O'nli kasrlarni ko'paytirish. Kasrlar

Oxirgi darsda biz o'nliklarni qo'shish va ayirish usullarini o'rgandik ("O'nli kasrlarni qo'shish va ayirish" darsiga qarang). Shu bilan birga, biz oddiy "ikki qavatli" fraktsiyalarga nisbatan hisob-kitoblar qanchalik soddalashtirilganligini baholadik.

Afsuski, bu ta'sir o'nli kasrlarni ko'paytirish va bo'lish bilan sodir bo'lmaydi. Ba'zi hollarda kasrli belgilar bu operatsiyalarni murakkablashtiradi.

Birinchidan, yangi ta'rifni kiritamiz. Biz u bilan tez-tez uchrashamiz, nafaqat bu darsda.

Raqamning muhim qismi birinchi va oxirgi nolga teng bo'lmagan raqamlar orasidagi hamma narsa, shu jumladan uchlari. Biz faqat raqamlar haqida gapiramiz, kasrli nuqta hisobga olinmaydi.

Raqamning muhim qismiga kiritilgan raqamlar muhim raqamlar deb ataladi. Ular takrorlanishi va hatto nolga teng bo'lishi mumkin.

Masalan, bir nechta o'nli kasrlarni ko'rib chiqing va tegishli muhim qismlarni yozing:

91,25 → 9125 (muhim raqamlar: 9; 1; 2; 5);
0,008241 → 8241 (muhim raqamlar: 8; 2; 4; 1);
15,0075 → 150075 (muhim raqamlar: 1; 5; 0; 0; 7; 5);
0,0304 → 304 (muhim ko'rsatkichlar: 3; 0; 4);
3000 → 3 (faqat bitta muhim raqam mavjud: 3).

E'tibor bering: raqamning muhim qismidagi nollar hech qaerga ketmaydi. Biz o'nli kasrlarni oddiy kasrlarga aylantirishni o'rganganimizda ham shunga o'xshash narsaga duch kelganmiz ("O'nlik kasrlar" darsiga qarang).

Bu nuqta juda muhim va bu erda xatolar tez-tez sodir bo'ladi, men yaqin kelajakda ushbu mavzu bo'yicha test nashr etaman. Albatta mashq qiling! Va biz muhim qism tushunchasi bilan qurollangan holda, aslida dars mavzusiga o'tamiz.

O'nlik sonlarni ko'paytirish

Ko'paytirish operatsiyasi ketma-ket uchta bosqichdan iborat:

Har bir kasr uchun muhim qismini yozing. Siz ikkita oddiy butun sonni olasiz - hech qanday maxraj va kasrsiz;
Bu raqamlarni har qanday qulay usulda ko'paytiring. To'g'ridan-to'g'ri, agar raqamlar kichik bo'lsa yoki ustunda. Biz kerakli fraktsiyaning muhim qismini olamiz;
Tegishli muhim qismni olish uchun dastlabki kasrlardagi o'nli kasr qayerga va necha raqamga siljiganligini aniqlang. Oldingi bosqichda olingan muhim qism uchun teskari siljishlarni bajaring.

Yana bir bor eslatib o'tamanki, muhim qismning yon tomonlaridagi nollar hech qachon hisobga olinmaydi. Ushbu qoidaga e'tibor bermaslik xatolarga olib keladi.

0,28 12,5;

6,3 · 1,08;

132,5 · 0,0034;

0,0108 1600,5;

5,25 · 10 000.

Biz birinchi ifoda bilan ishlaymiz: 0,28 · 12,5.

Keling, ushbu ifodadagi raqamlarning muhim qismlarini yozamiz: 28 va 125;
Ularning mahsuloti: 28 · 125 = 3500;
Birinchi omilda o'nli kasr 2 ta o'ngga (0,28 → 28), ikkinchisida esa yana 1 ta raqamga siljiydi. Hammasi bo'lib, chapga uchta raqamga siljish kerak: 3500 → 3500 = 3,5.

Endi 6.3 · 1.08 ifodani ko'rib chiqamiz.

Keling, muhim qismlarni yozamiz: 63 va 108;
Ularning mahsuloti: 63 · 108 = 6804;
Shunga qaramay, o'ngga ikki siljish: mos ravishda 2 va 1 raqam bilan. Jami - yana o'ngga 3 ta raqam, shuning uchun teskari siljish chapga 3 ta raqam bo'ladi: 6804 → 6.804. Bu safar keyingi nollar yo'q.

Biz uchinchi ifodaga erishdik: 132,5 · 0,0034.

Muhim qismlar: 1325 va 34;
Ularning mahsuloti: 1325 · 34 = 45 050;
Birinchi kasrda o'nli kasr o'ngga 1 ta raqamga, ikkinchisida esa 4 tagacha siljiydi. Jami: 5 o'ngga. Biz chapga 5 ga o'tamiz: 45,050 → .45050 = 0,4505. Nol oxirida olib tashlandi va "yalang'och" kasr nuqtasini qoldirmaslik uchun old tomonga qo'shildi.

Quyidagi ifoda: 0,0108 · 1600,5.

Biz muhim qismlarni yozamiz: 108 va 16 005;
Biz ularni ko'paytiramiz: 108 · 16,005 = 1,728,540;
O'nli kasrdan keyin raqamlarni hisoblaymiz: birinchi raqamda 4, ikkinchisida 1. Jami yana 5. Bizda: 1,728,540 → 17,28540 = 17,2854. Oxirida "qo'shimcha" nol olib tashlandi.

Nihoyat, oxirgi ifoda: 5,25 10 000.

Muhim qismlar: 525 va 1;
Biz ularni ko'paytiramiz: 525 · 1 = 525;
Birinchi kasr o'ngga 2 ta raqamga, ikkinchi kasr esa 4 ta raqamga chapga siljiydi (10 000 → 1,0000 = 1). Jami 4 - 2 = chapga 2 ta raqam. Biz o'ngga 2 ta raqamga teskari siljishni amalga oshiramiz: 525, → 52,500 (biz nol qo'shishimiz kerak edi).

