"Kisrli yechim ratsional tenglamalar"

Dars maqsadlari:

Tarbiyaviy:

    kasr ratsional tenglamalar tushunchasini shakllantirish; kasr ratsional tenglamalarni yechishning turli usullarini ko'rib chiqish; kasr ratsional tenglamalarni yechish algoritmini, shu jumladan kasr nolga teng bo‘lgan shartni ko‘rib chiqish; kasr ratsional tenglamalarni algoritm yordamida yechishni o‘rgatish; mavzuni o`zlashtirish darajasini test ishini o`tkazish orqali tekshirish.

Rivojlanish:

    olingan bilimlar bilan to'g'ri ishlash va mantiqiy fikrlash qobiliyatini rivojlantirish; intellektual qobiliyatlarni va aqliy operatsiyalarni rivojlantirish - tahlil qilish, sintez qilish, taqqoslash va umumlashtirish; tashabbusni rivojlantirish, qaror qabul qilish qobiliyati va u erda to'xtab qolmaslik; tanqidiy fikrlashni rivojlantirish; tadqiqot ko'nikmalarini rivojlantirish.

Tarbiyalash:

    tarbiya kognitiv qiziqish mavzuga; ta'lim muammolarini hal qilishda mustaqillikni tarbiyalash; yakuniy natijalarga erishish uchun iroda va qat'iyatni tarbiyalash.

Dars turi: dars - yangi materialni tushuntirish.

Darsning borishi

1. Tashkiliy moment.

Salom yigitlar! Doskada tenglamalar yozilgan, ularga diqqat bilan qarang. Bu tenglamalarning barchasini yecha olasizmi? Qaysi biri yo'q va nima uchun?

Chap va o'ng tomonlari kasr ratsional ifodalar bo'lgan tenglamalar kasr ratsional tenglamalar deyiladi. Sizningcha, bugun darsda nimani o'rganamiz? Dars mavzusini shakllantirish. Shunday qilib, daftarlaringizni oching va "Kasr ratsional tenglamalarni yechish" dars mavzusini yozing.

2. Bilimlarni yangilash. Frontal so'rov, sinf bilan og'zaki ish.

Va endi biz yangi mavzuni o'rganishimiz kerak bo'lgan asosiy nazariy materialni takrorlaymiz. Iltimos, quyidagi savollarga javob bering:

1. Tenglama deb nimaga aytiladi? ( O'zgaruvchi yoki o'zgaruvchi bilan tenglik.)

2. No1 tenglama qanday nomlanadi? ( Chiziqli.) Chiziqli tenglamalarni yechish usuli. ( Noma'lum hamma narsani tenglamaning chap tomoniga, barcha raqamlarni o'ngga o'tkazing. Shunga o'xshash shartlarni keltiring. Noma'lum omilni toping).

3. No3 tenglama qanday nomlanadi? ( Kvadrat.) Yechimlar kvadrat tenglamalar. (Vyeta teoremasi va uning natijalaridan foydalangan holda formulalar yordamida to'liq kvadratni ajratib olish.)

4. Proporsiya nima? ( Ikki nisbatning tengligi.) Proporsiyaning asosiy xossasi. ( Agar mutanosiblik to‘g‘ri bo‘lsa, uning ekstremal hadlari ko‘paytmasi o‘rta hadlar ko‘paytmasiga teng bo‘ladi.)

5. Tenglamalarni yechishda qanday xossalardan foydalaniladi? ( 1. Agar tenglamadagi hadni belgisini o‘zgartirib, bir qismdan ikkinchi qismga o‘tkazsangiz, berilgan tenglamaga ekvivalent hosil bo‘ladi. 2. Agar tenglamaning ikkala tomoni bir xil nolga teng bo‘lmagan songa ko‘paytirilsa yoki bo‘linsa, berilgan tenglamaga ekvivalent hosil bo‘ladi..)

6. Kasr qachon nolga teng bo'ladi? ( Numerator bo'lganda kasr nolga teng nolga teng, va maxraj nolga teng emas.)

3. Yangi materialni tushuntirish.

No2 tenglamani daftar va doskaga yeching.

Javob: 10.

Proporsiyaning asosiy xossasidan foydalanib qanday kasrli ratsional tenglamani yechishga harakat qila olasiz? (№ 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x2-4x-2x+8 = x2+3x+2x+6

x2-6x-x2-5x = 6-8

No4 tenglamani daftaringizga va doskaga yeching.

Javob: 1,5.

Tenglamaning har ikki tomonini maxrajga ko‘paytirish orqali qanday kasrli ratsional tenglamani yechishga urinib ko‘rishingiz mumkin? (№ 6).

D=1›0, x1=3, x2=4.

Javob: 3;4.

Endi quyidagi usullardan biri yordamida 7-raqamli tenglamani yechishga harakat qiling.

(x2-2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)

(x2-2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0

x(x-5)(x2-2x-5-(x+5))=0

x2-2x-5-x-5=0

x(x-5)(x2-3x-10)=0

x=0 x-5=0 x2-3x-10=0

x1=0 x2=5 D=49

Javob: 0;5;-2.

Javob: 5;-2.

Nima uchun bu sodir bo'lganini tushuntiring? Nima uchun bir holatda uchta, ikkinchisida ikkita ildiz bor? Ushbu kasr ratsional tenglamaning ildizlari qanday raqamlardan iborat?

