I. To‘g‘ri proporsional kattaliklar.
Qiymatga ruxsat bering y hajmiga bog'liq X. Agar ko'payganda X bir necha marta katta da bir xil miqdorda ortadi, keyin bunday qiymatlar X Va da to'g'ridan-to'g'ri proportsional deyiladi.
Misollar.
1 . Sotib olingan tovarlar miqdori va sotib olish narxi (bir tovar birligi uchun qat'iy belgilangan narx bilan - 1 dona yoki 1 kg va boshqalar) Necha marta ko'p tovar sotib olingan bo'lsa, shuncha ko'p to'langan.
2 . Bosilgan masofa va unga sarflangan vaqt (doimiy tezlikda). Yo'l necha marta uzoqroq, uni tugatish uchun qancha vaqt kerak bo'ladi.
3 . Jismning hajmi va uning massasi. ( Agar bitta tarvuz ikkinchisidan 2 marta katta bo'lsa, unda uning massasi 2 baravar katta bo'ladi)
II. Miqdorlarning to'g'ridan-to'g'ri proportsionalligi xossasi.
Agar ikkita miqdor to'g'ridan-to'g'ri proportsional bo'lsa, unda birinchi miqdorning ikkita o'zboshimchalik bilan olingan qiymatining nisbati ikkinchi miqdorning ikkita mos keladigan qiymatining nisbatiga teng bo'ladi.
Vazifa 1. Malinali murabbo uchun biz oldik 12 kg malina va 8 kg Sahara. Agar siz uni olsangiz, sizga qancha shakar kerak bo'ladi? 9 kg malina?
Yechim.
Biz shunday fikr yuritamiz: kerak bo'lsin x kg uchun shakar 9 kg malina Malinaning massasi va shakarning massasi to'g'ridan-to'g'ri proportsional miqdorlardir: malina necha marta kamroq bo'lsa, shuncha marta kamroq shakar kerak bo'ladi. Shuning uchun, olingan malina nisbati (og'irlik bo'yicha) ( 12:9 ) olingan shakar nisbatiga teng bo'ladi ( 8:x). Biz nisbatni olamiz:
12: 9=8: X;
x=9 · 8: 12;
x=6. Javob: yoqilgan 9 kg malinani olish kerak 6 kg Sahara.
Muammoni hal qilish Buni shunday qilish mumkin edi:
Mayli 9 kg malinani olish kerak x kg Sahara.
(Rasmdagi o'qlar bir yo'nalishda yo'naltirilgan va yuqoriga yoki pastga muhim emas. Ma'nosi: necha marta 12 ko'proq raqam 9 , bir xil marta 8 ko'proq raqam X, ya'ni bu erda to'g'ridan-to'g'ri aloqa mavjud).
Javob: yoqilgan 9 kg Bir oz malina olishim kerak 6 kg Sahara.
Vazifa 2. uchun mashina 3 soat masofani bosib o‘tdi 264 km. Uning sayohati qancha vaqt oladi? 440 km, agar u bir xil tezlikda harakat qilsa?
Yechim.
ruxsat bering x soat mashina masofani bosib o'tadi 440 km.
Javob: mashina o'tib ketadi 5 soatda 440 km.
Asosiy maqsadlar:
- miqdorlarning to'g'ridan-to'g'ri va teskari proportsional bog'liqligi tushunchasini kiritish;
- bu bog’liqliklardan foydalanib masalalar yechishni o’rgatish;
- muammolarni hal qilish ko'nikmalarini rivojlantirishga yordam berish;
- mutanosibliklardan foydalangan holda tenglamalarni yechish ko'nikmalarini mustahkamlash;
- oddiy va bilan qadamlarni takrorlang o'nli kasrlar;
- talabalarning mantiqiy tafakkurini rivojlantirish.
Darsning borishi
I. Faoliyat uchun o'z taqdirini o'zi belgilash(tashkiliy lahza)
- Bolalar! Bugun darsda proporsiya yordamida yechilgan masalalar bilan tanishamiz.
II. Bilimlarni yangilash va faoliyatdagi qiyinchiliklarni qayd etish
2.1. Og'zaki ish (3 daqiqa)
– iboralarning ma’nosini toping va javoblarda shifrlangan so‘zni toping.
14 – s; 0,1 - va; 7 - l; 0,2 – a; 17 – c; 25 - gacha
- Olingan so'z - kuch. Juda qoyil!
– Bugungi darsimizning shiori: Kuch bilimda! Men izlayapman - demak, men o'rganyapman!