Oxirgi misolga e'tibor bering: kasr nuqtasi turli yo'nalishlarda harakat qilganligi sababli, umumiy siljish farq orqali topiladi. Bu juda muhim nuqta! Mana yana bir misol:

1,5 va 12,500 raqamlarini ko'rib chiqing: 1,5 → 15 (1 ga o'ngga siljiting); 12500 → 125 (chapga 2 siljish). Biz 1 raqamni o'ngga, so'ngra 2 ta chapga "qadam" qilamiz. Natijada, biz chapga 2 - 1 = 1 raqamga qadam qo'ydik.

O'nlik bo'linish

Bo'linish, ehtimol, eng qiyin operatsiya. Albatta, bu erda siz ko'paytirish bilan o'xshashlik bilan harakat qilishingiz mumkin: muhim qismlarni ajrating, so'ngra kasr nuqtasini "ko'chiring". Ammo bu holda potentsial tejashni inkor etadigan ko'plab nozikliklar mavjud.

Shuning uchun, keling, bir oz uzunroq, ammo ancha ishonchli bo'lgan universal algoritmni ko'rib chiqaylik:

Barcha o'nli kasrlarni oddiy kasrlarga aylantiring. Bir oz mashq qilsangiz, bu qadam sizga bir necha soniya vaqt oladi;
Olingan kasrlarni klassik usulda ajrating. Boshqacha qilib aytganda, birinchi kasrni "teskari" sekundiga ko'paytiring ("Raqamli kasrlarni ko'paytirish va bo'lish" darsiga qarang);
Iloji bo'lsa, natijani yana o'nlik kasr sifatida taqdim eting. Bu qadam ham tezdir, chunki maxraj ko'pincha allaqachon o'nning kuchiga ega.

Vazifa. Ifodaning ma'nosini toping:

3,51: 3,9;

1,47: 2,1;

6,4: 25,6:

0,0425: 2,5;

0,25: 0,002.

Keling, birinchi ifodani ko'rib chiqaylik. Birinchidan, kasrlarni o'nli kasrlarga aylantiramiz:

Ikkinchi ifoda bilan ham xuddi shunday qilaylik. Birinchi kasrning numeratori yana faktorlarga ajratiladi:

Uchinchi va to'rtinchi misollarda muhim bir nuqta bor: o'nli kasr belgilaridan xalos bo'lgach, kamaytiriladigan kasrlar paydo bo'ladi. Biroq, biz bu qisqartirishni amalga oshirmaymiz.

Oxirgi misol qiziqarli, chunki ikkinchi kasrning soni tub sonni o'z ichiga oladi. Bu erda faktorizatsiya qilinadigan hech narsa yo'q, shuning uchun biz buni oldindan ko'rib chiqamiz:

Ba'zan bo'linish natijasida butun son (men oxirgi misol haqida gapiryapman). Bunday holda, uchinchi bosqich umuman bajarilmaydi.

Bundan tashqari, bo'lish paytida ko'pincha o'nli kasrlarga aylantirib bo'lmaydigan "xunuk" kasrlar paydo bo'ladi. Bu bo'linishni ko'paytirishdan ajratib turadi, bu erda natijalar har doim o'nli shaklda ifodalanadi. Albatta, bu holda oxirgi qadam yana bajarilmaydi.

3 va 4-misollarga ham e'tibor bering. Ularda biz o'nli kasrlardan olingan oddiy kasrlarni ataylab kamaytirmaymiz. Aks holda, bu teskari vazifani murakkablashtiradi - yakuniy javobni yana kasr shaklida ifodalaydi.

Esingizda bo'lsin: kasrning asosiy xususiyati (matematikaning boshqa har qanday qoidasi kabi) o'zi uni hamma joyda va har doim, har qanday imkoniyatda qo'llash kerakligini anglatmaydi.

Ushbu qo'llanmada biz ushbu operatsiyalarning har birini alohida ko'rib chiqamiz.

Dars mazmuni

O'nlik kasrlarni qo'shish

Ma'lumki, o'nli kasr butun son va kasr qismga ega. O'nli kasrlarni qo'shishda butun va kasr qismlar alohida qo'shiladi.

Masalan, 3.2 va 5.3 oʻnlik kasrlarni qoʻshamiz. Ustunga o'nlik kasrlarni qo'shish qulayroqdir.

Keling, avval ushbu ikki kasrni ustunga yozamiz, bunda butun sonlar butun sonlar ostida, kasrlar esa kasrlar ostida bo'lishi kerak. Maktabda bu talab deyiladi "vergul ostida vergul".

Vergul ostidagi kasrlarni ustunga yozamiz:

Biz kasr qismlarini qo'shishni boshlaymiz: 2 + 3 = 5. Javobimizning kasr qismiga beshlikni yozamiz:

Endi biz butun qismlarni qo'shamiz: 3 + 5 = 8. Javobimizning butun qismiga sakkizni yozamiz:

Endi biz butun qismni kasr qismidan vergul bilan ajratamiz. Buning uchun biz yana qoidaga amal qilamiz "vergul ostida vergul":

Biz 8,5 javob oldik. Demak, 3,2 + 5,3 ifodasi 8,5 ga teng

Aslida, hamma narsa birinchi qarashda ko'rinadigan darajada oddiy emas. Bu erda ham tuzoqlar bor, biz hozir gaplashamiz.

O'nli kasrlardagi o'rinlar

O'nlik kasrlar, oddiy sonlar kabi, o'z raqamlariga ega. Bular o'ndan birliklar, yuzliklar o'rinlari, mingliklar joylari. Bunday holda, raqamlar kasrdan keyin boshlanadi.