Hozirgacha talabalar begona ildiz tushunchasiga duch kelmaganlar, nima uchun bu sodir bo'lganini tushunish juda qiyin. Agar sinfda hech kim bu holatni aniq tushuntira olmasa, o'qituvchi etakchi savollarni beradi.

    No2 va 4 tenglamalar No5,6,7 tenglamalardan qanday farq qiladi? ( No 2 va 4 tenglamalarda maxrajdagi sonlar, 5-7 o'zgaruvchili ifodalar mavjud..) Tenglamaning ildizi nima? ( Tenglama rost bo'ladigan o'zgaruvchining qiymati.) Son tenglamaning ildizi ekanligini qanday aniqlash mumkin? ( Chek qiling.)

Sinov paytida ba'zi talabalar nolga bo'lishlari kerakligini payqashadi. Ular 0 va 5 raqamlari bu tenglamaning ildizi emas degan xulosaga kelishadi. Savol tug'iladi: kasrli ratsional tenglamalarni yechishning yo'li bormi, bu bizga yo'q qilishga imkon beradi bu xato? Ha, bu usul kasr nolga teng bo'lish shartiga asoslanadi.

x2-3x-10=0, D=49, x1=5, x2=-2.

Agar x=5 bo'lsa, x(x-5)=0, ya'ni 5 begona ildizdir.

Agar x=-2 bo'lsa, x(x-5)≠0.

Javob: -2.

Shu tarzda kasr ratsional tenglamalarni yechish algoritmini shakllantirishga harakat qilaylik. Bolalar algoritmni o'zlari tuzadilar.

Kasrli ratsional tenglamalarni yechish algoritmi:

1. Hamma narsani chap tomonga o'tkazing.

2. Kasrlarni umumiy maxrajga keltiring.

3. Tizim tuzing: pay nolga teng, maxraj esa nolga teng bo‘lmaganda kasr nolga teng bo‘ladi.

4. Tenglamani yeching.

5. Chet ildizlarni istisno qilish uchun tengsizlikni tekshiring.

6. Javobni yozing.

Munozara: agar siz mutanosiblikning asosiy xususiyatidan foydalansangiz va tenglamaning ikkala tomonini umumiy maxrajga ko'paytirsangiz, yechimni qanday rasmiylashtirish kerak. (Yechimga qo'shing: umumiy maxrajni yo'qotadiganlarni uning ildizidan chiqarib tashlang).

4. Yangi materialni dastlabki tushunish.

Juftlikda ishlash. Talabalar tenglama turiga qarab tenglamani yechish usulini o‘zlari tanlaydilar. “Algebra 8” darsligidan topshiriqlar, 2007: No 000 (b, c, i); № 000(a, d, g). O'qituvchi topshiriqning bajarilishini nazorat qiladi, yuzaga kelgan savollarga javob beradi va past o'quvchilarga yordam beradi. O'z-o'zini tekshirish: javoblar doskaga yoziladi.

b) 2 – begona ildiz. Javob: 3.

c) 2 – begona ildiz. Javob: 1.5.

a) Javob: -12.5.

g) Javob: 1;1,5.

5. Uy vazifasini belgilash.

2. Kasr ratsional tenglamalarni yechish algoritmini bilib oling.

3. No 000 (a, d, e) daftarlarida yechish; № 000 (g, h).

4. 000(a) ni yechishga harakat qiling (ixtiyoriy).

6. O`rganilgan mavzu bo`yicha nazorat topshirig`ini bajarish.

Ish qog'oz varaqlarida amalga oshiriladi.

Misol topshiriq:

A) Qaysi tenglama kasr ratsional hisoblanadi?

B) Numerator ______________________ va maxraji _______________________ bo'lganda kasr nolga teng.

S) -3 soni 6-raqamli tenglamaning ildizimi?

D) No7 tenglamani yeching.

Topshiriqni baholash mezonlari:

    Agar talaba topshiriqning 90% dan ortig'ini to'g'ri bajargan bo'lsa, "5" beriladi. “4” - 75%-89% “3” - 50%-74% “2” topshiriqni 50% dan kam bajargan talabaga beriladi. Jurnalda 2 ball berilmaydi, 3 ball ixtiyoriy.

7. Reflektsiya.

Mustaqil ish varaqlarida:

    1 - agar dars siz uchun qiziqarli va tushunarli bo'lsa; 2 - qiziqarli, ammo aniq emas; 3 - qiziq emas, lekin tushunarli; 4 - qiziq emas, aniq emas.

8. Darsni yakunlash.

Shunday qilib, bugun darsda biz kasrli ratsional tenglamalar bilan tanishdik, bu tenglamalarni yechish usullarini bilib oldik. turli yo'llar bilan, trening yordamida bilimlarini sinab ko‘rdi mustaqil ish. Mustaqil ishingiz natijalarini keyingi darsda bilib olasiz va uyda o'z bilimlaringizni mustahkamlash imkoniyatiga ega bo'lasiz.

Kasrli ratsional tenglamalarni yechishning qaysi usuli, sizningcha, osonroq, qulayroq va oqilona? Kasrli ratsional tenglamalarni yechish usulidan qat'i nazar, nimani yodda tutish kerak? Kasrli ratsional tenglamalarning "ayyorligi" nima?