– Olingan raqamlardan mutanosiblikni hosil qiling. (14:7 = 0,2:0,1 va boshqalar)
2.2. Bizga ma'lum bo'lgan miqdorlar o'rtasidagi munosabatni ko'rib chiqamiz (7 daqiqa)
– avtomobilning doimiy tezlikda bosib o‘tgan masofasi va uning harakatlanish vaqti: S = v t ( ortib borayotgan tezlik (vaqt) bilan masofa oshadi;
- avtomobil tezligi va sayohatga sarflangan vaqt: v=S:t(yo'lni bosib o'tish vaqti oshgani sayin tezlik kamayadi);
–
Bir narxda sotib olingan tovarlarning qiymati va uning miqdori:
C = a · n (narxning oshishi (pasayishi) bilan sotib olish qiymati oshadi (pasayadi));
– mahsulot narxi va uning miqdori: a = C: n (miqdori oshishi bilan narx pasayadi)
- to'rtburchakning maydoni va uning uzunligi (kengligi): S = a · b (uzunligi (kengligi) ortishi bilan maydon ortadi;
– to‘rtburchak uzunligi va kengligi: a = S: b (uzunlik oshgani sayin eni kamayadi;
- bir xil mehnat unumdorligi bilan ba'zi ishlarni bajaradigan ishchilar soni va bu ishni bajarish uchun ketadigan vaqt: t = A: n (ishchilar sonining ko'payishi bilan ishni bajarishga ketadigan vaqt kamayadi) va hokazo. .
Biz bog'liqliklarni oldik, ularda bir qiymat bir necha marta ortishi bilan boshqasi darhol bir xil miqdorga ko'payadi (misollar o'qlar bilan ko'rsatilgan) va bir qiymat bir necha marta ko'tarilganda ikkinchi qiymat bir necha marta kamayadi. bir xil marta.
Bunday bog'liqliklar to'g'ridan-to'g'ri va teskari proportsionallik deb ataladi.
To'g'ridan-to'g'ri proportsional bog'liqlik– bir qiymat bir necha marta ortishi (kamayishi) bilan ikkinchi qiymat bir xil miqdorda ortib (kamayishi) munosabati.
Teskari proportsional munosabat– bir qiymat bir necha marta ortishi (kamayishi) bilan ikkinchi qiymat bir xil miqdorda kamayishi (ko‘tarilishi) munosabati.
III. O'quv vazifasini belgilash
- Bizni qanday muammo kutmoqda? (To'g'ri chiziqlarni farqlashni o'rganing va teskari bog'liqliklar)
- Bu - maqsad bizning darsimiz. Endi shakllantiring mavzu dars. (To'g'ri va teskari proportsional munosabatlar).
- Juda qoyil! Dars mavzusini daftaringizga yozing. (O'qituvchi mavzuni doskaga yozadi.)
IV. Yangi bilimlarning "kashfiyoti"(10 daqiqa)
Keling, 199-sonli masalalarni ko'rib chiqaylik.
1. Printer 4,5 daqiqada 27 sahifani chop etadi. 300 sahifani chop etish uchun qancha vaqt ketadi?
27 sahifa - 4,5 min.
300 sahifa - x?
2. Qutida har biri 250 g dan 48 dona choy bor. Bu choyning 150 g paketidan nechtasini olasiz?
48 ta paket - 250 g.
X? - 150 g.
3. Mashina 25 litr benzin sarflab, 310 km yurdi. Avtomobil to'liq 40 litrlik bakda qancha masofani bosib o'tishi mumkin?
310 km - 25 l
X? - 40 l
4. Debriyaj uzatmalaridan birida 32 tish, ikkinchisida 40 tish bor. Birinchisi 215 aylanish qilganda ikkinchi vites nechta aylanishni amalga oshiradi?
32 tish - 315 rev.
40 tish - x?
Proportsiyani tuzish uchun o'qlarning bir yo'nalishi kerak, buning uchun teskari proportsionallikda bitta nisbat teskari bilan almashtiriladi;
Doskada o'quvchilar kattaliklarning ma'nosini joyida topadilar, o'quvchilar o'zlari tanlagan bitta masalani hal qiladilar;
– To‘g‘ridan-to‘g‘ri va teskari proportsional bog‘liqlikdagi masalalarni yechish qoidasini shakllantirish.
Doskada jadval paydo bo'ladi:
V. Tashqi nutqda birlamchi konsolidatsiya(10 daqiqa)
Ish varag'i topshiriqlari:
- 21 kg paxta chigitidan 5,1 kg moy olindi.
- 7 kg paxta chigitidan qancha moy olinadi?
Stadionni qurish uchun 5 ta buldozer 210 daqiqada maydonni tozaladi. Bu saytni tozalash uchun 7 ta buldozer qancha vaqt oladi? VI. Mustaqil ishstandartga muvofiq o'z-o'zini tekshirish bilan
(5 daqiqa)
Ikki talaba mustaqil ravishda 225-sonli topshiriqni yashirin doskalarda, qolganlari esa daftarda bajaradi. Keyin ular algoritm ishini tekshiradilar va doskadagi yechim bilan solishtiradilar. Xatolar tuzatilib, ularning sabablari aniqlanadi. Agar topshiriq to'g'ri bajarilgan bo'lsa, o'quvchilar yoniga "+" belgisini qo'yadilar.
Mustaqil ishda xatoga yo'l qo'ygan talabalar maslahatchilardan foydalanishlari mumkin.№ 271, № 270.
VII. Bilimlar tizimiga kiritish va takrorlash
Kengashda olti kishi ishlaydi. 3-4 daqiqadan so‘ng doskada ishlovchi o‘quvchilar o‘z yechimlarini taqdim etadilar, qolganlari topshiriqlarni tekshirib, ularni muhokama qilishda qatnashadilar.
VIII. Faoliyat haqida fikr yuritish (darsning xulosasi)
- Darsda qanday yangi narsalarni o'rgandingiz?
- Nimani takrorladilar?
– Proportsion masalalarni yechish algoritmi qanday?
- Maqsadimizga erishdikmi?
Toping
Agar t - piyodaning harakat vaqti (soatlarda), s - bosib o'tgan yo'li (kilometrlarda) va u 4 km/soat tezlikda bir tekis harakatlansa, bu miqdorlar orasidagi bog'lanishni s = formula bilan ifodalash mumkin. 4t. Har bir t qiymati bitta s qiymatiga mos kelganligi sababli, funktsiya s = 4t formulasi yordamida aniqlanganligini aytishimiz mumkin. U to'g'ridan-to'g'ri proportsionallik deb ataladi va quyidagicha aniqlanadi.
Ta'rif. To'g'ridan-to'g'ri proportsionallik - y=kx formulasi yordamida aniqlanishi mumkin bo'lgan funksiya, bu erda k - nolga teng bo'lmagan haqiqiy son.
y = k x funktsiyaning nomi y = k x formulasida kattaliklarning qiymatlari bo'lishi mumkin bo'lgan x va y o'zgaruvchilari mavjudligi bilan bog'liq. Va agar ikkita miqdorning nisbati noldan farq qiladigan biron bir raqamga teng bo'lsa, ular deyiladi to'g'ridan-to'g'ri proportsional . Bizning holatda = k (k≠0). Bu raqam chaqiriladi proportsionallik koeffitsienti.
y = k x funksiyasi boshlang'ich matematika kursida ko'rib chiqilgan ko'plab real vaziyatlarning matematik modelidir. Ulardan biri yuqorida tavsiflangan. Yana bir misol: agar bitta qop unda 2 kg bo'lsa va x shunday qoplar sotib olingan bo'lsa, unda sotib olingan unning butun massasi (y bilan belgilangan) y = 2x formulasi sifatida ifodalanishi mumkin, ya'ni. qoplar soni va sotib olingan unning umumiy massasi o'rtasidagi bog'liqlik koeffitsient k=2 bilan to'g'ridan-to'g'ri proportsionaldir.
Keling, maktab matematika kursida o'rganiladigan to'g'ridan-to'g'ri proportsionallikning ba'zi xususiyatlarini eslaylik.
1. y = k x funktsiyani aniqlash sohasi va uning qiymatlari diapazoni haqiqiy sonlar to'plamidir.
2. To’g’ri proporsionallik grafigi koordinata boshidan o’tuvchi to’g’ri chiziqdir. Demak, toʻgʻri proporsionallik grafigini qurish uchun unga tegishli boʻlgan va koordinatalarning kelib chiqishiga toʻgʻri kelmaydigan faqat bitta nuqtani topib, soʻngra shu nuqta va koordinatalarning boshi orqali toʻgʻri chiziq oʻtkazish kifoya.
Masalan, y = 2x funksiya grafigini qurish uchun koordinatalari (1, 2) bo'lgan nuqtaga ega bo'lish, so'ngra u orqali to'g'ri chiziq va koordinatalarning boshini o'tkazish kifoya (7-rasm).
3. k > 0 uchun y = khx funksiya butun aniqlanish sohasi bo‘yicha ortadi; da k< 0 - убывает на всей области определения.
4. Agar f funktsiyasi to'g'ridan-to'g'ri proportsionallik bo'lsa va (x 1, y 1), (x 2, y 2) x va y o'zgaruvchilarning mos qiymatlari juftligi va x 2 ≠0 bo'lsa.
Haqiqatan ham, agar f funktsiya to'g'ridan-to'g'ri proporsionallik bo'lsa, u holda uni y = khx, keyin esa y 1 = kh 1, y 2 = kh 2 formulasi bilan berish mumkin. Chunki x 2 ≠0 va k≠0 da, u holda y 2 ≠0 bo'ladi. Shunung uchun 
va bu degani.
Agar x va y o'zgaruvchilarning qiymatlari musbat haqiqiy sonlar bo'lsa, to'g'ridan-to'g'ri proportsionallikning tasdiqlangan xususiyati quyidagicha ifodalanishi mumkin: x o'zgaruvchisi qiymatining bir necha marta ortishi (kamayishi) bilan y o'zgaruvchining mos keladigan qiymati bir xil miqdorda ortadi (kamayadi).
Bu xususiyat faqat to'g'ridan-to'g'ri proportsionallikka xosdir va undan to'g'ridan-to'g'ri proportsional miqdorlar ko'rib chiqiladigan so'zli masalalarni hal qilishda foydalanish mumkin.
