chegirma ishladi! Va... Men ishonamanki, zukko o'quvchilar allaqachon piramidalar haqida gapirayotganini tushunishgan, ulardagi uch burchakning birida uch burchak to'g'ri. Siz hatto ularga qo'ng'iroq qilishingiz mumkin to'rtburchaklar piramidalar to'g'ri burchakli uchburchakka o'xshaydi.
Yangi teorema
Demak, bizda hamma narsa bor. To'rtburchaklar (!) Piramidalar, yon qirralari va sekant yuz-gipotenuza. Boshqa rasm chizish vaqti keldi.
Rasmda cho'qqisi to'rtburchaklar koordinatalarning boshida joylashgan piramida ko'rsatilgan (piramida yon tomonida yotganga o'xshaydi). Piramida koordinata o'qlari bo'ylab koordinata boshidan chizilgan uchta o'zaro perpendikulyar vektorlardan tashkil topgan. Ya'ni, har bir yon cheti Piramida - boshi to'g'ri burchakli to'g'ri burchakli uchburchak. Vektorlarning uchlari kesish tekisligini aniqlaydi va piramidaning asosiy yuzini tashkil qiladi.
Teorema
Uchta o'zaro perpendikulyar vektordan hosil bo'lgan to'rtburchaklar piramida bo'lsin, ularning maydonlari - ga, gipotenuza yuzining maydoni esa - ga teng. KeyinMuqobil formula: Tetraedral piramida uchun, uning cho'qqilaridan birida barcha tekis burchaklar to'g'ri bo'lsa, lateral yuzlar maydonlarining kvadratlari yig'indisi poydevor maydonining kvadratiga teng.
Albatta, agar odatiy Pifagor teoremasi uchburchaklar tomonlari uzunliklari uchun tuzilgan bo'lsa, bizning teoremamiz piramida tomonlari maydonlari uchun tuzilgan. Agar siz ozgina vektor algebrasini bilsangiz, bu teoremani uch o'lchamda isbotlash juda oson.
Isbot
Maydonlarni vektorlarning uzunliklari bilan ifodalaymiz.
Qayerda.Maydonni vektorlar ustiga qurilgan parallelogrammning yarmi maydoni sifatida tasavvur qilaylik
Ma'lumki, ikkita vektorning vektor mahsuloti uzunligi ushbu vektorlarda tuzilgan parallelogramm maydoniga son jihatdan teng bo'lgan vektordir.
Shunung uchun
Shunday qilib,
Q.E.D!Albatta, professional tadqiqot bilan shug'ullanadigan odam sifatida, bu mening hayotimda bir necha marta sodir bo'lgan. Ammo bu lahza eng yorqin va eng esda qolarli bo'ldi. Men kashfiyotchining barcha his-tuyg'ulari, his-tuyg'ulari va tajribalarini boshdan kechirdim. Fikrning tug'ilishidan, g'oyaning kristallanishidan, dalillarning topilishidan - mening g'oyalarim do'stlarim, tanishlarim va o'sha paytda menga tuyulgandek, butun dunyo o'rtasida to'liq tushunmovchilik va hatto rad etishgacha. Bu noyob edi! Men o'zimni Galiley, Kopernik, Nyuton, Shredinger, Bor, Eynshteyn va boshqa ko'plab kashfiyotchilarning o'rniga tushgandek his qildim.
Keyingi so'z
Hayotda hamma narsa ancha sodda va prozaik bo'lib chiqdi. Men kechikdim... Lekin qancha! Faqat 18 yoshda! Dahshatli uzoq davom etgan qiynoqlar ostida va birinchi marta emas, Google menga bu teorema 1996 yilda nashr etilganligini tan oldi!Ushbu maqola Texas Tech University Press tomonidan chop etilgan. Mualliflar, professional matematiklar terminologiyani kiritdilar (aytmoqchi, bu ko'p jihatdan menikiga to'g'ri keldi) va shuningdek, birdan katta har qanday o'lchamdagi fazo uchun amal qiladigan umumlashtirilgan teoremani isbotladilar. 3 dan yuqori o'lchamlarda nima sodir bo'ladi? Hamma narsa juda oddiy: yuzlar va joylar o'rniga gipersurfaslar va ko'p o'lchovli hajmlar bo'ladi. Va bayonot, albatta, bir xil bo'lib qoladi: yon yuzlar hajmlari kvadratlari yig'indisi taglik hajmining kvadratiga teng - shunchaki yuzlar soni ko'proq bo'ladi va har birining hajmi. ularning soni hosil qiluvchi vektorlar mahsulotining yarmiga teng bo'ladi. Tasavvur qilish deyarli mumkin emas! Faqat faylasuflar aytganidek, o'ylash mumkin!
Ajablanarlisi shundaki, men bunday teorema allaqachon ma'lum ekanligini bilganimda, men umuman xafa bo'lmadim. Qalbimning tub-tubida men birinchi bo'lmaganligimga shubha qildim va bunga doimo tayyor bo'lishim kerakligini tushundim. Ammo men olgan o'sha hissiy tajriba menda tadqiqotchi uchqunini yoqib yubordi, men ishonamanki, endi hech qachon so'nmaydi!
P.S.
Bilimdon o'quvchi izohlarda havola yubordi
De Gois teoremasiVikipediyadan parcha
1783 yilda teorema Parij Fanlar akademiyasiga fransuz matematigi J.-P. de Gois, lekin ilgari Rene Dekart va undan oldin Iogann Fulgaberga ma'lum bo'lgan, ehtimol 1622 yilda uni birinchi bo'lib kashf etgan. Ko'proq umumiy ko'rinish teorema Charlz Tinso (frantsuz) tomonidan 1774 yilda Parij Fanlar akademiyasiga bergan hisobotida shakllantirilgan.Demak, men 18 yil emas, balki kamida bir necha asr kechikdim!
Manbalar
O'quvchilar sharhlarda bir nechta foydali havolalarni taqdim etdilar. Mana bu va boshqa havolalar:
