Trigonometrik tenglamalar- mavzu eng oddiy emas. Ular juda xilma-xildir.) Masalan, bular:

sin 2 x + cos3x = ctg5x

sin(5x+p /4) = karyola(2x-p /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

Va shunga o'xshash ...

Ammo bu (va boshqa barcha) trigonometrik yirtqich hayvonlar ikkita umumiy va majburiy xususiyatga ega. Birinchidan - ishonmaysiz - tenglamalarda trigonometrik funktsiyalar mavjud.) Ikkinchidan: x bilan barcha ifodalar topiladi. xuddi shu funktsiyalar doirasida. Va faqat u erda! Agar biror joyda X paydo bo'lsa tashqarida, Masalan, sin2x + 3x = 3, bu allaqachon tenglama bo'ladi aralash turi. Bunday tenglamalar individual yondashuvni talab qiladi. Biz ularni bu erda ko'rib chiqmaymiz.

Biz bu darsda ham yomon tenglamalarni yechmaymiz.) Bu erda biz bilan shug'ullanamiz eng oddiy trigonometrik tenglamalar. Nega? Ha, chunki yechim har qanday trigonometrik tenglamalar ikki bosqichdan iborat. Birinchi bosqichda yovuz tenglama turli xil o'zgarishlar orqali oddiy tenglamaga tushiriladi. Ikkinchisida bu eng oddiy tenglama yechilgan. Aks holda, yo'q.

Shunday qilib, agar siz ikkinchi bosqichda muammolarga duch kelsangiz, birinchi bosqich juda mantiqiy emas.)

Elementar trigonometrik tenglamalar qanday ko'rinishga ega?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Bu yerga A har qanday raqamni bildiradi. Har qanday.

Aytgancha, funktsiya ichida sof X emas, balki qandaydir ifoda bo'lishi mumkin, masalan:

cos(3x+p /3) = 1/2

va shunga o'xshashlar. Bu hayotni murakkablashtiradi, lekin trigonometrik tenglamani yechish usuliga ta'sir qilmaydi.

Trigonometrik tenglamalarni qanday yechish mumkin?

Trigonometrik tenglamalarni ikki usulda yechish mumkin. Birinchi usul: mantiq va trigonometrik doiradan foydalanish. Biz bu yo'lni shu erda ko'rib chiqamiz. Ikkinchi usul - xotira va formulalardan foydalanish - keyingi darsda muhokama qilinadi.

Birinchi usul tushunarli, ishonchli va unutish qiyin.) Bu trigonometrik tenglamalar, tengsizliklar va har xil nostandart misollarni echish uchun yaxshi. Mantiq xotiradan kuchliroq!)

Trigonometrik doira yordamida tenglamalarni yechish.

Biz elementar mantiqni va trigonometrik doiradan foydalanish qobiliyatini o'z ichiga olamiz. Qanday qilib bilmayapsizmi? Biroq ... Siz trigonometriyada qiyinchilikka duch kelasiz ...) Lekin bu muhim emas. Darslarni ko'ring "Trigonometrik doira...... Bu nima?" va "Trigonometrik doiradagi burchaklarni o'lchash". U erda hamma narsa oddiy. Darsliklardan farqli o'laroq...)

Oh, bilasizmi!? Va hatto "Trigonometrik doira bilan amaliy ish" ni o'zlashtirdi!? Tabriklaymiz. Bu mavzu sizga yaqin va tushunarli bo'ladi.) Ayniqsa, quvonarlisi shundaki, trigonometrik aylana qaysi tenglamani yechishingizga ahamiyat bermaydi. Sinus, kosinus, tangens, kotangens - uning uchun hamma narsa bir xil. Faqat bitta yechim printsipi mavjud.

Shunday qilib, biz har qanday elementar trigonometrik tenglamani olamiz. Hech bo'lmaganda bu:

cosx = 0,5

Biz X ni topishimiz kerak. Inson tilida gapirganda, sizga kerak kosinasi 0,5 bo'lgan burchakni (x) toping.

Ilgari biz aylanadan qanday foydalanganmiz? Biz unga burchak chizdik. Darajalar yoki radyanlarda. Va darhol ko'rgan Bu burchakning trigonometrik funktsiyalari. Endi teskarisini qilaylik. Aylana ustiga 0,5 ga teng va darhol kosinus chizamiz ko'ramiz burchak. Javobni yozishgina qoladi.) Ha, ha!

Doira chizing va kosinusni 0,5 ga teng belgilang. Albatta, kosinus o'qida. Shunga o'xshash:

Endi bu kosinus bizga beradigan burchakni chizamiz. Sichqonchani rasm ustiga olib boring (yoki planshetingizdagi rasmga teging) va ko'rasiz aynan shu burchak X.

Qaysi burchakning kosinasi 0,5 ga teng?

x = p /3

cos 60°= cos( p /3) = 0,5

Ba'zilar shubha bilan kulishadi, ha... Xuddi hamma narsa aniq bo'lsa, aylana yasash kerakmidi... Albatta, kulishingiz mumkin...) Lekin haqiqat shundaki, bu noto'g'ri javob. To'g'rirog'i, etarli emas. Doira biluvchilari bu erda 0,5 kosinusni beradigan bir qancha boshqa burchaklar mavjudligini tushunishadi.

Agar siz OA harakatlanuvchi tomonini aylantirsangiz to'liq burilish, A nuqtaga tushadi boshlang'ich pozitsiyasi. Xuddi shu kosinus bilan 0,5 ga teng. Bular. burchak o'zgaradi 360° yoki 2p radianga, va kosinus - yo'q. Yangi burchak 60° + 360° = 420° ham tenglamamizning yechimi boʻladi, chunki

Bunday to'liq inqiloblarning cheksiz sonini amalga oshirish mumkin ... Va bu barcha yangi burchaklar trigonometrik tenglamamizning echimi bo'ladi. Va ularning barchasi javob sifatida qandaydir tarzda yozilishi kerak. Hammasi. Aks holda, qaror hisobga olinmaydi, ha...)

Matematika buni sodda va nafis bajarishi mumkin. Bitta qisqa javobda yozing cheksiz to'plam qarorlar. Bu bizning tenglamamiz uchun qanday ko'rinadi:

x = p /3 + 2p n, n ∈ Z

Men uni hal qilaman. Hali ham yozing mazmunli Bu ahmoqona sirli harflarni chizishdan ko'ra yoqimliroq, shunday emasmi?)

p /3 - bu biznikiga o'xshash burchak ko'rgan doira ustida va belgilangan kosinuslar jadvaliga ko'ra.

2p radyanlarda bitta to'liq inqilobdir.

n - bu to'liqlarning soni, ya'ni. butun rpm Bu aniq n 0, ±1, ±2, ±3.... ga teng bo'lishi mumkin va hokazo. Qisqa yozuvda ko'rsatilganidek:

n ∈ Z

n ga tegishli ( ∈ ) butun sonlar to'plami ( Z ). Aytgancha, xat o'rniga n harflardan foydalanish mumkin k, m, t va hokazo.

Bu belgi siz har qanday butun sonni olishingiz mumkinligini bildiradi n . Kamida -3, kamida 0, kamida +55. Xohlaganingiz. Agar siz ushbu raqamni javobga almashtirsangiz, siz aniq burchakka ega bo'lasiz, bu shubhasiz bizning qattiq tenglamamizning yechimi bo'ladi.)

Yoki boshqacha aytganda, x = p /3 cheksiz to‘plamning yagona ildizidir. Boshqa barcha ildizlarni olish uchun p /3 ga har qanday miqdordagi to'liq aylanishlarni qo'shish kifoya. n ) radianlarda. Bular. 2p radian.

Hammasi? Yo'q. Men zavqni ataylab uzaytiraman. Yaxshi eslab qolish uchun.) Biz tenglamamizga javoblarning faqat bir qismini oldik. Men yechimning birinchi qismini shunday yozaman:

x 1 = p /3 + 2p n, n ∈ Z

x 1 - faqat bitta ildiz emas, balki butun bir qator ildizlar, qisqa shaklda yozilgan.

Ammo 0,5 kosinusni ham beradigan burchaklar ham bor!

Keling, javobni yozgan rasmimizga qaytaylik. Mana:

Sichqonchani tasvir ustiga olib boring va ko'ramiz boshqa burchak 0,5 kosinusni ham beradi. Nimaga teng deb o'ylaysiz? Uchburchaklar bir xil... Ha! Bu burchakka teng X , faqat salbiy yo'nalishda kechiktirildi. Bu burchak -X. Ammo biz allaqachon x ni hisoblab chiqdik. p /3 yoki 60°. Shunday qilib, biz ishonch bilan yozishimiz mumkin:

x 2 = - p /3

Albatta, biz to'liq aylanishlar orqali olingan barcha burchaklarni qo'shamiz:

x 2 = - p /3 + 2p n, n ∈ Z

Hammasi shu.) Trigonometrik doirada biz ko'rgan(kim tushunadi, albatta)) Hammasi 0,5 kosinus beradigan burchaklar. Va biz bu burchaklarni qisqa matematik shaklda yozdik. Javob ikkita cheksiz ildiz qatoriga olib keldi:

x 1 = p /3 + 2p n, n ∈ Z

x 2 = - p /3 + 2p n, n ∈ Z

Bu to'g'ri javob.

Umid, trigonometrik tenglamalarni yechishning umumiy tamoyili aylanadan foydalanish aniq. Berilgan tenglamadan kosinusni (sinus, tangens, kotangens) aylanaga belgilab, unga mos burchaklarni chizamiz va javobni yozamiz. Albatta, biz qaysi burchaklar ekanligimizni aniqlashimiz kerak ko'rgan doira ustida. Ba'zan bu unchalik aniq emas. Xo'sh, men bu erda mantiq kerakligini aytdim.)

Masalan, boshqa trigonometrik tenglamani ko'rib chiqamiz:

Iltimos, 0,5 raqami tenglamalarda mumkin bo'lgan yagona raqam emasligini hisobga oling!) Men uchun uni ildiz va kasrlardan ko'ra yozish qulayroq.

Biz umumiy printsip asosida ishlaymiz. Biz doira chizamiz, belgilaymiz (sinus o'qi bo'yicha, albatta!) 0,5. Biz bir vaqtning o'zida ushbu sinusga mos keladigan barcha burchaklarni chizamiz. Biz ushbu rasmni olamiz:

Avval burchak bilan shug'ullanamiz X birinchi chorakda. Sinuslar jadvalini eslaymiz va bu burchakning qiymatini aniqlaymiz. Bu oddiy masala:

x = p /6

Biz to'liq burilishlarni eslaymiz va toza vijdon bilan javoblarning birinchi qatorini yozamiz:

x 1 = p /6 + 2p n, n ∈ Z

Ishning yarmi tugadi. Ammo endi biz aniqlashimiz kerak ikkinchi burchak ... Bu kosinuslarni ishlatishdan ko'ra qiyinroq, ha... Lekin bizni mantiq qutqaradi! Ikkinchi burchakni qanday aniqlash mumkin x orqali? Bu oson! Rasmdagi uchburchaklar bir xil va qizil burchak X burchakka teng X . Faqat u p burchakdan manfiy yo'nalishda hisoblanadi. Shuning uchun u qizil.) Va javob uchun bizga musbat yarim o'q OX dan to'g'ri o'lchangan burchak kerak, ya'ni. 0 daraja burchakdan.

Biz kursorni chizilgan ustiga olib boramiz va hamma narsani ko'ramiz. Rasmni murakkablashtirmaslik uchun birinchi burchakni olib tashladim. Bizni qiziqtirgan burchak (yashil rangda chizilgan) quyidagilarga teng bo'ladi:

p - x

X buni bilamiz p /6 . Shunday qilib, ikkinchi burchak quyidagicha bo'ladi:

p - p /6 = 5p /6

Biz yana to'liq inqiloblarni qo'shishni eslaymiz va javoblarning ikkinchi seriyasini yozamiz:

x 2 = 5p /6 + 2p n, n ∈ Z

Bo'ldi shu. To'liq javob ikki qator ildizlardan iborat:

x 1 = p /6 + 2p n, n ∈ Z

x 2 = 5p /6 + 2p n, n ∈ Z

Tangens va kotangens tenglamalar trigonometrik tenglamalarni yechishda bir xil umumiy printsip yordamida osonlikcha yechilishi mumkin. Agar, albatta, trigonometrik doirada tangens va kotangensni qanday chizishni bilsangiz.

Yuqoridagi misollarda men sinus va kosinusning jadval qiymatidan foydalandim: 0,5. Bular. talaba biladigan ma'nolardan biri majbur. Endi imkoniyatlarimizni kengaytiramiz boshqa barcha qadriyatlar. Qaror qiling, qaror qiling!)

Deylik, bu trigonometrik tenglamani yechishimiz kerak:

Qisqa jadvallarda bunday kosinus qiymati yo'q. Biz bu dahshatli haqiqatni sovuqqonlik bilan e'tiborsiz qoldiramiz. Doira chizing, kosinus o'qining 2/3 qismini belgilang va mos keladigan burchaklarni chizing. Biz bu rasmni olamiz.

Keling, birinchi navbatda, birinchi chorakdagi burchakka qaraylik. Agar x ning nimaga tengligini bilsak edi, darhol javobni yozar edik! Biz bilmaymiz... Muvaffaqiyatsizlik!? Tinchlaning! Matematika o'z xalqini qiyinchilikda qoldirmaydi! U bu holat uchun yoy kosinuslarini o'ylab topdi. Bilmayapsizmi? Bekorga. Aniqlang, bu siz o'ylagandan ham osonroq. Ushbu havolada "teskari trigonometrik funktsiyalar" haqida biron bir hiyla-nayrang afsun yo'q ... Bu mavzuda bu ortiqcha.

Agar siz bilsangiz, shunchaki o'zingizga ayting: "X - kosinasi 2/3 ga teng bo'lgan burchak." Va darhol, faqat yoy kosinusining ta'rifi bo'yicha, biz yozishimiz mumkin:

Biz qo'shimcha inqiloblarni eslaymiz va trigonometrik tenglamamizning birinchi qator ildizlarini xotirjamlik bilan yozamiz:

x 1 = arccos 2/3 + 2p n, n ∈ Z

Ikkinchi burchak uchun ildizlarning ikkinchi seriyasi deyarli avtomatik ravishda yoziladi. Hammasi bir xil, faqat X (arccos 2/3) minus bilan bo'ladi:

x 2 = - arccos 2/3 + 2p n, n ∈ Z

Va shunday! Bu to'g'ri javob. Jadval qiymatlariga qaraganda osonroq. Hech narsani eslab qolishning hojati yo'q.) Aytgancha, eng diqqatli kishi bu rasmda yechim yoy kosinasi orqali ko'rsatilganligini sezadi. mohiyatan, cosx = 0,5 tenglama uchun rasmdan farq qilmaydi.

Bu to'g'ri! Umumiy tamoyil Shuning uchun bu keng tarqalgan! Men ataylab ikkita deyarli bir xil rasm chizdim. Doira bizga burchakni ko'rsatadi X uning kosinasi bilan. Bu jadvalli kosinusmi yoki yo'qmi, hamma uchun noma'lum. Bu qanday burchak, p /3 yoki yoy kosinusu nima - bu bizni hal qilishimiz kerak.

Sinus bilan bir xil qo'shiq. Masalan:

Yana aylana chizing, sinusni 1/3 ga teng belgilang, burchaklarni chizing. Bu biz olgan rasm:

Va yana rasm tenglama bilan deyarli bir xil sinx = 0,5. Yana birinchi chorakda burchakdan boshlaymiz. Agar uning sinusi 1/3 bo'lsa, X nimaga teng? Savol yo'q!

Endi ildizlarning birinchi to'plami tayyor:

x 1 = arksin 1/3 + 2p n, n ∈ Z

Keling, ikkinchi burchak bilan shug'ullanamiz. Jadval qiymati 0,5 bo'lgan misolda u quyidagilarga teng edi:

p - x

Bu erda ham xuddi shunday bo'ladi! Faqat x farq qiladi, arksin 1/3. Xo'sh!? Siz ikkinchi ildiz to'plamini ishonch bilan yozishingiz mumkin:

x 2 = p - yoy 1/3 + 2p n, n ∈ Z

Bu mutlaqo to'g'ri javob. Garchi u juda tanish ko'rinmasa ham. Lekin bu aniq, umid qilamanki.)

Aylana yordamida trigonometrik tenglamalar shunday yechiladi. Bu yo'l aniq va tushunarli. Aynan u trigonometrik tenglamalarda ildizlarni ma'lum oraliqda tanlab, trigonometrik tengsizliklarda saqlaydi - ular odatda deyarli har doim aylanada hal qilinadi. Muxtasar qilib aytganda, standartdan biroz qiyinroq bo'lgan har qanday vazifalarda.

Keling, bilimlarni amalda qo'llaylik?)

Trigonometrik tenglamalarni yeching:

Birinchidan, oddiyroq, to'g'ridan-to'g'ri ushbu darsdan.

Endi bu yanada murakkab.

Maslahat: bu erda siz doira haqida o'ylashingiz kerak bo'ladi. Shaxsan.)

Endi esa ular tashqi ko'rinishda oddiy... Ularni maxsus holatlar ham deyiladi.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Maslahat: bu yerda siz aylana ichida ikkita javob turkumi va qayerda bitta javob borligini aniqlashingiz kerak... Va ikkita javob seriyasi o‘rniga bittasini qanday yozish kerak. Ha, cheksiz sondan birorta ham ildiz yo'qolmasligi uchun!)

Xo'sh, juda oddiy):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Maslahat: bu erda siz arksin va arkkosin nima ekanligini bilishingiz kerakmi? Arktangens, arktangens nima? Eng oddiy ta'riflar. Lekin siz hech qanday jadval qiymatlarini eslab qolishingiz shart emas!)

Javoblar, albatta, chalkashlikdir):

x 1= arcsin0,3 + 2p n, n ∈ Z
x 2= p - arcsin0,3 + 2

Hammasi yaxshi emasmi? Bo'ladi. Darsni yana o'qing. Faqat o'ylab(bunday eskirgan so'z bor...) Va havolalarni kuzatib boring. Asosiy havolalar doira haqida. Busiz trigonometriya yo'lni ko'r-ko'rona kesib o'tishga o'xshaydi. Ba'zan ishlaydi.)

Agar sizga bu sayt yoqsa...

Aytgancha, menda siz uchun yana bir nechta qiziqarli saytlar bor.)

Siz misollarni yechishda mashq qilishingiz va o'z darajangizni bilib olishingiz mumkin. Tezkor tekshirish bilan sinov. Keling, o'rganamiz - qiziqish bilan!)

Funksiyalar va hosilalar bilan tanishishingiz mumkin.

Trigonometriyaning asosiy formulalari - sinus va kosinus kvadratlarining yig'indisi, sinus va kosinus orqali tangensni ifodalash va boshqalarni bilishni talab qiladi. Ularni unutgan yoki bilmaganlar uchun "" maqolasini o'qishni tavsiya qilamiz.
Shunday qilib, biz asosiy trigonometrik formulalarni bilamiz, ularni amalda qo'llash vaqti keldi. Trigonometrik tenglamalarni yechish da to'g'ri yondashuv- juda qiziqarli mashg'ulot, masalan, Rubik kubini yechish.

Nomning o'ziga asoslanib, trigonometrik tenglama noma'lum trigonometrik funktsiya belgisi ostida bo'lgan tenglama ekanligi aniq.
Eng oddiy deb ataladigan trigonometrik tenglamalar mavjud. Ular qanday ko'rinishga ega: sinx = a, cos x = a, tan x = a. Keling, ko'rib chiqaylik bunday trigonometrik tenglamalarni qanday yechish mumkin, aniqlik uchun biz allaqachon tanish bo'lgan trigonometrik doiradan foydalanamiz.

sinx = a

cos x = a

tan x = a

krovat x = a

Har qanday trigonometrik tenglama ikki bosqichda yechiladi: biz tenglamani eng oddiy ko'rinishga keltiramiz va keyin uni oddiy trigonometrik tenglama sifatida yechamiz.
Trigonometrik tenglamalarni yechishning 7 ta asosiy usuli mavjud.

  1. O'zgaruvchan almashtirish va almashtirish usuli

    2. 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0 tenglamani yeching.

    Kamaytirish formulalaridan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:

    2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

    Oddiy kvadrat tenglamani soddalashtirish va olish uchun cos(x + /6) ni y bilan almashtiring:

    2y 2 – 3y + 1 + 0

    Ildizlari y 1 = 1, y 2 = 1/2

    Endi teskari tartibda boramiz

    Topilgan y qiymatlarini almashtiramiz va ikkita javob variantini olamiz:

  2. Trigonometrik tenglamalarni faktorlarga ajratish orqali yechish

    3. sin x + cos x = 1 tenglama qanday echiladi?

    0 o'ngda qolishi uchun hamma narsani chapga siljitamiz:

    sin x + cos x – 1 = 0

    Tenglamani soddalashtirish uchun yuqorida muhokama qilingan identifikatsiyalardan foydalanamiz:

    sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

    Faktorlarga ajratamiz:

    2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

    2sin(x/2) * = 0

    Biz ikkita tenglamani olamiz

  3. Bir jinsli tenglamaga keltirish

    4. Tenglama sinus va kosinusga nisbatan bir jinsli bo'ladi, agar uning barcha shartlari bir xil burchakning bir xil kuchining sinus va kosinusiga nisbatan bo'lsa. Bir jinsli tenglamani yechish uchun quyidagi amallarni bajaring:

    a) barcha a'zolarini chap tomonga o'tkazish;

    b) barcha umumiy omillarni qavs ichidan chiqarib oling;

    v) barcha omillar va qavslarni 0 ga tenglashtiring;

    d) qavs ichida past darajadagi bir jinsli tenglama olinadi, bu esa o'z navbatida yuqori darajadagi sinus yoki kosinusga bo'linadi;

    e) tg uchun olingan tenglamani yeching.

    3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2 tenglamani yeching.

    Keling, sin 2 x + cos 2 x = 1 formulasidan foydalanamiz va o'ngdagi ochiq ikkitadan xalos bo'laylik:

    3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

    sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

    cos x ga bo'linadi:

    tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

    tan x ni y bilan almashtiring va kvadrat tenglamani oling:

    y 2 + 4y +3 = 0, uning ildizlari y 1 =1, y 2 = 3

    Bu yerdan biz asl tenglamaning ikkita yechimini topamiz:

    x 2 = arktan 3 + k

  4. Yarim burchakka o'tish orqali tenglamalarni yechish

    5. 3sin x – 5cos x = 7 tenglamani yeching

    Keling, x/2 ga o'tamiz:

    6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

    Keling, hamma narsani chapga siljitamiz:

    2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

    cos(x/2) ga bo'linadi:

    tg 2 (x/2) – 3tg (x/2) + 6 = 0

  5. Yordamchi burchakning kiritilishi

    6. Ko'rib chiqish uchun quyidagi ko'rinishdagi tenglamani olaylik: a sin x + b cos x = c,

    bu yerda a, b, c ba'zi ixtiyoriy koeffitsientlar, x esa noma'lum.

    Tenglamaning ikkala tomonini quyidagilarga ajratamiz:

    Endi tenglamaning koeffitsientlari, trigonometrik formulalarga ko'ra, sin va cos xossalariga ega, ya'ni: ularning moduli 1 dan ko'p emas va kvadratlar yig'indisi = 1. Ularni mos ravishda cos va sin deb belgilaymiz, bu erda - bu yordamchi burchak deb ataladigan burchak. Keyin tenglama quyidagi shaklni oladi:

    cos * sin x + sin * cos x = C

    yoki sin(x + ) = C

    Bu eng oddiy trigonometrik tenglamaning yechimi

    x = (-1) k * arcsin C - + k, bu erda

    Shuni ta'kidlash kerakki, cos va sin yozuvlari bir-birini almashtiradi.

    sin 3x – cos 3x = 1 tenglamasini yeching

    Ushbu tenglamadagi koeffitsientlar:

    a =, b = -1, shuning uchun ikkala tomonni = 2 ga bo'ling

Murakkab trigonometrik tenglamalar

Tenglamalar

gunoh x = a,
cos x = a,
tg x = a,
ctg x = a

eng oddiy trigonometrik tenglamalardir. Ushbu paragrafda aniq misollar Biz murakkabroq trigonometrik tenglamalarni ko'rib chiqamiz. Ularning yechimi, qoida tariqasida, eng oddiy trigonometrik tenglamalarni echishga tushadi.

Misol 1 . Tenglamani yeching

gunoh 2 X=cos X gunoh 2 x.

Ushbu tenglamaning barcha shartlarini chap tomonga o'tkazib, hosil bo'lgan ifodani faktoringga ajratib, biz quyidagilarni olamiz:

gunoh 2 X(1 - chunki X) = 0.

Ikki ifodaning mahsuloti nolga teng bo'ladi, agar omillardan kamida bittasi bo'lsa nolga teng, va ikkinchisi aniqlangan ekan, har qanday raqamli qiymatni oladi.

Agar gunoh 2 X = 0 , keyin 2 X= n π ; X = π / 2 n.

Agar 1 - chunki X = 0 , keyin cos X = 1; X = 2kπ .

Shunday qilib, biz ikkita ildiz guruhini oldik: X = π / 2 n; X = 2kπ . Ildizlarning ikkinchi guruhi birinchisida joylashganligi aniq, chunki n = 4k uchun ifoda X = π / 2 n ga murojaat qiladi
X = 2kπ .

Shuning uchun javobni bitta formulada yozish mumkin: X = π / 2 n, Qayerda n- har qanday butun son.

E'tibor bering, bu tenglamani sin 2 ga kamaytirish yo'li bilan hal qilib bo'lmaydi x. Darhaqiqat, qisqartirishdan keyin biz 1 - cos x = 0 ni olamiz, bu erdan X= 2k π . Shunday qilib, biz, masalan, ba'zi ildizlarni yo'qotamiz π / 2 , π , 3p / 2 .

2-misol. Tenglamani yeching

Kasr faqat uning numeratori nolga teng bo'lsa, nolga teng bo'ladi.
Shunung uchun gunoh 2 X = 0 , qaerdan 2 X= n π ; X = π / 2 n.

Ushbu qadriyatlardan X siz o'sha qiymatlarni begona deb tashlashingiz kerak gunohX nolga boradi (nol maxrajli kasrlar hech qanday ma'noga ega emas: nolga bo'linish aniqlanmagan). Bu qiymatlar ko'paytmali raqamlardir π . Formulada
X = π / 2 n ular tenglik uchun olinadi n. Shuning uchun bu tenglamaning ildizlari raqamlar bo'ladi

X = π / 2 (2k + 1),

bu yerda k har qanday butun son.

Misol 3 . Tenglamani yeching

2 gunoh 2 X+ 7cos x - 5 = 0.

ifoda qilaylik gunoh 2 X orqali cosx : gunoh 2 X = 1 - cos 2x . Keyin bu tenglamani quyidagicha qayta yozish mumkin

2 (1 - cos 2 x) + 7cos x - 5 = 0 , yoki

2cos 2 x- 7 cos x + 3 = 0.

Belgilash cosx orqali da, biz kvadrat tenglamaga kelamiz

2u 2 - 7u + 3 = 0,

ularning ildizlari 1/2 va 3 raqamlari. Bu shuni anglatadiki, yoki cos x= 1/2 yoki cos X= 3. Biroq, ikkinchisi mumkin emas, chunki har qanday burchakning kosinasi mutlaq qiymatda 1 dan oshmaydi.

Buni tan olish qoladi cos x = 1 / 2 , qayerda

x = ± 60 ° + 360 ° n.

Misol 4 . Tenglamani yeching

2 gunoh X+ 3cos x = 6.

Gunohdan beri x va cos x mutlaq qiymatda 1 dan oshmaydi, keyin ifoda
2 gunoh X+ 3cos x dan katta qiymatlarni qabul qila olmaydi 5 . Shuning uchun bu tenglamaning ildizlari yo'q.

Misol 5 . Tenglamani yeching

gunoh X+cos x = 1

Ushbu tenglamaning ikkala tomonini kvadratga aylantirib, biz quyidagilarni olamiz:

gunoh 2 X+ 2 gunoh x cos x+ cos 2 x = 1,

Lekin gunoh 2 X + chunki 2 x = 1 . Shunung uchun 2 gunoh x cos x = 0 . Agar gunoh x = 0 , Bu X = nπ ; agar
cos x , Bu X = π / 2 + kπ . Ushbu ikki guruh yechimlarni bitta formulada yozish mumkin:

X = π / 2 n

Ushbu tenglamaning ikkala tomonini kvadratga aylantirganimiz uchun, biz olingan ildizlar orasida begona ildizlar bo'lishi mumkin. Shuning uchun bu misolda, avvalgilaridan farqli o'laroq, tekshirishni amalga oshirish kerak. Barcha ma'nolar

X = π / 2 n 4 guruhga bo‘lish mumkin

1) X = 2kπ .

 (n = 4k)

2) X = π / 2 + 2kπ .

 (n = 4k + 1)

3) X = π + 2kπ .

 (n = 4k + 2)

4) X = 3p / 2 + 2kπ .

 (n = 4k + 3)

At X = 2kp gunoh x+cos x= 0 + 1 = 1. Shuning uchun, X = 2kp bu tenglamaning ildizlari.

At X = π / 2 + 2kp. gunoh x+cos x= 1 + 0 = 1 Shunday qilib X = π / 2 + 2kp- bu tenglamaning ildizlari ham.

At X = π + 2kp gunoh x+cos x= 0 - 1 = - 1. Shuning uchun qiymatlar X = π + 2kp bu tenglamaning ildizlari emas. Xuddi shunday ko'rsatilgan X = 3p / 2 + 2kp. ildiz emas.

Shunday qilib, bu tenglama quyidagi ildizlarga ega: X = 2kp Va X = π / 2 + 2mp., Qayerda k Va m- har qanday butun sonlar.

Ko'pchilikni hal qilganda matematik muammolar, ayniqsa, 10-sinfdan oldin sodir bo'lganlar, maqsadga olib keladigan harakatlar tartibi aniq belgilangan. Bunday masalalarga, masalan, chiziqli va kvadrat tenglamalar, chiziqli va kvadrat tengsizliklar, kasr tenglamalari va kvadratiklarga keltiruvchi tenglamalar. Yuqorida aytib o'tilgan muammolarning har birini muvaffaqiyatli hal qilish printsipi quyidagilardan iborat: siz qanday turdagi muammoni hal qilayotganingizni belgilashingiz kerak, kerakli natijaga olib keladigan kerakli harakatlar ketma-ketligini eslab qolishingiz kerak, ya'ni. javob bering va ushbu bosqichlarni bajaring.

Ko'rinib turibdiki, muayyan masalani hal qilishda muvaffaqiyat yoki muvaffaqiyatsizlik, asosan, echilayotgan tenglama turi qanchalik to'g'ri aniqlanganiga, uni hal qilishning barcha bosqichlari ketma-ketligi qanchalik to'g'ri takrorlanganiga bog'liq. Albatta, bu holda bir xil o'zgartirish va hisob-kitoblarni bajarish ko'nikmalariga ega bo'lish kerak.

bilan vaziyat boshqacha trigonometrik tenglamalar. Tenglamaning trigonometrik ekanligini aniqlash unchalik qiyin emas. To'g'ri javobga olib keladigan harakatlar ketma-ketligini aniqlashda qiyinchiliklar paydo bo'ladi.

tomonidan ko'rinish tenglama, uning turini aniqlash ba'zan qiyin. Va tenglama turini bilmasdan, bir necha o'nlab trigonometrik formulalardan to'g'risini tanlash deyarli mumkin emas.

Trigonometrik tenglamani yechish uchun siz quyidagilarni sinab ko'rishingiz kerak:

1. tenglamaga kiritilgan barcha funksiyalarni “bir xil burchaklarga” keltiring;
2. tenglamani “bir xil funksiyalar”ga keltiring;
3. tenglamaning chap tomonini ko‘paytiring va hokazo.

Keling, ko'rib chiqaylik trigonometrik tenglamalarni yechishning asosiy usullari.

I. Eng oddiy trigonometrik tenglamalarga keltirish

Yechim diagrammasi

1-qadam. Trigonometrik funktsiyani ma'lum komponentlar bilan ifodalang.

2-qadam. Funktsiya argumentini formulalar yordamida toping:

cos x = a; x = ±arccos a + 2pn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + pn, n Ê Z.

tan x = a; x = arktan a + pn, n Ê Z.

ctg x = a; x = arcctg a + pn, n Ê Z.

3-qadam. Noma'lum o'zgaruvchini toping.

Misol.

2 cos(3x – p/4) = -√2.

Yechim.

1) cos(3x – p/4) = -√2/2.

2) 3x – p/4 = ±(p – p/4) + 2pn, n Ê Z;

3x – p/4 = ±3p/4 + 2pn, n Ê Z.

3) 3x = ±3p/4 + p/4 + 2pn, n Ê Z;

x = ±3p/12 + p/12 + 2pn/3, n Ê Z;

x = ±p/4 + p/12 + 2pn/3, n Ê Z.

Javob: ±p/4 + p/12 + 2pn/3, n Ê Z.

II. O'zgaruvchan almashtirish

Yechim diagrammasi

1-qadam. Trigonometrik funksiyalardan biriga nisbatan tenglamani algebraik shaklga keltiring.

2-qadam. Hosil bo‘lgan funksiyani t o‘zgaruvchisi bilan belgilang (agar kerak bo‘lsa, t ga cheklovlar kiriting).

3-qadam. Olingan algebraik tenglamani yozing va yeching.

4-qadam. Teskari almashtirishni amalga oshiring.

5-qadam. Eng oddiy trigonometrik tenglamani yeching.

Misol.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Yechim.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Sin (x/2) = t bo'lsin, bu erda |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 yoki e = -3/2, |t| shartini qanoatlantirmaydi ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = p/2 + 2pn, n Ê Z;

x = p + 4pn, n Ê Z.

Javob: x = p + 4pn, n Ê Z.

III. Tenglama tartibini qisqartirish usuli

Yechim diagrammasi

1-qadam. Darajani kamaytirish formulasidan foydalanib, ushbu tenglamani chiziqli bilan almashtiring:

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

2-qadam. Olingan tenglamani I va II usullar yordamida yeching.

Misol.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Yechim.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±p/3 + 2pn, n Ê Z;

x = ±p/6 + pn, n Ê Z.

Javob: x = ±p/6 + pn, n Ê Z.

IV. Bir jinsli tenglamalar

Yechim diagrammasi

1-qadam. Ushbu tenglamani shaklga qisqartiring

a) sin x + b cos x = 0 (birinchi darajali bir hil tenglama)

yoki ko'rinishga

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (ikkinchi darajali bir jinsli tenglama).

2-qadam. Tenglamaning ikkala tomonini ga bo'ling

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

va tan x uchun tenglamani oling:

a) tan x + b = 0;

b) a tan 2 x + b arktan x + c = 0.

3-qadam. Tenglamani ma'lum usullar yordamida yeching.

Misol.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

Yechim.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) U holda tg x = t bo'lsin

t 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 yoki t = -4, bu degani

tg x = 1 yoki tg x = -4.

Birinchi tenglamadan x = p/4 + pn, n Ê Z; ikkinchi tenglamadan x = -arctg 4 + pk, k Є Z.

Javob: x = p/4 + pn, n Ê Z; x = -arctg 4 + pk, k Є Z.

V. Trigonometrik formulalar yordamida tenglamani o'zgartirish usuli

Yechim diagrammasi

1-qadam. Barcha mumkin bo'lgan trigonometrik formulalardan foydalanib, bu tenglamani I, II, III, IV usullar bilan yechilgan tenglamaga keltiring.

2-qadam. Hosil boʻlgan tenglamani maʼlum usullar yordamida yeching.

Misol.

sin x + gunoh 2x + gunoh 3x = 0.

Yechim.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 yoki 2cos x + 1 = 0;

Birinchi tenglamadan 2x = p/2 + pn, n Ê Z; ikkinchi tenglamadan cos x = -1/2.