Muammo 1. 8 soat ichida tokar 16 ta detal ishlab chiqardi. Agar tokar bir xil unumdorlikda ishlasa, 48 ta detal ishlab chiqarish uchun qancha soat kerak bo'ladi?
Yechim. Muammo miqdorlarni ko'rib chiqadi - tokarning ish vaqti, u tomonidan ishlab chiqarilgan qismlar soni va unumdorligi (ya'ni, tokar tomonidan 1 soat ichida qilingan qismlar soni) va oxirgi qiymat doimiy, qolgan ikkitasi esa oladi. turli ma'nolar. Bundan tashqari, ishlab chiqarilgan qismlar soni va ish vaqti to'g'ridan-to'g'ri proportsional miqdorlardir, chunki ularning nisbati ma'lum bir raqamga teng emas, balki nolga teng, ya'ni tokar tomonidan 1 soatda ishlab chiqarilgan qismlar soni y harfi bilan belgilangan bo'lsa, ish vaqti x, unumdorligi k bo'lsa, biz = k yoki y = khx ni olamiz. , ya'ni. Muammoda keltirilgan vaziyatning matematik modeli to'g'ridan-to'g'ri proportsionallikdir.
Muammoni ikkita arifmetik usulda hal qilish mumkin:
1-yo'l: 2-yo'l:
1) 16:8 = 2 (bolalar) 1) 48:16 = 3 (marta)
2) 48:2 = 24 (h) 2) 8-3 = 24 (h)
Masalani birinchi usulda yechishda, avvalo k proportsionallik koeffitsientini topdik, u 2 ga teng, keyin esa y = 2x ekanligini bilib, y = 48 bo‘lganda x ning qiymatini topdik.
Muammoni ikkinchi usulda hal qilishda biz to'g'ridan-to'g'ri proportsionallik xususiyatidan foydalandik: tokar tomonidan ishlab chiqarilgan qismlar soni qancha ko'p bo'lsa, ularni ishlab chiqarish vaqti bir xil miqdorda oshadi.
Endi teskari proportsionallik deb ataladigan funktsiyani ko'rib chiqishga o'tamiz.
Agar t - piyodaning harakat qilgan vaqti (soatlarda), v - uning tezligi (km/soatda) va u 12 km yurgan bo'lsa, u holda bu kattaliklar orasidagi bog'lanishni v∙t = 20 yoki v = formulasi bilan ifodalash mumkin.
Har bir qiymat t (t ≠ 0) yagona tezlik qiymati v mos kelganligi sababli, funktsiya v = formulasi yordamida aniqlanganligini aytishimiz mumkin. U teskari proporsionallik deyiladi va quyidagicha aniqlanadi.
Ta'rif. Teskari proportsionallik - y = formulasi yordamida aniqlanishi mumkin bo'lgan funksiya, bu erda k - nolga teng bo'lmagan haqiqiy son.
Bu funksiyaning nomi shundan kelib chiqqan y = x va y o'zgaruvchilar mavjud, ular miqdorlarning qiymatlari bo'lishi mumkin. Va agar ikkita miqdorning ko'paytmasi noldan farq qiladigan biron bir raqamga teng bo'lsa, ular teskari proportsional deyiladi. Bizning holatimizda xy = k(k ≠0). Bu k soniga mutanosiblik koeffitsienti deyiladi.
Funktsiya y = boshlang'ich matematika kursida ko'rib chiqilgan ko'plab real vaziyatlarning matematik modelidir. Ulardan biri teskari proportsionallik ta'rifidan oldin tasvirlangan. Yana bir misol: agar siz 12 kg un sotib olgan bo'lsangiz va uni har biriga l: y kg bankalarga qo'ygan bo'lsangiz, u holda bu miqdorlar o'rtasidagi munosabatlar quyidagicha ifodalanishi mumkin. x-y shaklida= 12, ya'ni. u koeffitsient k=12 bilan teskari proportsionaldir.
dan ma'lum bo'lgan teskari proportsionallikning ba'zi xususiyatlarini eslaylik maktab kursi matematika.
1.Funksiya ta'rifining domeni y = va uning qiymatlari diapazoni x noldan boshqa haqiqiy sonlar to'plamidir.
2. Teskari proporsionallik grafigi giperbola.
3. k > 0 uchun giperbolaning shoxlari 1 va 3 choraklarda joylashgan va funksiya y = x ni aniqlashning butun sohasi bo'yicha kamayib bormoqda (8-rasm).
Guruch. 8 9-rasm
K da< 0 ветви гиперболы расположены во 2-й и 4-й четвертях и функция y = x ni aniqlashning butun maydoni bo'ylab ortib bormoqda (9-rasm).
4. Agar f funksiya teskari proportsionallik bo'lsa va (x 1, y 1), (x 2, y 2) x va y o'zgaruvchilarning mos qiymatlari juftlari bo'lsa, u holda.