O'nlik kasrdan keyingi birinchi raqam o'ninchi o'rin uchun, o'nlik nuqtadan keyingi ikkinchi raqam yuzinchi o'rin uchun va o'nlik nuqtadan keyingi uchinchi raqam minglik uchun javobgardir.

Kasrlar ba'zi foydali ma'lumotlarni o'z ichiga oladi. Xususan, ular o'nlik kasrda nechta o'ndan, yuzdan va mingdan bir qismi borligini aytadilar.

Masalan, 0,345 o'nlik kasrni ko'rib chiqing

Uchtasi joylashgan joy deyiladi o'ninchi o'rin

To'rtta joylashgan joy deyiladi yuzinchi o'rin

Beshta joylashgan joy deyiladi minginchi o'rin

Keling, ushbu rasmni ko'rib chiqaylik. O'ninchi o'rinda uchta borligini ko'ramiz. Bu bizga 0,345 o'nlik kasrda o'ndan uch borligini bildiradi.

Agar kasrlarni qo'shsak, biz 0,345 asl o'nlik kasrni olamiz

Ko'rinib turibdiki, dastlab biz javob oldik, lekin biz uni o'nli kasrga aylantirdik va 0,345 ni oldik.

O'nli kasrlarni qo'shishda oddiy sonlarni qo'shishdagi kabi printsip va qoidalarga amal qilinadi. O'nli kasrlarning qo'shilishi raqamlarda sodir bo'ladi: o'ndan o'ndan birga, yuzdan yuzdan birga, mingdan mingdan bir qismga qo'shiladi.

Shuning uchun, o'nli kasrlarni qo'shganda, siz qoidaga amal qilishingiz kerak "vergul ostida vergul". Vergul ostidagi vergul o'ndan o'ndan, yuzdan yuzdan, mingdan mingga qo'shilish tartibini ta'minlaydi.

1-misol. 1,5 + 3,4 ifoda qiymatini toping

Avvalo, 5 + 4 = 9 kasr qismlarini qo'shamiz. Javobimizning kasr qismida to'qqiztani yozamiz:

Endi biz 1 + 3 = 4 butun son qismlarini qo'shamiz. Javobimizning butun qismiga to'rttasini yozamiz:

Endi biz butun qismni kasr qismidan vergul bilan ajratamiz. Buning uchun biz yana "vergul ostidagi vergul" qoidasiga amal qilamiz:

Biz 4.9 javob oldik. Demak, 1,5 + 3,4 ifoda qiymati 4,9 ga teng

2-misol. Ifodaning qiymatini toping: 3,51 + 1,22

Ushbu iborani "vergul ostidagi vergul" qoidasiga rioya qilgan holda ustunga yozamiz.

Avvalo kasr qismini, ya'ni 1+2=3 ning yuzdan bir qismini qo'shamiz. Javobimizning yuzdan bir qismiga uchlik yozamiz:

Endi 5+2=7 o'ndan birlarini qo'shing. Javobimizning o'ninchi qismida ettitani yozamiz:

Endi butun qismlarni qo'shamiz 3+1=4. Javobimizning to'liq qismiga to'rttasini yozamiz:

Biz "vergul ostidagi vergul" qoidasiga rioya qilgan holda butun qismni kasr qismidan vergul bilan ajratamiz:

Biz olgan javob 4,73 edi. Bu 3.51 + 1.22 ifoda qiymati 4.73 ga teng degan ma'noni anglatadi

3,51 + 1,22 = 4,73

Oddiy sonlarda bo'lgani kabi, o'nli kasrlarni qo'shganda, . Bunday holda, javobda bitta raqam yoziladi, qolganlari esa keyingi raqamga o'tkaziladi.

3-misol. 2,65 + 3,27 ifoda qiymatini toping

Ushbu ifodani ustunga yozamiz:

5+7=12 yuzlik qismlarini qo‘shing. 12 raqami javobimizning yuzdan bir qismiga to'g'ri kelmaydi. Shuning uchun, yuzinchi qismda biz 2 raqamini yozamiz va birlikni keyingi raqamga o'tkazamiz:

Endi biz 6 + 2 = 8 ning o'ndan bir qismini qo'shamiz va oldingi operatsiyadan olingan birlikni qo'shamiz, biz 9 ni olamiz. Javobimizning o'ninchi qismiga 9 raqamini yozamiz:

Endi butun qismlarni qo'shamiz 2+3=5. Javobimizning butun qismiga 5 raqamini yozamiz:

Biz olgan javob 5,92 edi. Bu 2.65 + 3.27 ifoda qiymati 5.92 ga teng degan ma'noni anglatadi

2,65 + 3,27 = 5,92

4-misol. 9,5 + 2,8 ifoda qiymatini toping

Ushbu ifodani ustunga yozamiz

Biz 5 + 8 = 13 kasr qismlarini qo'shamiz. 13 raqami javobimizning kasr qismiga to'g'ri kelmaydi, shuning uchun biz birinchi navbatda 3 raqamini yozamiz va birlikni keyingi raqamga o'tkazamiz, to'g'rirog'i, uni boshqa raqamga o'tkazamiz. butun qism:

Endi biz 9+2=11 butun son qismlarini va oldingi amalda olingan birlikni qo'shamiz, biz 12 ni olamiz. Javobimizning butun qismiga 12 raqamini yozamiz:

Butun qismni kasr qismidan vergul bilan ajrating:

Biz javob oldik 12.3. Demak, 9,5 + 2,8 ifoda qiymati 12,3 ga teng

9,5 + 2,8 = 12,3

O'nli kasrlarni qo'shganda ikkala kasrdagi kasrdan keyingi raqamlar soni bir xil bo'lishi kerak. Agar raqamlar etarli bo'lmasa, kasr qismidagi bu joylar nol bilan to'ldiriladi.

5-misol. Ifodaning qiymatini toping: 12,725 + 1,7

Ushbu ifodani ustunga yozishdan oldin ikkala kasrdagi kasrdan keyingi raqamlar sonini bir xil qilib ko'rsatamiz. 12.725 o'nli kasrda kasrdan keyin uchta raqam bor, lekin 1.7 kasrda faqat bitta. Bu shuni anglatadiki, 1.7 kasrda siz oxirida ikkita nol qo'shishingiz kerak. Keyin biz 1.700 kasrni olamiz. Endi siz ushbu ifodani ustunga yozib, hisoblashni boshlashingiz mumkin:

5+0=5 minglik qismlarini qo‘shing. Javobimizning mingdan bir qismiga 5 raqamini yozamiz:

2+0=2 yuzlik qismlarini qo‘shing. Javobimizning yuzinchi qismiga 2 raqamini yozamiz:

7+7=14 oʻndan birlarini qoʻshing. 14 raqami javobimizning o'ndan biriga to'g'ri kelmaydi. Shuning uchun biz avval 4 raqamini yozamiz va birlikni keyingi raqamga o'tkazamiz:

Endi biz 12+1=13 butun son qismlarini va oldingi amalda olingan birlikni qo'shamiz, biz 14 ni olamiz. Javobimizning butun qismiga 14 raqamini yozamiz:

Butun qismni kasr qismidan vergul bilan ajrating:

Biz 14425 ta javob oldik. Bu 12.725+1.700 ifoda qiymati 14.425 ni bildiradi.

12,725+ 1,700 = 14,425

O'nlik sonlarni ayirish

O'nli kasrlarni ayirishda siz qo'shish bilan bir xil qoidalarga amal qilishingiz kerak: "o'nli kasr ostidagi vergul" va "o'nli kasrdan keyin teng raqamlar soni".

1-misol. 2,5 − 2,2 ifoda qiymatini toping

Biz ushbu iborani "vergul ostidagi vergul" qoidasiga rioya qilgan holda ustunga yozamiz:

5−2=3 kasr qismini hisoblaymiz. Javobimizning o'ninchi qismiga 3 raqamini yozamiz:

2−2=0 butun son qismini hisoblaymiz. Javobimizning butun qismiga nol yozamiz:

Butun qismni kasr qismidan vergul bilan ajrating:

Biz 0,3 javob oldik. Bu 2,5 − 2,2 ifoda qiymati 0,3 ga teng ekanligini bildiradi

2,5 − 2,2 = 0,3

2-misol. 7.353 - 3.1 ifoda qiymatini toping

Bu iborada o'nlik kasrlar soni boshqacha. 7.353 kasrda kasrdan keyin uchta raqam bor, lekin 3.1 kasrda faqat bitta. Bu shuni anglatadiki, 3.1 kasrda ikkala kasrdagi raqamlar sonini bir xil qilish uchun oxirida ikkita nol qo'shishingiz kerak. Keyin biz 3100 ni olamiz.

Endi siz ushbu ifodani ustunga yozib, hisoblashingiz mumkin:

Biz 4253 ta javob oldik. Bu 7.353 − 3.1 ifoda qiymati 4.253 ga teng degan maʼnoni anglatadi.

7,353 — 3,1 = 4,253

Oddiy raqamlarda bo'lgani kabi, ba'zida ayirish imkonsiz bo'lib qolsa, qo'shni raqamdan birini qarzga olishingiz kerak bo'ladi.

3-misol. 3.46 − 2.39 ifoda qiymatini toping

6−9 ning yuzdan bir qismini ayirish. 6 raqamidan 9 raqamini ayirib bo'lmaydi. Shuning uchun qo'shni raqamdan birini qarzga olishingiz kerak. Qo'shni raqamdan bittasini olish orqali 6 raqami 16 raqamiga aylanadi. Endi siz 16−9=7 ning yuzdan bir qismini hisoblashingiz mumkin. Javobimizning yuzdan bir qismiga yetti yozamiz:

Endi biz o'ndan bir qismini ayiramiz. Biz o'ninchi o'rinda bir birlikni olganimiz sababli, u erda joylashgan raqam bir birlikka kamaydi. Boshqacha qilib aytganda, o'ninchi o'rinda endi 4 raqami emas, balki 3 raqami mavjud. 3−3=0 ning o'ndan bir qismini hisoblaymiz. Javobimizning o'ninchi qismiga nol yozamiz:

Endi butun qismlarni 3−2=1 ayirib olamiz. Javobimizning butun qismiga bittasini yozamiz:

Butun qismni kasr qismidan vergul bilan ajrating:

Biz 1.07 javob oldik. Bu 3.46−2.39 ifoda qiymati 1.07 ga teng degan maʼnoni anglatadi

3,46−2,39=1,07

4-misol. 3−1.2 ifoda qiymatini toping

Bu misol butun sondan kasrni ayiradi. Ushbu ifodani ustunga shunday yozamizki, 1.23 o'nli kasrning butun qismi 3 raqami ostida bo'ladi.

Endi kasrdan keyingi raqamlar sonini bir xil qilaylik. Buning uchun 3 raqamidan keyin vergul qo'yamiz va bitta nol qo'shamiz:

Endi biz o'ndan birlarni ayiramiz: 0−2. 2 raqamini noldan ayirib bo'lmaydi, shuning uchun siz qo'shni raqamdan birini olishingiz kerak. Qo'shni raqamdan bittasini olib, 0 10 raqamiga aylanadi. Endi siz 10−2=8 ning o'ndan bir qismini hisoblashingiz mumkin. Javobimizning o'ninchi qismiga sakkizni yozamiz:

Endi biz butun qismlarni olib tashlaymiz. Ilgari 3 raqami butunlikda joylashgan edi, lekin biz undan bitta birlik oldik. Natijada u 2 raqamiga aylandi. Demak, 2 dan 1 ni ayiramiz. 2−1=1. Javobimizning butun qismiga bittasini yozamiz:

Butun qismni kasr qismidan vergul bilan ajrating:

Biz olgan javob 1,8 edi. Bu 3−1,2 ifodaning qiymati 1,8 ni bildiradi

O'nlik sonlarni ko'paytirish

O'nli kasrlarni ko'paytirish oddiy va hatto qiziqarli. O'nli kasrlarni ko'paytirish uchun siz ularni oddiy sonlar kabi ko'paytirasiz, vergullarni e'tiborsiz qoldirasiz.