Hammaga rahmat, dars tugadi.

Biz allaqachon kvadrat tenglamalarni echishni o'rgandik. Endi o'rganilgan usullarni ratsional tenglamalarga kengaytiramiz.

Ratsional ifoda nima? Biz bu tushunchaga allaqachon duch kelganmiz. Ratsional ifodalar raqamlar, oʻzgaruvchilar, ularning quvvatlari va matematik amallarning belgilaridan tashkil topgan ifodalardir.

Shunga ko'ra, ratsional tenglamalar quyidagi ko'rinishdagi tenglamalardir: , bu erda - ratsional ifodalar.

Ilgari biz faqat chiziqli tenglamalarga keltirilishi mumkin bo'lgan ratsional tenglamalarni ko'rib chiqdik. Keling, kvadrat tenglamalarga keltirilishi mumkin bo'lgan ratsional tenglamalarni ko'rib chiqaylik.

1-misol

Tenglamani yeching: .

Yechim:

Kasr 0 ga teng bo'ladi, agar uning soni 0 ga teng bo'lsa va maxraji 0 ga teng bo'lmasa.

Biz quyidagi tizimni olamiz:

Tizimning birinchi tenglamasi kvadrat tenglamadir. Uni yechishdan oldin uning barcha koeffitsientlarini 3 ga bo'lamiz.

Biz ikkita ildiz olamiz: ; .

2 hech qachon 0 ga teng bo'lmagani uchun ikkita shart bajarilishi kerak: . Yuqorida olingan tenglamaning hech bir ildizi ikkinchi tengsizlikni echishda olingan o'zgaruvchining noto'g'ri qiymatlariga to'g'ri kelmaganligi sababli, ikkalasi ham ushbu tenglamaning echimi hisoblanadi.

Javob:.

Shunday qilib, ratsional tenglamalarni yechish algoritmini tuzamiz:

1. Barcha shartlarni chap tomonga o'tkazing, shunda o'ng tomon 0 bilan tugaydi.

2. Chap tomonni o'zgartiring va soddalashtiring, barcha kasrlarni umumiy maxrajga keltiring.

3. Quyidagi algoritm yordamida olingan kasrni 0 ga tenglashtiring: .

4. Birinchi tenglamada olingan ildizlarni yozing va javobda ikkinchi tengsizlikni qanoatlantiring.

Keling, yana bir misolni ko'rib chiqaylik.

2-misol

Tenglamani yeching: .

Yechim

Eng boshida biz barcha shartlarni chapga siljitamiz, shunda o'ng tomonda 0 qoladi:

Endi tenglamaning chap tomonini umumiy maxrajga keltiramiz:

Ushbu tenglama tizimga teng:

Tizimning birinchi tenglamasi kvadrat tenglamadir.

Bu tenglamaning koeffitsientlari: . Diskriminantni hisoblaymiz:

Biz ikkita ildiz olamiz: ; .

Endi ikkinchi tengsizlikni yechamiz: omillarning ko‘paytmasi 0 ga teng bo‘lmaydi, agar omillarning hech biri 0 ga teng bo‘lmasa.

Ikki shart bajarilishi kerak: . Birinchi tenglamaning ikkita ildizidan faqat bittasi mos ekanligini topamiz - 3.

Javob:.

Ushbu darsda biz ratsional ifoda nima ekanligini esladik, shuningdek, kvadrat tenglamalarga keltiruvchi ratsional tenglamalarni yechish usullarini o'rgandik.

Keyingi darsda ratsional tenglamalarni real vaziyatlarning modellari sifatida ko'rib chiqamiz, shuningdek, harakat masalalarini ko'rib chiqamiz.

Ma'lumotnomalar

  1. Bashmakov M.I. Algebra, 8-sinf. - M.: Ta'lim, 2004 yil.
  2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. va boshqalar Algebra, 8. 5-nashr. - M.: Ta'lim, 2010 yil.
  3. Nikolskiy S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra, 8-sinf. uchun o'quv qo'llanma ta'lim muassasalari. - M.: Ta'lim, 2006 yil.
  1. Pedagogik g‘oyalar festivali” Ochiq dars" ().
  2. School.xvatit.com ().
  3. Rudocs.exdat.com ().

Uy vazifasi

Biz sizni kasrlar bilan tenglamalarni echish bo'yicha darsga taklif qilamiz, ehtimol siz o'tmishda bunday tenglamalarga duch kelgansiz, shuning uchun bu darsda biz bilgan ma'lumotlarni takrorlaymiz va umumlashtiramiz.

Saytda ko'proq darslar

Kasr-ratsional tenglama - bu ratsional kasrlar, ya'ni maxrajdagi o'zgaruvchi mavjud bo'lgan tenglama. Siz o'tmishda shunga o'xshash tenglamalarga duch kelgan bo'lishingiz mumkin, shuning uchun bu darsda biz bilganlaringizni ko'rib chiqamiz va umumlashtiramiz.

Birinchidan, men ushbu mavzu bo'yicha oldingi darsga - "Kvadrat tenglamalarni echish" darsiga murojaat qilishni taklif qilaman. O'sha darsda kasr ratsional tenglamani yechish misoli ko'rib chiqildi. Keling, ko'rib chiqaylik

Ushbu tenglamaning yechimi bir necha bosqichda amalga oshiriladi:

  • Ratsional kasrlarni o'z ichiga olgan tenglamani aylantirish.
  • Butun tenglamaga o'tish va uni soddalashtirish;
  • Kvadrat tenglamani yechish.

Har qanday kasr ratsional tenglamani yechishda dastlabki 2 bosqichdan o'tish kerak. Uchinchi bosqich ixtiyoriydir, chunki soddalashtirishlar natijasida olingan tenglama kvadratik emas, balki chiziqli bo'lishi mumkin; qaror chiziqli tenglama- ancha oson. Kasrli ratsional tenglamani yechishda yana bir muhim qadam bor. Bu keyingi tenglamani yechishda ko'rinadi.

birinchi navbatda nima qilish kerak? - Albatta, kasrlarni umumiy maxrajga keltiring. Va aniq topish juda muhim kamida umumiy maxraj, aks holda, bundan keyin, yechim jarayonida, tenglama murakkablashadi. Bu erda biz oxirgi kasrning maxrajini faktorlarga ajratish mumkinligini ta'kidlaymiz da Va y+2. Aynan shu mahsulot ushbu tenglamada umumiy maxraj bo'ladi. Endi kasrlarning har biri uchun qo'shimcha omillarni aniqlashimiz kerak. Aniqrog'i, oxirgi kasr uchun bunday ko'paytma kerak emas, chunki uning maxraji umumiyga teng. Endi barcha kasrlar bir xil maxrajlarga ega bo'lsa, biz bir xil sonlardan tashkil topgan butun tenglamaga o'tishimiz mumkin. Lekin shuni alohida ta'kidlash kerak noma'lumning topilgan qiymati hech qanday maxrajni nolga kamaytira olmaydi. Bu ODZ: y≠0, y≠2. Bu yechimning ilgari tasvirlangan bosqichlarining birinchisini yakunlaydi va biz ikkinchisiga o'tamiz - natijada butun tenglamani soddalashtiramiz. Buning uchun qavslarni oching, barcha shartlarni tenglamaning bir tomoniga o'tkazing va shunga o'xshashlarini keltiring. Buni o'zingiz qiling va tenglamani bergan hisob-kitoblarim to'g'ri yoki yo'qligini tekshiring 3y 2 – 12y = 0. Bu tenglama kvadrat bo'lib, unda yozilgan standart shakl, va uning koeffitsientlaridan biri nolga teng.

Avvalo, ratsional kasrlar bilan xatosiz ishlashni o'rganish uchun siz qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini o'rganishingiz kerak. Va o'rganish oson emas - atamalarning roli sinuslar, logarifmlar va ildizlar bo'lsa ham, ularni tan olish kerak.

Biroq, asosiy vosita ratsional kasrning hisoblagichi va maxrajini koeffitsientga ajratish bo'lib qoladi. Bunga uch xil yo'l bilan erishish mumkin:

  1. Aslida, qisqartirilgan ko'paytirish formulasiga ko'ra: ular sizga ko'phadni bir yoki bir nechta omillarga yig'ish imkonini beradi;
  2. Kvadrat uch a'zoni diskriminant orqali ko'paytirgichlardan foydalanish. Xuddi shu usul har qanday trinomiyani umuman faktorlarga ajratish mumkin emasligini tekshirish imkonini beradi;
  3. Guruhlash usuli eng murakkab vositadir, lekin shunday yagona yo'l, agar avvalgi ikkitasi ishlamasa ishlaydi.

Ushbu videoning nomidan taxmin qilganingizdek, biz yana ratsional kasrlar haqida gaplashamiz. Bir necha daqiqa oldin men o'ninchi sinf o'quvchisi bilan darsni tugatdim va u erda biz aynan shu iboralarni tahlil qildik. Shuning uchun bu dars maxsus o'rta maktab o'quvchilari uchun mo'ljallangan.

Albatta, ko'pchilikda savol tug'iladi: "Nima uchun 10-11-sinf o'quvchilari ratsional kasrlar kabi oddiy narsalarni o'rganishlari kerak, chunki bu 8-sinfda o'qitiladi?" Ammo muammo shundaki, ko'pchilik bu mavzuni "o'tadi". 10-11-sinflarda ular 8-sinfdan boshlab ratsional kasrlarni ko‘paytirish, bo‘lish, ayirish va qo‘shishni qanday bajarishni endi eslay olmaydilar, ammo mana shu oddiy bilim asosida logarifmik, trigonometrik tenglamalar va boshqa ko'plab murakkab iboralar, shuning uchun o'rta maktabda ratsional kasrlarsiz deyarli hech narsa qilish mumkin emas.

Muammolarni hal qilish uchun formulalar

Keling, biznesga kirishaylik. Avvalo, bizga ikkita fakt kerak - ikkita formulalar to'plami. Avvalo, qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini bilishingiz kerak:

  • $((a)^(2))-(b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right)$ — kvadratlar farqi;
  • $((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \right))^(2))$ yig‘indi yoki farqning kvadrati ;
  • $((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \right)\left(((a)^(2))-ab+(b)^( 2)) \right)$ - kublar yig‘indisi;
  • $((a)^(3))-((b)^(3))=\left(a-b \o'ng)\left(((a)^(2))+ab+(b)^(2) ) \right)$ - kublarning farqi.