Haqiqatan ham, agar f funktsiya teskari proportsionallik bo'lsa, uni formula bilan berish mumkin y =
, va keyin 
. Chunki x 1 ≠0, x 2 ≠0, x 3 ≠0, keyin 
Agar x va y o'zgaruvchilarning qiymatlari musbat haqiqiy sonlar bo'lsa, u holda teskari proportsionallikning bu xususiyati quyidagicha ifodalanishi mumkin: x o'zgaruvchisi qiymatining bir necha marta oshishi (kamayishi) bilan o'zgaruvchining mos keladigan qiymati y bir xil miqdorda kamayadi (ortadi).
Bu xususiyat faqat teskari proportsionallikka xosdir va undan teskari proportsional miqdorlar ko'rib chiqiladigan so'zli masalalarni yechishda foydalanish mumkin.
Masala 2. 10 km/soat tezlikda harakatlanayotgan velosipedchi A dan B gacha bo‘lgan masofani 6 soatda bosib o‘tdi, agar velosipedchi 20 km/soat tezlikda ketsa, qaytish yo‘lida qancha vaqt ketadi?
Yechim. Muammo quyidagi miqdorlarni ko'rib chiqadi: velosipedchining tezligi, harakat vaqti va A dan B gacha bo'lgan masofa, oxirgi miqdor doimiy, qolgan ikkitasi esa turli qiymatlarni oladi. Bundan tashqari, harakat tezligi va vaqti teskari proportsional miqdorlardir, chunki ularning mahsuloti ma'lum bir raqamga, ya'ni bosib o'tgan masofaga teng. Velosipedchining harakat vaqti y harfi bilan, tezligi x bilan va AB masofasi k bilan belgilansa, u holda biz xy = k yoki y = ni olamiz, ya'ni. Masalada keltirilgan vaziyatning matematik modeli teskari proportsionallikdir.
Muammoni hal qilishning ikki yo'li mavjud:
1-yo'l: 2-yo'l:
1) 10-6 = 60 (km) 1) 20:10 = 2 (marta)
2) 60:20 = 3(4) 2) 6:2 = 3(h)
Masalani birinchi usulda yechishda avvalo proporsionallik koeffitsienti k topildi, u 60 ga teng, keyin esa y = ekanligini bilib, x = 20 bo‘lganda y qiymatini topdik.
Masalani ikkinchi usulda yechishda biz teskari proporsionallik xossasidan foydalandik: harakat tezligi necha marta ortadi, bir xil masofani bosib o'tish vaqti bir xil songa kamayadi.
E'tibor bering, hal qilishda aniq vazifalar teskari proportsional yoki to'g'ridan-to'g'ri proportsional miqdorlar bilan x va y ga ba'zi cheklovlar qo'yiladi, xususan, ular haqiqiy sonlarning butun to'plamida emas, balki uning kichik to'plamlarida ko'rib chiqilishi mumkin.
Muammo 3. Lena x qalam sotib oldi, Katya esa 2 barobar ko'p sotib oldi. Katya tomonidan sotib olingan qalamlar sonini y bilan belgilang, y ni x bilan ifodalang va x≤5 bo'lsa, belgilangan yozishmalar grafigini tuzing. Bu yozishmalar funksiyami? Uning ta'rif sohasi va qiymatlar diapazoni qanday?
Yechim. Katya = 2 ta qalam sotib oldi. y=2x funksiya grafigini qurishda x o'zgaruvchisi qalamlar sonini va x≤5 ni bildirishini hisobga olish kerak, ya'ni u faqat 0, 1, 2, 3 qiymatlarini qabul qilishi mumkin. , 4, 5. Bu funksiyaning taʼrif sohasi boʻladi. Ushbu funktsiyaning qiymatlari oralig'ini olish uchun har bir x qiymatini ta'riflar oralig'idan 2 ga ko'paytirish kerak, ya'ni. bu to'plam bo'ladi (0, 2, 4, 6, 8, 10). Demak, y = 2x funksiyaning aniqlanish sohasi (0, 1, 2, 3, 4, 5) grafigi 10-rasmda ko‘rsatilgan nuqtalar to‘plami bo‘ladi. Bu nuqtalarning barchasi y = 2x to‘g‘ri chiziqqa tegishli. .
Bugun biz qanday miqdorlar teskari proportsional deb ataladi, teskari proportsionallik grafigi qanday ko'rinishini va bularning barchasi siz uchun nafaqat matematika darslarida, balki maktabdan tashqarida ham qanday foydali bo'lishi mumkinligini ko'rib chiqamiz.
Bunday turli xil nisbatlar
Proportsionallik bir-biriga o'zaro bog'liq bo'lgan ikkita miqdorni ayting.
Bog'liqlik to'g'ridan-to'g'ri va teskari bo'lishi mumkin. Binobarin, miqdorlar o'rtasidagi munosabatlar to'g'ridan-to'g'ri va teskari proportsionallik bilan tavsiflanadi.