Javobni olganingizdan so'ng, butun qismni kasr qismidan vergul bilan ajratishingiz kerak. Buning uchun ikkala kasrdagi kasrdan keyingi raqamlar sonini sanash kerak, so'ngra javobda o'ngdan bir xil sonlarni sanash va vergul qo'yish kerak.

1-misol. 2,5 × 1,5 ifoda qiymatini toping

Keling, vergullarga e'tibor bermasdan, bu o'nli kasrlarni oddiy sonlar kabi ko'paytiraylik. Vergullarga e'tibor bermaslik uchun siz vaqtincha ular umuman yo'qligini tasavvur qilishingiz mumkin:

Biz 375 ni oldik. Bu raqamda siz butun sonni kasr qismidan vergul bilan ajratishingiz kerak. Buni amalga oshirish uchun 2,5 va 1,5 kasrlardagi kasrdan keyingi raqamlar sonini hisoblashingiz kerak. Birinchi kasrda kasrdan keyin bitta raqam, ikkinchi kasrda ham bitta raqam bor. Jami ikkita raqam.

Biz 375 raqamiga qaytamiz va o'ngdan chapga o'tishni boshlaymiz. Biz ikkita raqamni o'ngga sanashimiz va vergul qo'yishimiz kerak:

Biz 3,75 javob oldik. Demak, 2,5 × 1,5 ifodaning qiymati 3,75 ga teng

2,5 × 1,5 = 3,75

2-misol. 12,85 × 2,7 ifoda qiymatini toping

Keling, vergullarga e'tibor bermasdan, bu o'nli kasrlarni ko'paytiramiz:

Bizda 34695. Bu raqamda siz butun sonni kasr qismidan vergul bilan ajratishingiz kerak. Buni amalga oshirish uchun 12.85 va 2.7 kasrlardagi kasrdan keyingi raqamlar sonini hisoblashingiz kerak. 12,85 kasrda kasrdan keyin ikkita raqam, 2,7 kasrda esa bitta raqam bor - jami uchta raqam.

Biz 34695 raqamiga qaytamiz va o'ngdan chapga o'tishni boshlaymiz. Biz o'ngdan uchta raqamni sanashimiz va vergul qo'yishimiz kerak:

Biz 34 695 ta javob oldik. Demak, 12,85 × 2,7 ifodaning qiymati 34,695 ga teng

12,85 × 2,7 = 34,695

O'nli kasrni oddiy songa ko'paytirish

Ba'zan o'nlik kasrni oddiy songa ko'paytirish kerak bo'lganda vaziyatlar paydo bo'ladi.

O'nli kasr va sonni ko'paytirish uchun siz o'nli kasrdagi vergulga e'tibor bermasdan ularni ko'paytirasiz. Javobni olganingizdan so'ng, butun qismni kasr qismidan vergul bilan ajratishingiz kerak. Buning uchun o'nli kasrdagi kasrdan keyingi raqamlar sonini sanash kerak, keyin javobda o'ngdan bir xil sonlarni sanash va vergul qo'yish kerak.

Masalan, 2,54 ni 2 ga ko'paytiring

Vergulni e'tiborsiz qoldirib, 2,54 o'nli kasrni odatdagi 2 raqamiga ko'paytiring:

Biz 508 raqamini oldik. Bu raqamda siz butun sonni kasr qismidan vergul bilan ajratishingiz kerak. Buni amalga oshirish uchun 2.54 kasrdagi kasrdan keyingi raqamlar sonini hisoblashingiz kerak. 2.54 kasr kasrdan keyin ikkita raqamga ega.

Biz 508 raqamiga qaytamiz va o'ngdan chapga o'tishni boshlaymiz. Biz ikkita raqamni o'ngga sanashimiz va vergul qo'yishimiz kerak:

Biz 5.08 javobini oldik. Demak, 2,54 × 2 ifodaning qiymati 5,08 ga teng

2,54 × 2 = 5,08

O'nli kasrlarni 10, 100, 1000 ga ko'paytirish

O'nli kasrlarni 10, 100 yoki 1000 ga ko'paytirish o'nli kasrlarni oddiy sonlarga ko'paytirish bilan bir xil tarzda amalga oshiriladi. O'nli kasrdagi vergulga e'tibor bermasdan, ko'paytirishni bajarishingiz kerak, keyin javobda butun qismni kasr qismidan ajratib, o'ngdan o'nli kasrdan keyin qanday raqamlar bo'lsa, bir xil sonlarni sanashingiz kerak.

Masalan, 2,88 ni 10 ga ko'paytiring

O'nli kasrdagi vergulni e'tiborsiz qoldirib, 2,88 o'nli kasrni 10 ga ko'paytiring:

Biz 2880 ni oldik. Bu raqamda siz butun sonni kasr qismidan vergul bilan ajratishingiz kerak. Buni amalga oshirish uchun 2.88 kasrdagi kasrdan keyingi raqamlar sonini hisoblashingiz kerak. Biz 2.88 kasrda kasrdan keyin ikkita raqam borligini ko'ramiz.

