Funktsiyaning hosilasi eng qiyin mavzulardan biridir maktab o'quv dasturi. Har bir bitiruvchi lotin nima degan savolga javob bermaydi.
Ushbu maqola lotin nima ekanligini va nima uchun kerakligini sodda va tushunarli tarzda tushuntiradi.. Endi biz taqdimotda matematik qat'iylikka intilmaymiz. Eng muhimi, ma'noni tushunishdir.
Keling, ta'rifni eslaylik:
Hosila - bu funktsiyaning o'zgarish tezligi.
Rasmda uchta funktsiyaning grafiklari ko'rsatilgan. Sizningcha, qaysi biri tezroq o'sadi?
Javob aniq - uchinchisi. Unda eng ko'p narsa bor yuqori tezlik o'zgarishlar, ya'ni eng katta hosila.
Mana yana bir misol.
Kostya, Grisha va Matvey bir vaqtning o'zida ishga joylashdilar. Keling, ularning daromadlari yil davomida qanday o'zgarganini ko'rib chiqaylik:
Grafik bir vaqtning o'zida hamma narsani ko'rsatadi, shunday emasmi? Kostyaning daromadi olti oy ichida ikki baravar oshdi. Va Grishaning daromadi ham oshdi, lekin ozgina. Va Matveyning daromadi nolga kamaydi. Boshlanish shartlari bir xil, lekin funktsiyaning o'zgarish tezligi, ya'ni hosila, - har xil. Matveyga kelsak, uning daromadi odatda salbiy.
Intuitiv ravishda biz funktsiyaning o'zgarish tezligini osongina taxmin qilamiz. Lekin buni qanday qilamiz?
Biz haqiqatan ham ko'rib chiqayotgan narsa bu funktsiya grafigining qanchalik keskin ko'tarilishi (yoki pastga). Boshqacha qilib aytganda, x o'zgarganda y qanchalik tez o'zgaradi? Shubhasiz, turli nuqtalarda bir xil funktsiya turli hosilaviy qiymatlarga ega bo'lishi mumkin - ya'ni u tezroq yoki sekinroq o'zgarishi mumkin.
Funktsiyaning hosilasi belgilanadi.
Grafik yordamida uni qanday topish mumkinligini sizga ko'rsatamiz.
Ayrim funksiyaning grafigi chizilgan. Keling, abtsissasi bor nuqtani olaylik. Bu nuqtada funksiya grafigiga tangens chizamiz. Biz funktsiya grafigining qanchalik keskin ko'tarilishini taxmin qilmoqchimiz. Buning uchun qulay qiymat tangens burchakning tangensi.
Funktsiyaning nuqtadagi hosilasi shu nuqtada funksiya grafigiga chizilgan tangens burchakning tangensiga teng.
E'tibor bering, tangensning moyillik burchagi sifatida biz tangens va o'qning musbat yo'nalishi orasidagi burchakni olamiz.
Ba'zan o'quvchilar funktsiya grafigiga teginish nima ekanligini so'rashadi. Bu faqat bitta bo'lgan to'g'ri chiziq umumiy nuqta grafik bilan va bizning rasmda ko'rsatilganidek. Bu aylanaga teguvchiga o'xshaydi.
Keling, topamiz. To'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchakning tangensi qarama-qarshi tomonning qo'shni tomonga nisbatiga teng ekanligini eslaymiz. Uchburchakdan:
Biz funktsiya formulasini bilmagan holda grafik yordamida hosila topdik. Bunday muammolar ko'pincha matematika bo'yicha yagona davlat imtihonida raqam ostida topiladi.
Yana bir muhim munosabatlar mavjud. Eslatib o'tamiz, to'g'ri chiziq tenglama bilan berilgan
Ushbu tenglamadagi miqdor deyiladi to'g'ri chiziqning qiyaligi. U to'g'ri chiziqning o'qga moyillik burchagi tangensiga teng.
.
Biz buni tushunamiz
Keling, ushbu formulani eslaylik. Bu hosilaning geometrik ma'nosini ifodalaydi.
Funktsiyaning nuqtadagi hosilasi shu nuqtadagi funksiya grafigiga chizilgan tangensning qiyaligiga teng.
Boshqacha qilib aytganda, hosila tangens burchakning tangensiga teng.
Biz allaqachon bir xil funktsiyaning turli nuqtalarda turli hosilalarga ega bo'lishi mumkinligini aytdik. Keling, hosilaning funktsiya harakati bilan qanday bog'liqligini ko'rib chiqaylik.
Keling, qandaydir funksiyaning grafigini chizamiz. Bu funktsiya ba'zi sohalarda ko'paysin, boshqalarida kamaysin va bilan turli tezliklarda. Va bu funktsiya maksimal va minimal nuqtalarga ega bo'lsin.
Bir nuqtada funktsiya kuchayadi. Nuqtada chizilgan grafikga teginish o'tkir burchak hosil qiladi; musbat o'q yo'nalishi bilan. Bu nuqtadagi hosila ijobiy ekanligini anglatadi.
Shu nuqtada bizning funktsiyamiz pasayadi. Bu nuqtadagi tangens o'tmas burchak hosil qiladi; musbat o'q yo'nalishi bilan. O'tkir burchakning tangensi manfiy bo'lgani uchun nuqtadagi hosila manfiy bo'ladi.
Mana nima sodir bo'ladi:
Agar funktsiya ortib borayotgan bo'lsa, uning hosilasi ijobiy bo'ladi.
Agar u kamaysa, uning hosilasi salbiy hisoblanadi.
Maksimal va minimal nuqtalarda nima bo'ladi? Biz nuqtalarda (maksimal nuqta) va (minimal nuqta) tangens gorizontal ekanligini ko'ramiz. Demak, bu nuqtalardagi tangensning tangensi nolga teng, hosilasi ham nolga teng.
Nuqta - maksimal nuqta. Bu vaqtda funksiyaning ortishi kamayish bilan almashtiriladi. Binobarin, lotin belgisi nuqtada "ortiqcha" dan "minus" ga o'zgaradi.
Nuqtada - minimal nuqta - hosila ham nolga teng, ammo uning belgisi "minus" dan "ortiqcha" ga o'zgaradi.
Xulosa: hosiladan foydalanib, biz funktsiyaning harakati haqida bizni qiziqtirgan hamma narsani bilib olishimiz mumkin.
Agar hosila ijobiy bo'lsa, u holda funktsiya ortadi.
Agar hosila manfiy bo'lsa, u holda funktsiya kamayadi.
Maksimal nuqtada lotin nolga teng va belgini "ortiqcha" dan "minus" ga o'zgartiradi.
Minimal nuqtada lotin ham nolga teng va belgini "minus" dan "ortiqcha" ga o'zgartiradi.
Keling, ushbu xulosalarni jadval shaklida yozamiz:
| ortadi | maksimal nuqta | kamayadi | minimal nuqta | ortadi | |
| + | 0 | - | 0 | + |
Keling, ikkita kichik aniqlik kiritaylik. Muammoni hal qilishda sizga ulardan biri kerak bo'ladi. Boshqasi - birinchi yilda, funktsiyalar va lotinlarni jiddiyroq o'rganish bilan.
Funktsiyaning qaysidir nuqtada hosilasi nolga teng bo'lishi mumkin, lekin bu nuqtada funktsiyaning na maksimal, na minimal qiymati mavjud. Bu deb ataladigan narsa :
Bir nuqtada grafikning tangensi gorizontal, hosilasi esa nolga teng. Biroq, nuqtadan oldin funktsiya ortdi va nuqtadan keyin u o'sishda davom etmoqda. Hosilning belgisi o'zgarmaydi - u avvalgidek ijobiy bo'lib qoladi.
Bundan tashqari, maksimal yoki minimal nuqtada hosila mavjud emas. Grafikda bu ma'lum bir nuqtada tangensni chizish mumkin bo'lmaganda keskin tanaffusga to'g'ri keladi.
Funktsiya grafik bilan emas, balki formula bilan berilgan bo'lsa, hosila qanday topiladi? Bunday holda, u amal qiladi
Hosilning ishorasi bilan funksiyaning monotonlik tabiati o‘rtasidagi bog‘lanishni ko‘rsatish.
Iltimos, quyidagilarga juda ehtiyot bo'ling. Qarang, sizga NIMA berilgan jadval! Funktsiya yoki uning hosilasi
Agar hosilaning grafigi berilgan bo'lsa, keyin bizni faqat funktsiya belgilari va nollari qiziqtiradi. Bizni printsipial jihatdan hech qanday "tepaliklar" yoki "bo'shliqlar" qiziqtirmaydi!
Vazifa 1.
Rasmda intervalda aniqlangan funktsiyaning grafigi ko'rsatilgan. Funktsiyaning hosilasi manfiy bo'lgan butun nuqtalar sonini aniqlang.
Yechim:
Rasmda funksiyaning kamayadigan joylari rang bilan ajratilgan:
Funktsiyaning bu kamayuvchi hududlarida 4 ta butun qiymat mavjud.
Vazifa 2.
Rasmda intervalda aniqlangan funktsiyaning grafigi ko'rsatilgan. Funksiya grafigiga tegish chiziqqa parallel yoki to‘g‘ri keladigan nuqtalar sonini toping.
Yechim:
Agar funktsiya grafigiga teginish to'g'ri chiziqqa parallel bo'lsa (yoki bir xil bo'lsa) qiyalik , nolga teng, u holda tangens ham burchak koeffitsientiga ega.
Bu o'z navbatida tangensning o'qga parallel ekanligini anglatadi, chunki qiyalik tangensning o'qga moyillik burchagi tangensidir.
Shuning uchun biz grafikda ekstremum nuqtalarni (maksimal va minimal nuqtalarni) topamiz - aynan shu nuqtalarda grafaga teguvchi funktsiyalar o'qga parallel bo'ladi.
Bunday 4 ta nuqta mavjud.
Vazifa 3.
Rasmda intervalda aniqlangan funktsiya hosilasining grafigi ko'rsatilgan. Funksiya grafigiga tegish chiziqqa parallel yoki to‘g‘ri keladigan nuqtalar sonini toping.
Yechim:
Funktsiya grafigining tangensi qiyalikka ega bo'lgan chiziq bilan parallel (yoki mos keladigan) bo'lgani uchun, tangens ham qiyalikka ega.
Bu o'z navbatida teginish nuqtalarida degan ma'noni anglatadi.
Shuning uchun biz grafikdagi nechta nuqtaning ordinatasiga teng ekanligini ko'rib chiqamiz.
Ko'rib turganingizdek, bunday to'rtta nuqta mavjud.
Vazifa 4.
Rasmda intervalda aniqlangan funktsiyaning grafigi ko'rsatilgan. Funktsiyaning hosilasi 0 ga teng bo'lgan nuqtalar sonini toping.
Yechim:
Ekstremum nuqtalarda hosila nolga teng. Bizda ulardan 4 tasi bor:
Vazifa 5.
Rasmda funktsiyaning grafigi va x o'qidagi o'n bir nuqta ko'rsatilgan:. Ushbu nuqtalarning nechtasida funktsiyaning hosilasi manfiy bo'ladi?
Yechim:
Funktsiyaning kamayishi oraliqlarida uning hosilasi olinadi salbiy qiymatlar. Va funksiya nuqtalarda kamayadi. Bunday 4 ta nuqta mavjud.
Vazifa 6.
Rasmda intervalda aniqlangan funktsiyaning grafigi ko'rsatilgan. Funktsiyaning ekstremum nuqtalarining yig'indisini toping.
Yechim:
Ekstremal nuqtalar– bu maksimal ball (-3, -1, 1) va minimal ball (-2, 0, 3).
Ekstremum nuqtalar yig'indisi: -3-1+1-2+0+3=-2.
Vazifa 7.
Rasmda intervalda aniqlangan funktsiya hosilasining grafigi ko'rsatilgan. Funksiyaning ortish oraliqlarini toping. Javobingizda ushbu intervallarga kiritilgan butun nuqtalar yig'indisini ko'rsating.
Yechim:
Rasmda funktsiyaning hosilasi manfiy bo'lmagan oraliqlar ajratilgan.
Kichik o'sish oralig'ida butun son nuqtalari yo'q, ortib borayotgan intervalda to'rtta butun qiymat mavjud: , , va .
Ularning yig'indisi:
Vazifa 8.
Rasmda intervalda aniqlangan funktsiya hosilasining grafigi ko'rsatilgan. Funksiyaning ortish oraliqlarini toping. Javobingizda ulardan eng kattasining uzunligini ko'rsating.
Yechim:
Rasmda hosila ijobiy bo'lgan barcha intervallar rang bilan ta'kidlangan, ya'ni funktsiyaning o'zi bu intervallarda ortadi.
Ulardan eng kattasining uzunligi 6 ta.
9-topshiriq.
Rasmda intervalda aniqlangan funktsiya hosilasining grafigi ko'rsatilgan. Segmentning qaysi nuqtasida u eng katta qiymatni oladi?
Yechim:
Keling, bizni qiziqtirgan segmentda grafik qanday harakat qilishini ko'rib chiqaylik faqat hosilaning belgisi .
Hosilning belgisi minus, chunki bu segmentdagi grafik o'qdan pastda joylashgan.
Funksiyaning uzluksizligi va differentsialligi.
Darbu teoremasi . Monotoniyaning intervallari.
Kritik nuqtalar . Ekstremum (minimal, maksimal).
Funktsiyani o'rganish dizayni.
Funktsiyaning uzluksizligi va differentsialligi o'rtasidagi bog'liqlik. Agar funktsiya f(x)bir nuqtada differentsial bo'ladi, keyin esa o'sha nuqtada uzluksiz bo'ladi. Buning aksi to'g'ri emas: uzluksiz funksiya hosilasi bo'lmasligi mumkin.
Tasvir. Agar funktsiya bir nuqtada uzilib qolsa, unda bu nuqtada uning hosilasi yo'q.
Funktsiyaning monotonligining etarli belgilari.
Agar f’(x) > 0 intervalning har bir nuqtasida (a, b), keyin f funksiyasi (x)bu oraliqda ortadi.
Agar f’(x) < 0 intervalning har bir nuqtasida (a, b) , keyin f funksiyasi(x)kamayadi bu oraliqda.
Darbu teoremasi. Funktsiyaning hosilasi 0 ga teng bo'lgan nuqtalaryoki mavjud bo'lmasa, ular funktsiyani aniqlash sohasini hosila o'z belgisini saqlaydigan intervallarga ajratadilar.
Ushbu intervallardan foydalanib, biz topishimiz mumkin monotonlik intervallari funktsiyalari, bu ularni o'rganishda juda muhimdir.
Shunday qilib, funktsiya intervalgacha ortadi (- , 0) va (1, + ) va intervalda kamayadi ( 0, 1). Nuqta x= 0 funktsiyaning ta'rif sohasiga kiritilmagan, lekin biz yaqinlashgandax k0 muddat x - 2 cheksiz ortadi, shuning uchun funksiya ham cheksiz ortadi. Shu nuqtadax= 1 funktsiyaning qiymati 3. Ushbu tahlilga ko'ra biz joylashtirishimiz mumkinfunktsiyaning grafigini ( 4-rasm b ) .
Kritik nuqtalar. Funktsiya sohasining ichki nuqtalari, qaysi ichida hosilasi ga teng null yoki mavjud emas, chaqiriladi tanqidiy nuqta bu funksiya. Funktsiyani tahlil qilish va uning grafigini tuzishda bu nuqtalar juda muhim, chunki faqat shu nuqtalarda funktsiyaga ega bo'lishi mumkin. ekstremum (minimal yoki maksimal , 5-rasm A,b).
Nuqtalarda x 1 , x 2 (5-rasm a) Va x 3 (5-rasm b) hosilasi 0; nuqtalarda x 1 , x 2 (5-rasm b) hosila mavjud emas. Ammo ularning barchasi ekstremal nuqtalardir.
Ekstremum uchun zaruriy shart. Agar x 0 - funksiyaning ekstremum nuqtasi f(x) va f' hosilasi shu nuqtada mavjud bo'lsa, f'(x 0)= 0.
Bu teorema zarur ekstremal holat. Agar biror nuqtada funktsiyaning hosilasi 0 bo'lsa, bu degani emas funktsiya bu nuqtada ekstremumga ega. Masalan, funktsiyaning hosilasif (x) = x 3 da 0 ga teng x= 0, lekin bu funktsiyada bu nuqtada ekstremum yo'q (6-rasm).
Boshqa tomondan, funktsiyay = | x| , 3-rasmda keltirilgan, nuqtada minimumga egax= 0, lekin bu nuqtada hosila mavjud emas.
Ekstremum uchun etarli sharoitlar.
X nuqtadan o'tayotganda hosila bo'lsa 0 uning belgisini ortiqcha dan minusga o'zgartiradi, keyin x 0 - maksimal nuqta.
X nuqtadan o'tayotganda hosila bo'lsa 0 uning belgisini minusdan plyusga o'zgartiradi, keyin x 0 - minimal ball.
Funktsiyani o'rganish dizayni. Funktsiyaning grafigini tuzish uchun sizga kerak bo'ladi:
1) funktsiyaning ta'rif sohasini va qiymatlari diapazonini toping;
2) funksiyaning juft yoki toq ekanligini aniqlash;
3) funksiya davriy yoki davriy emasligini aniqlash;
4) funksiyaning nollarini va uning qiymatlarini topingx = 0,
5) doimiy ishorali intervallarni toping;
6) monotonlik oraliqlarini toping;
7) ekstremum nuqtalarni va ushbu nuqtalarda funktsiya qiymatlarini toping;
8) funksiyaning “yakka” nuqtalar yaqinidagi harakatini tahlil qiling
Va qachon katta qiymatlar modulx .
MISOL Funktsiyani o'rganingf(x) = x 3 + 2 x 2 - x- 2 va grafik chizing.
Yechish funksiyani yuqoridagi sxema bo‘yicha o‘rganamiz.
1) ta'rif sohasixR (x- har qanday haqiqiy raqam);
Qiymatlar diapazoniyR , chunki f (x) – toq ko‘phad
darajalar;
2) funktsiya f (x) juft ham, toq ham emas
(iltimos tushuntiring);
3) f (x) davriy bo‘lmagan funksiya (o‘zingiz isbotlang);
4) funksiya grafigi o'qni kesib o'tadiY nuqtada (0, - 2),
Chunki f (0) = - 2 ; kerakli funksiyaning nollarini topish uchun
Tenglamani yeching:x 3 + 2 x 2 - x - 2 = 0, ildizlardan biri
qaysi ( x= 1) aniq. Boshqa ildizlar
(agar ular mavjud bo'lsa! ) kvadrat tenglamani yechishdan:
x 2 + 3 x+ 2 = 0, bu ko'phadni bo'lish yo'li bilan olinadi
x 3 + 2 x 2 - x- har binom uchun 2 ( x– 1). Tekshirish oson
Qolgan ikkita ildiz nima:x 2 = - 2 va x 3 = - 1. Shunday qilib,
Funktsiyaning nollari: - 2, - 1 va 1.
5) Demak, son o'qi bu ildizlarga bo'linadi
Belgining doimiyligining to'rtta oralig'i, ular ichida
Funktsiya o'z belgisini saqlab qoladi:
Ushbu natijani kengaytirish orqali olish mumkin
polinom omillarga:
x 3 + 2 x 2 - x - 2 = (x + 2) (x + 1 (x – 1)
Va ishning belgisini baholash .
6) hosila f' (x) = 3 x 2 + 4 x- 1da hech qanday nuqta yo'q
U mavjud emas, shuning uchun uning ta'rif sohasiR (Hammasi
Haqiqiy raqamlar); nollarf' (x) tenglamaning ildizlari:
3 x 2 + 4 x- 1 = 0 .
Olingan natijalar jadvalda umumlashtiriladi:
Vazifa.
(-5; 6) oraliqda y=f(x) funksiya aniqlangan. Rasmda y=f(x) funksiyaning grafigi ko‘rsatilgan. x 1, x 2, ..., x 7 nuqtalar orasidan f(x) funksiyaning hosilasi nolga teng bo'lgan nuqtalarni toping. Bunga javoban topilgan ballar sonini yozing.