To'g'ridan-to'g'ri proportsionallik- bu ikki miqdor o'rtasidagi shunday munosabat bo'lib, ulardan birining ko'payishi yoki kamayishi ikkinchisining ko'payishi yoki kamayishiga olib keladi. Bular. ularning munosabati o'zgarmaydi.
Misol uchun, imtihonlarni o'qish uchun qancha kuch sarflasangiz, baholaringiz shunchalik yuqori bo'ladi. Yoki piyoda o'zingiz bilan qancha ko'p narsalarni olib ketsangiz, ryukzangiz shunchalik og'irroq bo'ladi. Bular. Imtihonlarga tayyorgarlik ko'rish uchun sarflangan kuch miqdori olingan baholarga to'g'ridan-to'g'ri proportsionaldir. Va xalta ichiga o'ralgan narsalar soni uning og'irligiga to'g'ridan-to'g'ri proportsionaldir.
Teskari proportsionallik- bu funktsional bog'liqlik bo'lib, unda mustaqil qiymatning bir necha marta kamayishi yoki ortishi (bu argument deb ataladi) bog'liq qiymatning mutanosib (ya'ni, bir xil miqdordagi) o'sishi yoki kamayishiga olib keladi (u a deyiladi). funktsiyasi).
Keling, tasvirlab beraylik oddiy misol. Bozorda olma sotib olmoqchisiz. Peshtaxtadagi olma va hamyoningizdagi pul miqdori teskari proportsionaldir. Bular. qancha ko'p olma sotib olsangiz, shuncha ko'p kamroq pul sizda bir oz qolgan bo'ladi.
Funksiya va uning grafigi
Teskari proportsionallik funksiyasini quyidagicha tasvirlash mumkin y = k/x. Qaysi x≠ 0 va k≠ 0.
Ushbu funktsiya quyidagi xususiyatlarga ega:
- Uning ta'rif sohasi bundan mustasno barcha haqiqiy sonlar to'plamidir x = 0. D(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
- Diapazon barcha haqiqiy raqamlardan tashqari y= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
- Maksimal yoki minimal qiymatlarga ega emas.
- Bu g'alati va uning grafigi kelib chiqishiga nisbatan simmetrikdir.
- Davriy bo'lmagan.
- Uning grafigi koordinata o'qlarini kesib o'tmaydi.
- Nollari yo'q.
- Agar k> 0 (ya'ni argument ortadi), funktsiya uning har bir intervalida proportsional ravishda kamayadi. Agar k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
- Argument kuchaygan sari ( k> 0) salbiy qiymatlar funksiyalar (-∞; 0) oraliqda, musbatlari esa (0; +∞). Argument pasayganda ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).
Teskari proporsionallik funksiyasining grafigiga giperbola deyiladi. Quyidagi kabi ko'rsatilgan:
Teskari proportsionallik masalalari
Buni aniqroq qilish uchun keling, bir nechta vazifalarni ko'rib chiqaylik. Ular juda murakkab emas va ularni hal qilish teskari proportsionallik nima ekanligini va bu bilim kundalik hayotingizda qanday foydali bo'lishi mumkinligini tasavvur qilishga yordam beradi.
Vazifa № 1. Avtomobil 60 km/soat tezlikda harakatlanmoqda. Uning manziliga yetib borishi uchun 6 soat vaqt ketdi. Agar u ikki barobar tezlikda harakat qilsa, bir xil masofani qancha vaqt bosib o'tadi?
Vaqt, masofa va tezlik o'rtasidagi munosabatni tavsiflovchi formulani yozishdan boshlashimiz mumkin: t = S/V. Qabul qiling, bu bizga teskari proportsionallik funktsiyasini eslatadi. Va bu shuni ko'rsatadiki, avtomobil yo'lda o'tkazadigan vaqt va uning harakat tezligi teskari proportsionaldir.
Buni tekshirish uchun V 2 ni topamiz, bu shartga ko'ra 2 marta yuqori: V 2 = 60 * 2 = 120 km/soat. Keyin S = V * t = 60 * 6 = 360 km formula yordamida masofani hisoblaymiz. Endi muammoning shartlariga ko'ra bizdan talab qilinadigan t 2 vaqtini aniqlash qiyin emas: t 2 = 360/120 = 3 soat.
Ko'rib turganingizdek, sayohat vaqti va tezligi haqiqatan ham teskari proportsionaldir: dastlabki tezlikdan 2 baravar yuqori tezlikda avtomobil yo'lda 2 barobar kamroq vaqt sarflaydi.
Bu masala yechimini proporsiya shaklida ham yozish mumkin. Shunday qilib, avval ushbu diagrammani yaratamiz:
↓ 60 km/soat – 6 soat
↓120 km/soat – x soat
Oklar teskari proportsional munosabatni bildiradi. Shuningdek, ular mutanosiblikni tuzishda yozuvning o'ng tomonini aylantirish kerakligini taklif qilishadi: 60/120 = x/6. X = 60 * 6/120 = 3 soatni qayerdan olamiz.