Ular hech qanday misollarda ham, haqiqiy jiddiy iboralarda ham sof shaklda uchramaydi. Shuning uchun bizning vazifamiz $a$ va $b$ harflari ostida ancha murakkab tuzilmalarni, masalan, logarifmalar, ildizlar, sinuslar va boshqalarni ko'rishni o'rganishdir. Buni faqat doimiy mashq qilish orqali ko'rishni o'rganishingiz mumkin. Shuning uchun ratsional kasrlarni yechish mutlaqo zarurdir.

Ikkinchi, mutlaqo ravshan formula - kvadratik uch a'zoni faktorizatsiya qilish:

$((x)_(1))$; $((x)_(2))$ ildizdir.

Biz nazariy qismni ko'rib chiqdik. Lekin 8-sinfda o'rganiladigan haqiqiy ratsional kasrlarni qanday yechish mumkin? Endi mashq qilamiz.

Vazifa № 1

\[\frac(27((a)^(3))-64((b)^(3)(((b)^(3))-4):\frac(9((a)^ (2))+12ab+16((b)^(2)((b)^(2))+4b+4)\]

Yuqoridagi formulalarni ratsional kasrlarni yechishda qo‘llashga harakat qilaylik. Avvalo, nima uchun faktorizatsiya zarurligini tushuntirmoqchiman. Gap shundaki, vazifaning birinchi qismida birinchi qarashda siz kubni kvadrat bilan qisqartirishni xohlaysiz, ammo bu qat'iyan man etiladi, chunki ular hisoblagich va maxrajdagi atamalar, lekin hech qanday holatda omillar emas.

Qanday bo'lmasin, qisqartma nima? Qisqartirish - bunday iboralar bilan ishlash uchun asosiy qoidadan foydalanish. Kasrning asosiy xususiyati shundaki, biz pay va maxrajni "nol" dan boshqa bir xil raqamga ko'paytirishimiz mumkin. Bunday holda, biz kamaytirganda, biz, aksincha, "nol" dan farq qiladigan bir xil raqamga bo'linamiz. Biroq, biz maxrajdagi barcha shartlarni bir xil songa bo'lishimiz kerak. Siz buni qila olmaysiz. Biz esa ularning har ikkalasi koeffitsientga ajratilgandagina maxrajli sonni kamaytirishga haqlimiz. Keling, buni qilaylik.

Endi siz ma'lum bir elementda qancha atama borligini ko'rishingiz kerak va shunga mos ravishda qaysi formuladan foydalanishni bilib olishingiz kerak.

Keling, har bir ifodani aniq kubga aylantiramiz:

Numeratorni qayta yozamiz:

\[((\left(3a \right))^(3))-((\left(4b \right))^(3))=\left(3a-4b \o'ng)\left(((\chap) (3a \o'ng))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \o'ng))^(2)) \o'ng)\]

Keling, maxrajni ko'rib chiqaylik. Keling, uni kvadratlar farqi formulasidan foydalanib kengaytiramiz:

\[((b)^(2))-4=((b)^(2))-((2)^(2))=\left(b-2 \o'ng)\chap(b+2 \ o'ng)\]

Endi iboraning ikkinchi qismini ko'rib chiqamiz:

Hisoblagich:

Maxrajni aniqlash uchun qoladi:

\[((b)^(2))+2\cdot 2b+((2)^(2))=((\left(b+2 \o'ng))^(2))\]

Yuqoridagi faktlarni hisobga olgan holda butun tuzilmani qayta yozamiz:

\[\frac(\left(3a-4b \o'ng)\left(((\left(3a \o'ng))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \o'ng))^(2 )) \o'ng))(\left(b-2 \o'ng)\left(b+2 \o'ng))\cdot \frac(((\left(b+2 \o'ng))^(2))))( ((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \o'ng))^(2)))=\]

\[=\frac(\left(3a-4b \o'ng)\left(b+2 \o'ng))(\left(b-2 \o'ng))\]

Ratsional kasrlarni ko'paytirishning nuanslari

Ushbu konstruktsiyalardan asosiy xulosalar quyidagilar:

  • Har bir polinomni faktorlarga ajratish mumkin emas.
  • Agar u parchalangan bo'lsa ham, qisqartirilgan ko'paytirish formulasi nima ekanligini diqqat bilan ko'rib chiqishingiz kerak.

Buni amalga oshirish uchun, birinchi navbatda, nechta atama borligini taxmin qilishimiz kerak (agar ikkita bo'lsa, biz ularni kvadratlar ayirmasi yoki kublar yig'indisi yoki ayirmasi bilan kengaytirishimiz mumkin; va agar uchtasi bor, keyin bu , yagona, yig'indining kvadrati yoki farqning kvadrati). Ko'pincha hisoblagich yoki maxraj faktorlashtirishni talab qilmaydi, u chiziqli bo'lishi mumkin yoki uning diskriminanti manfiy bo'ladi;

Muammo № 2

\[\frac(3-6x)(2((x)^(2))+4x+8)\cdot \frac(2x+1)((x)^(2))+4-4x)\ cdot \frac(8-((x)^(3))(4((x)^(2))-1)\]

Umuman olganda, ushbu muammoni hal qilish sxemasi avvalgisidan farq qilmaydi - shunchaki ko'proq harakatlar bo'ladi va ular yanada xilma-xil bo'ladi.