Yechim:
Ushbu muammoni hal qilish printsipi quyidagicha: ushbu intervalda funksiyaning uchta mumkin bo'lgan xatti-harakati mavjud:
1) funktsiya oshganda (u erda hosila noldan katta)
2) funktsiya kamayganda (hosil noldan kichik bo'lsa)
3) funktsiya oshmasa yoki kamaymasa (bu erda hosila nolga teng yoki mavjud emas)
Bizni uchinchi variant qiziqtiradi.
Bunda hosila nolga teng, bunda funksiya silliq va uzilish nuqtalarida mavjud emas. Keling, ushbu fikrlarning barchasini ko'rib chiqaylik.
x 1 - funksiya ortadi, bu f'(x) >0 hosilasini bildiradi
x 2 - funktsiya minimal oladi va silliq bo'ladi, bu f ′(x) = 0 hosilasini bildiradi.
x 3 - funktsiya maksimalni oladi, lekin bu nuqtada tanaffus mavjud, bu degani hosila f ′(x) mavjud emas
x 4 - funktsiya maksimalni oladi, lekin bu nuqtada tanaffus mavjud, bu degani hosila f ′(x) mavjud emas
x 5 - hosila f ′(x) = 0
x 6 - funktsiya ortib boradi, bu f hosilasini bildiradi′(x) >0
x 7 - funktsiya minimal oladi va silliq, ya'ni hosilasi f ′(x) = 0
Biz buni ko'ramiz f ′(x) = 0 x 2, x 5 va x 7 nuqtalarda, jami 3 ball.
Ta'rif.\(y = f(x) \) funktsiyasi o'z ichida \(x_0\) nuqtani o'z ichiga olgan ma'lum oraliqda aniqlansin. Keling, argumentga \(\Delta x \) ortishini beraylik, shunda u bu oraliqdan chiqmaydi. \(\Delta y \) funksiyaning mos o'sishini topamiz (\(x_0 \) nuqtadan \(x_0 + \Delta x \) nuqtaga o'tishda) va \(\frac(\Delta) munosabatini tuzamiz. y)(\Delta x) \). Agar \(\Delta x \o'ng ko'rsatkich 0\) da bu nisbat chegarasi bo'lsa, belgilangan chegara deyiladi. funktsiyaning hosilasi\(y=f(x) \) nuqtada \(x_0 \) va \(f"(x_0) \) ni belgilang.
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$
y belgisi ko'pincha hosilani belgilash uchun ishlatiladi, y" = f(x) yangi funktsiyadir, lekin tabiiy ravishda y = f(x) funktsiyasi bilan bog'liq bo'lib, yuqoridagi chegara mavjud bo'lgan barcha x nuqtalarida aniqlanadi. Bu funktsiya shunday deb ataladi: y = f(x) funksiyaning hosilasi.
Hosilning geometrik ma'nosi quyidagicha. Agar y = f(x) funktsiya grafigiga y o'qiga parallel bo'lmagan abtsissa x=a nuqtada teginish mumkin bo'lsa, u holda f(a) teginish qiyaligini ifodalaydi. :
\(k = f"(a)\)
\(k = tg(a) \) bo'lgani uchun \(f"(a) = tan(a) \) tengligi to'g'ri bo'ladi.
Endi hosila ta’rifini taqribiy tenglik nuqtai nazaridan izohlaylik. \(y = f(x)\) funksiya ma'lum \(x\) nuqtasida hosilaga ega bo'lsin:
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Bu shuni anglatadiki, x nuqta yaqinida taxminan tenglik \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \taxminan f"(x) \), ya'ni \(\Delta y \taxminan f"(x) \cdot\ Delta x\). Olingan taxminiy tenglikning mazmunli ma'nosi quyidagicha: funktsiyaning o'sishi argumentning o'sishiga "deyarli proportsional" va proportsionallik koeffitsienti ma'lum x nuqtadagi hosilaning qiymatidir. Masalan, \(y = x^2\) funksiyasi uchun \(\Delta y \taxminan 2x \cdot \Delta x \) taxminiy tenglik amal qiladi. Agar hosila ta'rifini sinchiklab tahlil qilsak, unda uni topish algoritmi borligini bilib olamiz.
Keling, uni shakllantiramiz.
y = f(x) funksiyaning hosilasi qanday topiladi?
1. \(x\) qiymatini aniqlang, \(f(x)\) toping.