Biz 2880 raqamiga qaytamiz va o'ngdan chapga o'tishni boshlaymiz. Biz ikkita raqamni o'ngga sanashimiz va vergul qo'yishimiz kerak:

Biz 28.80 javob oldik. Keling, oxirgi nolni tashlab, 28,8 ni olamiz. Bu 2,88×10 ifodaning qiymati 28,8 ni bildiradi

2,88 × 10 = 28,8

O'nli kasrlarni 10, 100, 1000 ga ko'paytirishning ikkinchi usuli mavjud. Bu usul ancha sodda va qulayroq. U o'nli kasrni koeffitsientda qancha nol bo'lsa, shuncha raqamga o'ngga siljitishdan iborat.

Masalan, oldingi misol 2,88×10 ni shu tarzda yechamiz. Hech qanday hisob-kitoblarni bermasdan, biz darhol 10 omilga qaraymiz. Biz unda nechta nol borligi bilan qiziqamiz. Biz unda bitta nol borligini ko'ramiz. Endi 2.88 kasrda biz kasrni o'ng bir raqamga o'tkazamiz, biz 28,8 ni olamiz.

2,88 × 10 = 28,8

Keling, 2,88 ni 100 ga ko'paytirishga harakat qilaylik. Biz darhol 100 omiliga qaraymiz. Biz unda nechta nol borligi bilan qiziqamiz. Biz unda ikkita nol borligini ko'ramiz. Endi 2.88 kasrda biz kasrni o'ng ikki raqamga o'tkazamiz, biz 288 ni olamiz

2,88 × 100 = 288

Keling, 2,88 ni 1000 ga ko'paytirishga harakat qilaylik. Biz darhol 1000 omiliga qaraymiz. Biz unda nechta nol borligi bilan qiziqamiz. Biz unda uchta nol borligini ko'ramiz. Endi 2.88 kasrda o'nli kasrni o'ngga uchta raqamga o'tkazamiz. U erda uchinchi raqam yo'q, shuning uchun biz yana nol qo'shamiz. Natijada biz 2880 ni olamiz.

2,88 × 1000 = 2880

O'nli kasrlarni 0,1 ga ko'paytirish 0,01 va 0,001

O'nli kasrlarni 0,1, 0,01 va 0,001 ga ko'paytirish o'nli kasrni o'nli kasrga ko'paytirish bilan bir xil ishlaydi. Oddiy sonlar kabi kasrlarni ko'paytirish va javobga vergul qo'yish kerak, har ikkala kasrda o'nli kasrdan keyin qancha raqam bo'lsa, o'ng tomonda shuncha raqamni sanash kerak.

Masalan, 3,25 ni 0,1 ga ko'paytiring

Biz bu kasrlarni oddiy sonlar kabi vergullarga e'tibor bermasdan ko'paytiramiz:

Biz 325 ni oldik. Bu raqamda siz butun sonni kasr qismidan vergul bilan ajratishingiz kerak. Buning uchun 3.25 va 0.1 kasrlardagi kasrdan keyingi raqamlar sonini hisoblashingiz kerak. 3.25 kasrda kasrdan keyin ikkita raqam, 0.1 kasrda esa bitta raqam mavjud. Jami uchta raqam.

Biz 325 raqamiga qaytamiz va o'ngdan chapga harakat qilishni boshlaymiz. Biz o'ngdan uchta raqamni sanashimiz va vergul qo'yishimiz kerak. Uchta raqamni sanab chiqqach, raqamlar tugab qolganini topamiz. Bunday holda, siz bitta nol qo'shishingiz va vergul qo'shishingiz kerak:

Biz 0,325 javob oldik. Bu 3,25 × 0,1 ifodaning qiymati 0,325 ekanligini anglatadi

3,25 × 0,1 = 0,325

O'nli kasrlarni 0,1, 0,01 va 0,001 ga ko'paytirishning ikkinchi usuli mavjud. Bu usul ancha sodda va qulayroq. U o'nli kasrni koeffitsientda qancha nol bo'lsa, shuncha raqamga chapga siljitishdan iborat.

Masalan, oldingi misol 3,25 × 0,1 ni shu tarzda hal qilaylik. Hech qanday hisob-kitob qilmasdan, biz darhol 0,1 ko'paytmasiga qaraymiz. Biz unda nechta nol borligi bilan qiziqamiz. Biz unda bitta nol borligini ko'ramiz. Endi 3.25 kasrda biz kasrni bir raqamga chapga siljitamiz. Vergulni bir raqamni chapga siljitish orqali biz uchtadan oldin boshqa raqam yo'qligini ko'ramiz. Bunday holda, bitta nol qo'shing va vergul qo'ying. Natijada 0,325

3,25 × 0,1 = 0,325

Keling, 3,25 ni 0,01 ga ko'paytirishga harakat qilaylik. Biz darhol 0,01 multiplikatoriga qaraymiz. Biz unda nechta nol borligi bilan qiziqamiz. Biz unda ikkita nol borligini ko'ramiz. Endi 3.25 kasrda biz kasrni chap ikki raqamga o'tkazamiz, biz 0,0325 ni olamiz

3,25 × 0,01 = 0,0325

Keling, 3,25 ni 0,001 ga ko'paytirishga harakat qilaylik. Biz darhol 0,001 multiplikatoriga qaraymiz. Biz unda nechta nol borligi bilan qiziqamiz. Biz unda uchta nol borligini ko'ramiz. Endi 3.25 kasrda biz kasrni uchta raqamga chapga siljitamiz, biz 0,00325 ni olamiz.

3,25 × 0,001 = 0,00325

O'nli kasrlarni 0,1, 0,001 va 0,001 ga ko'paytirishni 10, 100, 1000 ga ko'paytirish bilan adashtirmang. Ko'pchilik uchun odatiy xato.

10, 100, 1000 ga ko'paytirilganda, o'nli kasr multiplikatorda nollar bo'lganidek, bir xil raqamlar soniga o'ngga o'tkaziladi.