Birinchi kasrdan boshlaylik: uning numeratoriga qarang va mumkin bo'lgan o'zgarishlarni amalga oshiring:

Endi maxrajga qaraylik:

Ikkinchi kasr bilan: numeratorda umuman hech narsa qilish mumkin emas, chunki u chiziqli ifoda bo'lib, undan biron bir omilni olib tashlash mumkin emas. Keling, maxrajni ko'rib chiqaylik:

\[((x)^(2))-4x+4=((x)^(2))-2\cdot 2x+((2)^(2))=((\left(x-2 \oʻng) ))^(2))\]

Keling, uchinchi kasrga o'tamiz. Hisoblagich:

Keling, oxirgi kasrning maxrajini ko'rib chiqaylik:

Yuqoridagi faktlarni hisobga olgan holda ifodani qayta yozamiz:

\[\frac(3\left(1-2x \o'ng))(2\left(((x)^(2))+2x+4 \o'ng))\cdot \frac(2x+1)((( \left(x-2 \right))^(2)))\cdot \frac(\left(2-x \right)\left(((2)^(2))+2x+((x)^( 2)) \o'ng))(\left(2x-1 \o'ng)\left(2x+1 \o'ng))=\]

\[=\frac(-3)(2\chap(2-x \o'ng))=-\frac(3)(2\chap(2-x \o'ng))=\frac(3)(2\chap) (x-2 \o'ng))\]

Yechimning nuanslari

Ko'rib turganingizdek, hamma narsa va har doim ham qisqartirilgan ko'paytirish formulalariga bog'liq emas - ba'zida qavs ichidan doimiy yoki o'zgaruvchini qo'yish kifoya. Biroq, teskari holat, shuningdek, atamalar juda ko'p bo'lsa yoki ular shunday tuzilganki, ular uchun qisqartirilgan ko'paytirish formulalari umuman mumkin emas. Bunday holda, bizning yordamimizga universal vosita keladi, ya'ni guruhlash usuli. Aynan shu narsani biz keyingi masalada qo'llaymiz.

Muammo № 3

\[\frac(((a)^(2))+ab)(5a-((a)^(2))+((b)^(2))-5b)\cdot \frac(((a) )^(2))-((b)^(2))+25-10a)((a)^(2))-((b)^(2)))\]

Keling, birinchi qismni ko'rib chiqaylik:

\[((a)^(2))+ab=a\chap(a+b \o'ng)\]

\[=5\chap(a-b \o'ng)-\chap(a-b \o'ng)\chap(a+b \o'ng)=\chap(a-b \o'ng)\chap(5-1\chap(a+b \o'ng) )\o'ng)=\]

\[=\chap(a-b \o'ng)\chap(5-a-b \o'ng)\]

Keling, asl ifodani qayta yozamiz:

\[\frac(a\left(a+b \o'ng))(\left(a-b \o'ng)\left(5-a-b \o'ng))\cdot \frac(((a)^(2))-( (b)^(2))+25-10a)((a)^(2))-((b)^(2)))\]

Endi ikkinchi qavsni ko'rib chiqamiz:

\[((a)^(2))-(b)^(2))+25-10a=((a)^(2))-10a+25-((b)^(2))= \left(((a)^(2))-2\cdot 5a+((5)^(2)) \right)-((b)^(2))=\]

\[=((\left(a-5 \o'ng))^(2))-((b)^(2))=\left(a-5-b \o'ng)\chap(a-5+b) \o'ng)\]

Ikki elementni guruhlash mumkin emasligi sababli, biz uchta guruhga joylashtirdik. Faqat oxirgi kasrning maxrajini aniqlash qoladi:

\[((a)^(2))-(b)^(2))=\left(a-b \o'ng)\left(a+b \o'ng)\]

Endi butun qurilishimizni qayta yozamiz:

\[\frac(a\left(a+b \o'ng))(\left(a-b \o'ng)\left(5-a-b \o'ng))\cdot \frac(\left(a-5-b \o'ng)) \left(a-5+b \o'ng))(\left(a-b \o'ng)\left(a+b \o'ng))=\frac(a\left(b-a+5 \o'ng))((( \left(a-b \right))^(2)))\]

Muammo hal qilindi va bu erda boshqa hech narsani soddalashtirib bo'lmaydi.

Yechimning nuanslari

Biz guruhlashni tartibga soldik va boshqasini oldik kuchli vosita, bu faktorizatsiya imkoniyatlarini kengaytiradi. Ammo muammo shundaki haqiqiy hayot Hech kim bizga bunday aniq misollarni keltirmaydi, bu erda bir nechta kasrlar mavjud bo'lib, unda siz faqat hisoblagich va maxrajni ko'paytirishingiz kerak va keyin, agar iloji bo'lsa, ularni kamaytiring. Haqiqiy ifodalar ancha murakkab bo'ladi.