2. \(x\) argumentiga \(\Delta x\) qo'shimchasini bering, yangi nuqtaga o'ting \(x+ \Delta x \), \(f(x+ \Delta x) \) toping.
3. Funktsiyaning o'sish qismini toping: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \) munosabatini yarating.
5. $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$ ni hisoblang.
Bu chegara funksiyaning x nuqtadagi hosilasidir.
Agar y = f(x) funksiya x nuqtada hosilaga ega bo’lsa, u x nuqtada differentsiallanuvchi deyiladi. y = f(x) funksiyaning hosilasini topish protsedurasi deyiladi farqlash y = f(x) funktsiyalari.
Keling, quyidagi savolni muhokama qilaylik: nuqtadagi funktsiyaning uzluksizligi va differentsialligi bir-biri bilan qanday bog'liq?
y = f(x) funksiya x nuqtada differentsiallanuvchi bo'lsin. Keyin M(x; f(x)) nuqtadagi funksiya grafigiga tangens chizish mumkin va esda tutingki, tangensning burchak koeffitsienti f “(x) ga teng. Bunday grafik “buzilmaydi”. M nuqtada, ya'ni funksiya x nuqtada uzluksiz bo'lishi kerak.
Bular "qo'l" argumentlari edi. Keling, yanada jiddiyroq mulohaza yuritaylik. Agar y = f(x) funksiya x nuqtada differentsiallansa, u holda taqribiy tenglik \(\Delta y \taxminan f"(x) \cdot \Delta x\) bajariladi. Agar bu tenglikda \(\Delta x) \) nolga intiladi, keyin \(\Delta y \) nolga moyil bo'ladi va bu nuqtada funksiyaning uzluksizligi sharti.
Shunday qilib, agar funktsiya x nuqtada differentsiallanadigan bo'lsa, u o'sha nuqtada uzluksizdir.
Teskari bayonot to'g'ri emas. Masalan: y = |x| funksiyasi hamma joyda, xususan, x = 0 nuqtada uzluksizdir, lekin “tushish nuqtasi” (0; 0) funksiya grafigiga teginish mavjud emas. Agar biror nuqtada funktsiya grafigiga tangensni chizish mumkin bo'lmasa, unda hosila shu nuqtada mavjud emas.
Yana bir misol. \(y=\sqrt(x)\) funksiya butun son chizigʻida, shu jumladan x = 0 nuqtada uzluksizdir. Funktsiya grafigiga tegish har qanday nuqtada, shu jumladan x = 0 nuqtada ham mavjud. . Lekin bu nuqtada tangens y o'qiga to'g'ri keladi, ya'ni u abscissa o'qiga perpendikulyar bo'ladi, uning tenglamasi x = 0 ko'rinishga ega. Bunday to'g'ri chiziq burchak koeffitsientiga ega emas, ya'ni \(f. "(0)\) mavjud emas.
Shunday qilib, biz funktsiyaning yangi xossasi - differentsiallik bilan tanishdik. Funksiya grafigidan qanday qilib uni differentsiallash mumkin degan xulosaga kelish mumkin?
Javob aslida yuqorida berilgan. Agar biror nuqtada abtsissa o'qiga perpendikulyar bo'lmagan funksiya grafigiga teginish chizish mumkin bo'lsa, bu nuqtada funktsiya differentsiallanadi. Agar biror nuqtada funktsiya grafigining tangensi mavjud bo'lmasa yoki u abtsissa o'qiga perpendikulyar bo'lsa, bu nuqtada funktsiya differentsial bo'lmaydi.
Farqlash qoidalari
Hosilini topish operatsiyasi deyiladi farqlash. Ushbu operatsiyani bajarishda siz ko'pincha bo'laklar, summalar, funktsiyalar mahsuloti, shuningdek, "funktsiyalar funktsiyalari", ya'ni murakkab funktsiyalar bilan ishlashingiz kerak. Hosila ta'rifiga asoslanib, biz bu ishni osonlashtiradigan farqlash qoidalarini olishimiz mumkin. Agar C doimiy son bo'lsa va f=f(x), g=g(x) ba'zi bir differentsiallanuvchi funktsiyalar bo'lsa, unda quyidagilar to'g'ri bo'ladi. farqlash qoidalari:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$