Va 0,1, 0,01 va 0,001 ga ko'paytirilganda, o'nli kasr multiplikatorda nollar bo'lganidek, bir xil sonli raqamlar bilan chapga o'tkaziladi.

Agar dastlab eslab qolish qiyin bo'lsa, siz birinchi usuldan foydalanishingiz mumkin, unda ko'paytirish oddiy raqamlar bilan bo'lgani kabi amalga oshiriladi. Javobda siz o'ngdagi bir xil sonli raqamlarni hisoblab, butun qismni kasr qismidan ajratishingiz kerak bo'ladi, chunki ikkala kasrda o'nli kasrdan keyin raqamlar mavjud.

Kichikroq sonni kattaroq raqamga bo'lish. Yuqori daraja.

Oldingi darslardan birida kichikroq sonni kattaroq songa bo‘lishda kasr olinadi, uning hisobi dividend, maxraji esa bo‘linuvchi bo‘lishini aytgan edik.

Masalan, bitta olmani ikkiga bo'lish uchun hisoblagichga 1 (bitta olma), maxrajga esa 2 (ikki do'st) yozish kerak. Natijada kasrni olamiz. Bu shuni anglatadiki, har bir do'st olma oladi. Boshqacha aytganda, yarim olma. Kasr muammoning javobidir "Bir olmani qanday qilib ikkiga bo'lish kerak"

Ma'lum bo'lishicha, agar siz 1 ni 2 ga bo'lsangiz, bu masalani yanada hal qilishingiz mumkin. Axir, har qanday kasrdagi kasr chizig'i bo'linishni anglatadi va shuning uchun kasrda bu bo'linishga ruxsat beriladi. Lekin qanday qilib? Biz dividend har doim bo'luvchidan ko'p bo'lishiga o'rganib qolganmiz. Ammo bu erda, aksincha, dividend bo'luvchidan kamroq.

Kasr ezish, bo'lish, bo'lish degan ma'noni anglatishini eslasak, hamma narsa aniq bo'ladi. Bu shuni anglatadiki, jihozni faqat ikki qismga emas, balki xohlagancha ko'p qismlarga bo'lish mumkin.

Kichikroq raqamni kattaroq raqamga bo'lganingizda, butun qism 0 (nol) bo'lgan o'nli kasrni olasiz. Kasr qismi har qanday bo'lishi mumkin.

Shunday qilib, keling, 1 ni 2 ga ajratamiz. Keling, bu misolni burchak bilan hal qilaylik:

Bir kishini butunlay ikkiga bo'lish mumkin emas. Agar savol bersangiz "Birida nechta ikkita bor" , u holda javob 0 bo'ladi. Shuning uchun bo'lakka biz 0 yozamiz va vergul qo'yamiz:

Endi, odatdagidek, qoldiqni olish uchun biz qismni bo'linuvchiga ko'paytiramiz:

Jihozni ikki qismga bo'lish vaqti keldi. Buni amalga oshirish uchun olingan nolning o'ng tomoniga yana bir nol qo'shing:

Biz 10 ni oldik. 10 ni 2 ga bo‘lamiz, 5 ni olamiz. Beshlikni javobimizning kasr qismiga yozamiz:

Endi biz hisoblashni yakunlash uchun oxirgi qoldiqni chiqaramiz. 10 ni olish uchun 5 ni 2 ga ko'paytiring

Biz 0,5 javob oldik. Shunday qilib, kasr 0,5 ga teng

Olmaning yarmini 0,5 o'nlik kasr yordamida ham yozish mumkin. Agar biz ushbu ikki yarmini (0,5 va 0,5) qo'shsak, biz yana bir butun olmani olamiz:

Agar siz 1 sm qanday qilib ikki qismga bo'linganini tasavvur qilsangiz, bu nuqta ham tushunilishi mumkin. Agar siz 1 santimetrni 2 qismga ajratsangiz, siz 0,5 sm olasiz

2-misol. 4:5 ifoda qiymatini toping

To'rtda nechta besh bor? Arzimaydi. Biz qismga 0 yozamiz va vergul qo'yamiz:

Biz 0 ni 5 ga ko'paytiramiz, biz 0 ni olamiz. To'rtning ostiga nol yozamiz. Dividenddan darhol ushbu nolni olib tashlang:

Endi to'rttasini 5 qismga bo'lishni (bo'lishni) boshlaymiz. Buning uchun 4 ning o'ng tomoniga nol qo'shing va 40 ni 5 ga bo'ling, biz 8 ni olamiz.

Biz misolni 8 ni 5 ga ko'paytirib, 40 ni hosil qilamiz:

Biz 0,8 javob oldik. Bu 4:5 ifoda qiymati 0,8 ni bildiradi

3-misol. 5:125 ifoda qiymatini toping

125 dan beshtada nechta raqam bor? Arzimaydi. Biz qismga 0 yozamiz va vergul qo'yamiz:

Biz 0 ni 5 ga ko'paytiramiz, biz 0 ni olamiz. Beshning ostiga 0 yozamiz. Beshdan darhol 0 ni ayiring

Keling, beshlikni 125 qismga bo'lishni (bo'lishni) boshlaymiz. Buning uchun biz ushbu beshlikning o'ng tomoniga nol yozamiz:

50 ni 125 ga bo'ling. 50 sonida 125 nechta son bor? Arzimaydi. Shunday qilib, qismga biz yana 0 yozamiz

0 ni 125 ga ko'paytirsak, biz 0 ni olamiz. Bu nolni 50 ning ostiga yozing. Darhol 50 dan 0 ni ayiring.

Endi 50 raqamini 125 qismga bo'ling. Buning uchun biz 50 ning o'ng tomoniga yana nol yozamiz:

500 ni 125 ga bo'ling. 500 sonida 125 nechta son bor. 500 sonida to'rtta raqam bor.