Vazifa № 2. Ustaxonada 6 nafar ishchi ishlaydi, ular berilgan hajmdagi ishni 4 soatda bajara oladilar. Agar ishchilar soni ikki baravar kamaytirilsa, qolgan ishchilar bir xil hajmdagi ishlarni qancha vaqt ichida bajarishadi?
Masalaning shartlarini vizual diagramma shaklida yozamiz:
↓ 6 ishchi - 4 soat
↓ 3 ishchi - x soat
Buni nisbat sifatida yozamiz: 6/3 = x/4. Va biz x = 6 * 4/3 = 8 soatni olamiz, agar ishchilar 2 barobar kam bo'lsa, qolganlari barcha ishlarni bajarish uchun 2 barobar ko'p vaqt sarflaydi.
Vazifa № 3. Hovuzga olib boradigan ikkita quvur bor. Bir quvur orqali suv 2 l / s tezlikda oqadi va hovuzni 45 daqiqada to'ldiradi. Boshqa quvur orqali hovuz 75 daqiqada to'ldiriladi. Ushbu quvur orqali suv hovuzga qanday tezlikda kiradi?
Boshlash uchun, masalaning shartlariga ko'ra bizga berilgan barcha miqdorlarni bir xil o'lchov birliklariga qisqartiramiz. Buning uchun hovuzni litrda daqiqada to'ldirish tezligini ifodalaymiz: 2 l / s = 2 * 60 = 120 l / min.
Vaziyat hovuzning ikkinchi quvur orqali sekinroq to'ldirilishini nazarda tutganligi sababli, bu suv oqimi tezligi pastroq degan ma'noni anglatadi. Proportsionallik teskari. Noma’lum tezlikni x orqali ifodalaymiz va quyidagi diagramma tuzamiz:
↓ 120 l/min – 45 min
↓ x l/min – 75 min
Va keyin biz nisbatni hosil qilamiz: 120/x = 75/45, bu erdan x = 120 * 45/75 = 72 l / min.
Muammoda hovuzni to'ldirish tezligi soniyada litr bilan ifodalanadi, keling, biz olgan javobni bir xil shaklga tushiramiz: 72/60 = 1,2 l / s;
Vazifa № 4. Kichik xususiy bosmaxona tashrif qog'ozlarini chop etadi. Bosmaxona xodimi soatiga 42 ta vizitka tezligida ishlaydi va butun kun davomida - 8 soat ishlaydi. Agar u tezroq ishlagan bo'lsa va bir soat ichida 48 ta tashrif qog'ozini chop etsa, u uyiga qancha erta bora oladi?
Biz tasdiqlangan yo'ldan boramiz va muammoning shartlariga muvofiq diagramma tuzamiz, kerakli qiymatni x sifatida belgilaymiz:
↓ 42 ta tashrif qog'ozi / soat - 8 soat
↓ 48 ta tashrif qogʻozi/soat – x h
Bizda teskari proportsional munosabatlar mavjud: bosmaxona xodimi soatiga necha marta ko'proq tashrif qog'ozlarini chop etsa, xuddi shu ishni bajarish uchun shuncha marta kamroq vaqt kerak bo'ladi. Buni bilib, keling, nisbatni yarataylik:
42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 soat.
Shunday qilib, ishni 7 soatda tugatgan bosmaxona xodimi bir soat oldin uyiga qaytishi mumkin edi.
Xulosa
Bizningcha, bu teskari proportsionallik muammolari haqiqatan ham oddiy. Umid qilamizki, endi siz ham ular haqida shunday fikrdasiz. Va asosiysi, miqdorlarning teskari proportsional bog'liqligi haqidagi bilim sizga bir necha marta foydali bo'lishi mumkin.
Faqat matematika darslarida va imtihonlarda emas. Ammo shunga qaramay, siz sayohatga chiqishga, do'konga borishga, ta'til paytida ozgina qo'shimcha pul ishlashga qaror qilganingizda va hokazo.
Atrofingizdagi teskari va to'g'ridan-to'g'ri proportsional munosabatlarning qanday misollarini ko'rganingizni sharhlarda ayting. Shunday o'yin bo'lsin. Bu qanchalik hayajonli ekanligini ko'rasiz. Ushbu maqolani baham ko'rishni unutmang ijtimoiy tarmoqlar do'stlaringiz va sinfdoshlaringiz ham o'ynashlari uchun.
veb-sayt, materialni to'liq yoki qisman nusxalashda manbaga havola talab qilinadi.
g) shaxsning yoshi va poyabzalining o'lchami;
h) kub hajmi va uning chetining uzunligi;
i) kvadratning perimetri va uning tomonining uzunligi;
j) kasr va uning maxraji, agar hisoblagich o'zgarmasa;
k) kasr va uning soni, agar maxraj o'zgarmasa.
767-778 masalalarni tuzib yeching.
767. Hajmi 6 sm 3 bo'lgan po'lat sharning massasi 46,8 g ga teng, agar uning hajmi 2,5 sm 3 bo'lsa.
768. 21 kg paxta chigitidan 5,1 kg moy olindi. 7 kg paxta chigitidan qancha moy olinadi?