Katta ehtimol bilan, ko'paytirish va bo'lishdan tashqari, ayirish va qo'shimchalar, barcha turdagi qavslar bo'ladi - umuman olganda, siz harakatlar tartibini hisobga olishingiz kerak bo'ladi. Ammo eng yomoni, kasrlarni ayirish va qo'shishda turli denominatorlar ularni bitta umumiy narsaga qisqartirish kerak bo'ladi. Buning uchun ularning har birini faktorlarga ajratish kerak bo'ladi, keyin esa bu kasrlarni o'zgartiradi: shunga o'xshashlarni va yana ko'p narsalarni bering. Buni qanday qilib to'g'ri, tez va ayni paytda aniq to'g'ri javob olish mumkin? Aynan shu narsa haqida hozir misol sifatida quyidagi konstruktsiyadan foydalangan holda gaplashamiz.

Muammo № 4

\[\left(((x)^(2))+\frac(27)(x) \o'ng)\cdot \left(\frac(1)(x+3)+\frac(1)((( x)^(2))-3x+9) \o'ng)\]

Keling, birinchi kasrni yozamiz va uni alohida aniqlashga harakat qilamiz:

\[((x)^(2))+\frac(27)(x)=\frac(((x)^(2)))(1)+\frac(27)(x)=\frac( ((x)^(3)))(x)+\frac(27)(x)=\frac(((x)^(3))+27)(x)=\frac((x)^ (3))+((3)^(3)(x)=\]

\[=\frac(\left(x+3 \o'ng)\left(((x)^(2))-3x+9 \o'ng))(x)\]

Keling, ikkinchisiga o'tamiz. Darhol maxrajning diskriminantini hisoblaymiz:

Uni faktorlarga ajratib bo'lmaydi, shuning uchun biz quyidagilarni yozamiz:

\[\frac(1)(x+3)+\frac(1)(((x)^(2))-3x+9)=\frac(((x)^(2))-3x+9 +x+3)(\left(x+3 \o'ng)\left(((x)^(2))-3x+9 \o'ng))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-2x+12)(\left(x+3 \o'ng)\left(((x)^(2))-3x+9 \o'ng)) \]

Numeratorni alohida yozamiz:

\[((x)^(2))-2x+12=0\]

Demak, bu polinomni faktorlarga ajratish mumkin emas.

Biz allaqachon qila oladigan va parchalanadigan maksimal narsani qildik.

Shunday qilib, biz asl qurilishimizni qayta yozamiz va olamiz:

\[\frac(\left(x+3 \o'ng)\left(((x)^(2))-3x+9 \o'ng))(x)\cdot \frac(((x)^(2) )-2x+12)(\left(x+3 \o'ng)\left(((x)^(2))-3x+9 \o'ng))=\frac(((x)^(2))- 2x+12)(x)\]

Mana, muammo hal qilindi.

Rostini aytsam, bu unchalik qiyin ish emas edi: hamma narsa osonlikcha faktorlashtirildi, shunga o'xshash atamalar tezda qisqartirildi va hamma narsa chiroyli tarzda qisqartirildi. Shunday qilib, endi jiddiyroq muammoni hal qilishga harakat qilaylik.

Muammo № 5

\[\left(\frac(x)((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \o'ng)\cdot \left(\frac(((x)^(2))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \o'ng)\]

Birinchidan, birinchi qavs bilan shug'ullanamiz. Eng boshidan ikkinchi kasrning maxrajini alohida omillarga ajratamiz:

\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\left(x-2 \o'ng)\left(((x)) ^(2))+2x+4 \o'ng)\]

\[\frac(x)((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)((x)^(3))-8 )-\frac(1)((x)^(2)))=\]

\[=\frac(x)((x)^(2))+2x+4)+\frac((x)^(2))+8)(\left(x-2 \o'ng)\ chap(((x)^(2))+2x+4 \o'ng))-\frac(1)(x-2)=\]

\[=\frac(x\left(x-2 \o'ng)+((x)^(2))+8-\left(((x)^(2))+2x+4 \o'ng))( \left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \o'ng))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2) \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \o'ng))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \o'ng)\left(((x)^(2))+2x+4 \o'ng)) =\frac(((\left(x-2 \o'ng))^(2)))(\left(x-2 \o'ng)\left(((x)^(2))+2x+4 \o'ng ))=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Endi ikkinchi kasr bilan ishlaymiz:

\[\frac(((x)^(2))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac(((x)^(2) )))(\left(x-2 \o'ng)\left(x+2 \o'ng))-\frac(2)(2-x)=\frac(((x)^(2))+2\ chap(x-2 \o'ng))(\chap(x-2 \o'ng)\chap(x+2 \o'ng))=\]

\[=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \o'ng)\left(x+2 \o'ng))\]

Biz asl dizaynimizga qaytamiz va yozamiz:

\[\frac(x-2)((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2) \o'ng)\left(x+2 \o'ng))=\frac(1)(x+2)\]

Asosiy nuqtalar

Yana bir bor bugungi videodarsning asosiy faktlari:

  1. Qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini yoddan bilishingiz kerak - va shunchaki bilish emas, balki haqiqiy muammolarda duch keladigan iboralarda ko'rish imkoniyatiga ega bo'lishingiz kerak. Bunda bizga ajoyib qoida yordam berishi mumkin: agar ikkita atama bo'lsa, demak, bu kvadratlarning farqi yoki kublarning farqi yoki yig'indisi; agar uchta bo'lsa, u faqat yig'indi yoki farqning kvadrati bo'lishi mumkin.
  2. Agar biron-bir konstruktsiyani qisqartirilgan ko'paytirish formulalari yordamida kengaytirib bo'lmasa, u holda bizning yordamimizga trinomlarni faktoring uchun standart formula yoki guruhlash usuli keladi.
  3. Agar biror narsa ishlamasa, u bilan biron bir o'zgartirish kerak yoki yo'qligini bilish uchun manba ifodasini diqqat bilan ko'rib chiqing. Ehtimol, faktorni qavslar ichidan chiqarish kifoya qiladi va bu ko'pincha doimiydir.
  4. Ketma-ket bir nechta amallarni bajarishingiz kerak bo'lgan murakkab iboralarda, umumiy maxrajga kamaytirishni unutmang va shundan keyingina, barcha kasrlar unga kamaytirilganda, yangi hisoblagichga ham xuddi shunday keltirishni unutmang. keyin yana yangi hisoblagichni ko'paytiring - biror narsa kamayishi mumkin.

Bugun men sizga ratsional kasrlar haqida aytmoqchi bo'lgan narsam shu edi. Agar biror narsa aniq bo'lmasa, saytda hali ham ko'plab video darsliklar, shuningdek, o'zingiz hal qilishingiz mumkin bo'lgan bir qator muammolar mavjud. Shuning uchun bizni kuzatib boring!

Maxfiyligingizni saqlash biz uchun muhim. Shu sababli, biz sizning ma'lumotlaringizdan qanday foydalanishimiz va saqlashimizni tavsiflovchi Maxfiylik siyosatini ishlab chiqdik. Iltimos, maxfiylik amaliyotlarimizni ko'rib chiqing va savollaringiz bo'lsa, bizga xabar bering.

Shaxsiy ma'lumotlarni to'plash va ulardan foydalanish

Shaxsiy ma'lumotlar ma'lum bir shaxsni aniqlash yoki unga murojaat qilish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan ma'lumotlarni anglatadi.

Biz bilan bog'langaningizda istalgan vaqtda shaxsiy ma'lumotlaringizni taqdim etishingiz so'ralishi mumkin.

Quyida biz to'plashimiz mumkin bo'lgan shaxsiy ma'lumotlar turlari va bunday ma'lumotlardan qanday foydalanishimiz mumkinligiga ba'zi misollar keltirilgan.

Biz qanday shaxsiy ma'lumotlarni yig'amiz:

  • Saytda ariza topshirganingizda, biz sizning ismingiz, telefon raqamingiz, manzilingiz kabi turli xil ma'lumotlarni to'plashimiz mumkin elektron pochta va hokazo.

Shaxsiy ma'lumotlaringizdan qanday foydalanamiz:

  • Biz tomonimizdan yig'ilgan Shaxsiy ma'lumot bizga siz bilan bog'lanish va noyob takliflar, aktsiyalar va boshqa tadbirlar va bo'lajak voqealar haqida sizni xabardor qilish imkonini beradi.
  • Vaqti-vaqti bilan biz sizning shaxsiy ma'lumotlaringizdan muhim xabarlar va xabarlarni yuborish uchun foydalanishimiz mumkin.
  • Shaxsiy ma'lumotlardan audit, ma'lumotlarni tahlil qilish va boshqalar kabi ichki maqsadlarda ham foydalanishimiz mumkin turli tadqiqotlar biz taqdim etayotgan xizmatlarni yaxshilash va sizga xizmatlarimiz bo'yicha tavsiyalar berish uchun.
  • Agar siz sovrinlar o'yinida, tanlovda yoki shunga o'xshash aksiyada ishtirok etsangiz, biz siz taqdim etgan ma'lumotlardan bunday dasturlarni boshqarish uchun foydalanishimiz mumkin.

Ma'lumotni uchinchi shaxslarga oshkor qilish

Sizdan olingan ma'lumotlarni uchinchi shaxslarga oshkor etmaymiz.

Istisnolar:

  • Zarur hollarda qonun hujjatlariga muvofiq sud tartibi, sud jarayonlarida va/yoki Rossiya Federatsiyasining davlat organlarining ommaviy so'rovlari yoki so'rovlari asosida - shaxsiy ma'lumotlaringizni oshkor qilish. Shuningdek, biz siz haqingizdagi ma'lumotlarni oshkor qilishimiz mumkin, agar bunday oshkor qilish xavfsizlik, huquqni muhofaza qilish yoki boshqa jamoat ahamiyatiga ega bo'lgan maqsadlar uchun zarur yoki mos ekanligini aniqlasak.
  • Qayta tashkil etish, qo'shilish yoki sotilgan taqdirda, biz to'plagan shaxsiy ma'lumotlarni tegishli vorisi uchinchi shaxsga o'tkazishimiz mumkin.

Shaxsiy ma'lumotlarni himoya qilish

Shaxsiy ma'lumotlaringizni yo'qotish, o'g'irlash va noto'g'ri foydalanish, shuningdek ruxsatsiz kirish, oshkor qilish, o'zgartirish va yo'q qilishdan himoya qilish uchun ma'muriy, texnik va jismoniy ehtiyot choralarini ko'ramiz.

Shaxsiy hayotingizni kompaniya darajasida hurmat qilish

Shaxsiy ma'lumotlaringiz xavfsizligini ta'minlash uchun biz maxfiylik va xavfsizlik standartlarini xodimlarimizga yetkazamiz va maxfiylik amaliyotlarini qat'iy tatbiq qilamiz.