Bizda x = p/4 + pn/2, n Ê Z; ikkinchi tenglamadan x = ±(p – p/3) + 2pk, k Ê Z.

Natijada, x = p/4 + pn/2, n Ê Z; x = ±2p/3 + 2pk, k Ê Z.

Javob: x = p/4 + pn/2, n Ê Z; x = ±2p/3 + 2pk, k Ê Z.

Trigonometrik tenglamalarni yechish qobiliyati va mahorati juda katta muhim, ularning rivojlanishi talaba tomonidan ham, o'qituvchi tomonidan ham katta kuch talab qiladi.

Stereometriya, fizika va boshqalarning ko‘pgina masalalari trigonometrik tenglamalarni yechish bilan bog‘liq.

Trigonometrik tenglamalar matematikani o'rganish va umuman shaxsiy rivojlanish jarayonida muhim o'rin tutadi.

Hali ham savollaringiz bormi? Trigonometrik tenglamalarni yechishni bilmayapsizmi?
Repetitordan yordam olish uchun ro'yxatdan o'ting.
Birinchi dars bepul!

veb-sayt, materialni to'liq yoki qisman nusxalashda manbaga havola talab qilinadi.

Maxfiyligingizni saqlash biz uchun muhim. Shu sababli, biz sizning ma'lumotlaringizdan qanday foydalanishimiz va saqlashimizni tavsiflovchi Maxfiylik siyosatini ishlab chiqdik. Iltimos, maxfiylik amaliyotlarimizni ko'rib chiqing va savollaringiz bo'lsa, bizga xabar bering.

Shaxsiy ma'lumotlarni to'plash va ulardan foydalanish

Shaxsiy ma'lumotlar ma'lum bir shaxsni aniqlash yoki unga murojaat qilish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan ma'lumotlarni anglatadi.

Biz bilan bog'langaningizda istalgan vaqtda shaxsiy ma'lumotlaringizni taqdim etishingiz so'ralishi mumkin.

Quyida biz to'plashimiz mumkin bo'lgan shaxsiy ma'lumotlar turlari va bunday ma'lumotlardan qanday foydalanishimiz mumkinligiga ba'zi misollar keltirilgan.

Biz qanday shaxsiy ma'lumotlarni yig'amiz:

  • Saytda ariza topshirganingizda, biz sizning ismingiz, telefon raqamingiz, manzilingiz kabi turli xil ma'lumotlarni to'plashimiz mumkin elektron pochta va hokazo.

Shaxsiy ma'lumotlaringizdan qanday foydalanamiz:

  • Biz tomonimizdan yig'ilgan Shaxsiy ma'lumot bizga siz bilan bog'lanish va noyob takliflar, aktsiyalar va boshqa tadbirlar va bo'lajak voqealar haqida sizni xabardor qilish imkonini beradi.
  • Vaqti-vaqti bilan biz sizning shaxsiy ma'lumotlaringizdan muhim xabarlar va xabarlarni yuborish uchun foydalanishimiz mumkin.
  • Shaxsiy ma'lumotlardan audit, ma'lumotlarni tahlil qilish va boshqalar kabi ichki maqsadlarda ham foydalanishimiz mumkin turli tadqiqotlar biz taqdim etayotgan xizmatlarni yaxshilash va sizga xizmatlarimiz bo'yicha tavsiyalar berish uchun.
  • Agar siz sovrinlar o'yinida, tanlovda yoki shunga o'xshash aksiyada ishtirok etsangiz, biz siz taqdim etgan ma'lumotlardan bunday dasturlarni boshqarish uchun foydalanishimiz mumkin.

Ma'lumotni uchinchi shaxslarga oshkor qilish

Biz sizdan olingan ma'lumotlarni uchinchi shaxslarga oshkor etmaymiz.

Istisnolar:

  • Zarur bo'lganda - qonun hujjatlariga muvofiq, sud tartibida, in sud, va/yoki Rossiya Federatsiyasining davlat organlarining ommaviy so'rovlari yoki so'rovlari asosida - shaxsiy ma'lumotlaringizni oshkor qiling. Shuningdek, biz siz haqingizdagi ma'lumotlarni oshkor qilishimiz mumkin, agar bunday oshkor qilish xavfsizlik, huquqni muhofaza qilish yoki boshqa jamoat ahamiyatiga ega bo'lgan maqsadlar uchun zarur yoki mos ekanligini aniqlasak.
  • Qayta tashkil etish, qo'shilish yoki sotilgan taqdirda, biz to'plagan shaxsiy ma'lumotlarni tegishli vorisi uchinchi shaxsga o'tkazishimiz mumkin.

Shaxsiy ma'lumotlarni himoya qilish

Shaxsiy ma'lumotlaringizni yo'qotish, o'g'irlash va noto'g'ri foydalanish, shuningdek ruxsatsiz kirish, oshkor qilish, o'zgartirish va yo'q qilishdan himoya qilish uchun ma'muriy, texnik va jismoniy ehtiyot choralarini ko'ramiz.

Shaxsiy hayotingizni kompaniya darajasida hurmat qilish

Sizning shaxsiy ma'lumotlaringiz xavfsizligini ta'minlash uchun biz xodimlarimizga maxfiylik va xavfsizlik standartlarini etkazamiz va maxfiylik amaliyotlarini qat'iy qo'llaymiz.