769. Stadion qurilishi uchun 5 buldozer 210 daqiqada maydonni tozaladi. Bu saytni tozalash uchun 7 ta buldozer qancha vaqt ketadi?
770. Yukni tashish uchun 7,5 t yuk ko'tarish qobiliyatiga ega 24 ta mashina kerak bo'lgan.
771. Urug'larning unib chiqishini aniqlash uchun no'xat ekilgan. Ekilgan 200 dona no‘xatning 170 tasi unib chiqqan (unish foizi)?
772. Yakshanba kuni shaharni ko'kalamzorlashtirish paytida ko'chaga jo'ka daraxtlari ekildi. Barcha ekilgan jo'ka daraxtlarining 95 foizi qabul qilindi. 57 ta jo'ka daraxti ekilgan bo'lsa, nechta jo'ka daraxti ekilgan?
773. Chang'i bo'limida 80 nafar o'quvchi bor. Ular orasida 32 nafar qiz ham bor. Qaysi bo'lim a'zolari qizlar va qaysilari o'g'il bolalar?
774. Kolxoz reja bo'yicha 980 gektarga makkajo'xori ekishi kerak. Lekin reja 115 foizga bajarildi. Kolxoz necha gektar makkajo'xori ekdi?
775. 8 oyda ishchi yillik rejani 96 foizga bajardi. Agar ishchi xuddi shunday unumdorlik bilan ishlasa, 12 oyda yillik rejaning necha foizini bajaradi?
776. Uch kun ichida barcha lavlagining 16,5 foizi yig‘ib olindi. Hamma lavlagining 60,5 foizini bir xil hosildorlikda yig‘ib olish uchun necha kun kerak bo‘ladi?
777. Temir rudasida temirning har 7 qismiga 3 qism aralashmalar to'g'ri keladi. 73,5 t temir bo'lgan rudada necha tonna aralashma bor?
778. Borschni tayyorlash uchun har 100 g go'sht uchun 60 g lavlagi olish kerak. 650 g go'sht uchun qancha lavlagi olish kerak?
P 779. Og‘zaki hisoblang:
780. Quyidagi kasrlarning har birini numerator 1 bo‘lgan ikkita kasr yig‘indisi sifatida ko‘rsating: 
.
781. 3, 7, 9 va 21 raqamlaridan ikkita to‘g‘ri proporsiya hosil qiling.
782. Proporsiyaning o‘rta hadlari 6 va 10. Ekstremal hadlar qanday bo‘lishi mumkin? Misollar keltiring.
783. X ning qaysi qiymatida proporsiya to‘g‘ri bo‘ladi?
784. Munosabatni toping:
a) 2 minutdan 10 soniyagacha; c) 0,1 kg dan 0,1 g gacha; e) 3 dm 3 dan 0,6 m 3 gacha.
b) 0,3 m 2 dan 0,1 dm 2 gacha; d) 4 soatdan 1 kungacha;
1) 6,0008:2,6 + 4,23 0,4;
2) 2,91 1,2 + 12,6288:3,6.
D 795. 20 kg olmadan 16 kg olma olinadi. ^^ 45 kg olmadan qancha olma olasiz?
796. Uchta rassom 5 kun ichida ishni tugatishi mumkin. Ishni tezlashtirish uchun yana ikkita rassom qo'shildi. Barcha rassomlar bir xil mahsuldorlik bilan ishlaydi, deb hisoblasak, ishni tugatish uchun qancha vaqt kerak bo'ladi?
797. 2,5 kg qo'zichoq uchun ular 4,75 rubl to'lashdi. 6,65 rublga bir xil narxda qancha qo'zichoq sotib olishingiz mumkin?
798. Qand lavlagi tarkibida 18,5% qand bor. 38,5 t qand lavlagida qancha qand bor? Javobingizni tonnaning o'ndan biriga aylantiring.
799. Kungaboqar urug‘ining yangi navida 49,5% yog‘ bor. 29,7 kg moy bo'lishi uchun bunday urug'lardan necha kilogramm olish kerak?
800. 80 kg kartoshkada 14 kg kraxmal bor. Bunday kartoshka tarkibidagi kraxmalning foizini toping.
801. Zig‘ir urug‘ida 47% yog‘ bor. 80 kg zig‘ir urug‘ida qancha yog‘ bor?
802. Guruchda 75% kraxmal, 60% arpa bor. 5 kg guruch tarkibidagi kraxmal miqdori bilan bir xil miqdorda arpa bo'lishi uchun qancha arpa olish kerak?
803. Ifodaning ma’nosini toping:
a) 203,81:(141 -136,42) + 38,4:0,7 5;
b) 96:7,5 + 288,51:(80 - 76,74).
N.Ya.Vilenkin, A.S. Chesnokov, S.I. Shvartsburd, V.I.Joxov, 6-sinf uchun matematika, darslik o'rta maktab