Biz misolni 4 ni 125 ga ko'paytirib, 500 ni olamiz

Biz 0,04 javob oldik. Bu 5: 125 ifoda qiymati 0,04 ni bildiradi

Sonlarni qoldiqsiz bo'lish

Shunday qilib, keling, qismdagi birlikdan keyin vergul qo'ying va shu bilan butun qismlarning bo'linishi tugaganligini ko'rsatamiz va biz kasr qismiga o'tamiz:

Qolgan 4 ga nol qo'shamiz

Endi 40 ni 5 ga bo'lamiz, biz 8 ni olamiz. Biz sakkizni ko'rsatkichga yozamiz:

40−40=0. Bizda 0 qoldi. Bu bo'linish to'liq yakunlanganligini anglatadi. 9 ni 5 ga bo'lish o'nlik kasr 1,8 ni beradi:

9: 5 = 1,8

2-misol. 84 ni 5 ga qoldiqsiz bo'ling

Birinchidan, 84 ni odatdagidek 5 ga, qolgan qismiga bo'ling:

Yakka tartibda 16 tasini oldik, yana 4 tasi qoldi. Keling, bu qoldiqni 5 ga bo'lamiz. Bo'limga vergul qo'ying va qolgan 4 ga 0 qo'shing.

Endi biz 40 ni 5 ga bo'lamiz, biz 8 ni olamiz. Sakkizni kasrdan keyin bo'lakka yozamiz:

va qolgan qoldiq borligini tekshirish orqali misolni to'ldiring:

O'nli kasrni oddiy songa bo'lish

O'nli kasr, biz bilganimizdek, butun son va kasr qismdan iborat. O'nli kasrni oddiy songa bo'lishda birinchi navbatda:

o'nlik kasrning butun qismini shu raqamga bo'ling;
butun qism bo'lingandan so'ng, siz darhol qismga vergul qo'yishingiz va oddiy bo'linishda bo'lgani kabi hisoblashni davom ettirishingiz kerak.

Masalan, 4,8 ni 2 ga bo'ling

Keling, bu misolni burchakka yozamiz:

Endi butun qismni 2 ga bo'laylik. To'rtni ikkiga bo'lish ikkiga teng. Biz qismga ikkita yozamiz va darhol vergul qo'yamiz:

Endi biz qismni bo'linuvchiga ko'paytiramiz va bo'linishdan qoldiq bor yoki yo'qligini bilib olamiz:

4−4=0. Qolganlari nolga teng. Biz hali nolni yozmaymiz, chunki yechim tugallanmagan. Keyinchalik, biz oddiy bo'linishdagi kabi hisoblashni davom ettiramiz. 8 ni tushiring va uni 2 ga bo'ling

8: 2 = 4. Biz to'rtlikni qismga yozamiz va darhol bo'linuvchiga ko'paytiramiz:

Biz 2.4 javob oldik. 4,8:2 ifodaning qiymati 2,4 ga teng

2-misol. 8.43:3 ifoda qiymatini toping

8 ni 3 ga bo'lamiz, biz 2 ni olamiz. 2 dan keyin darhol vergul qo'ying:

Endi biz qismni 2 × 3 = 6 bo'luvchiga ko'paytiramiz. Sakkizta ostida oltitani yozamiz va qolgan qismini topamiz:

24 ni 3 ga bo'lamiz, biz 8 ga ega bo'lamiz. Ko'rsatkichga sakkiztasini yozamiz. Bo'linishning qolgan qismini topish uchun uni darhol bo'linuvchiga ko'paytiring:

24−24=0. Qolganlari nolga teng. Biz hali nolni yozmayapmiz. Biz dividenddan oxirgi uchtasini olib tashlaymiz va 3 ga bo'lamiz, biz 1ni olamiz. Ushbu misolni bajarish uchun darhol 1 ni 3 ga ko'paytiramiz:

Biz olgan javob 2,81 edi. Bu 8.43 ifoda qiymatini bildiradi: 3 2.81

O'nli kasrni o'nli kasrga bo'lish

O'nli kasrni o'nli kasrga bo'lish uchun dividend va bo'luvchidagi o'nli kasrni bo'luvchidagi o'nli kasrdan keyingi raqamlar soniga o'ngga siljitish kerak va keyin odatdagi songa bo'lish kerak.

Masalan, 5,95 ni 1,7 ga bo'ling

Keling, bu ifodani burchak bilan yozamiz

Endi dividendda va bo'luvchida vergulni bo'luvchidagi o'nli kasrdan keyin bo'lgan raqamlar soni bilan o'ngga o'tkazamiz. Bo'luvchi kasrdan keyin bitta raqamga ega. Bu shuni anglatadiki, dividend va bo'luvchida biz kasrni o'ngga bir raqamga ko'chirishimiz kerak. Biz o'tkazamiz:

O'nli kasrni o'ngga bir raqamga o'tkazgandan so'ng, 5,95 o'nli kasr 59,5 kasrga aylandi. Va o'nlik kasr 1,7, kasrni bir raqam bilan o'ngga siljitgandan so'ng, odatiy raqamga aylandi 17. Va biz allaqachon o'nli kasrni oddiy songa qanday bo'lishni bilamiz. Keyingi hisoblash qiyin emas:

Bo'linishni osonlashtirish uchun vergul o'ngga ko'chiriladi. Bunga ruxsat beriladi, chunki dividend va bo'luvchini bir xil songa ko'paytirish yoki bo'lishda ko'rsatkich o'zgarmaydi. Bu nima degani?

Bu bo'linishning qiziqarli xususiyatlaridan biridir. U quotient xossasi deb ataladi. 9 ifodani ko'rib chiqaylik: 3 = 3. Agar bu ifodada dividend va bo'luvchi bir xil songa ko'paytirilsa yoki bo'linsa, u holda 3 bo'lak o'zgarmaydi.

Keling, dividend va bo'luvchini 2 ga ko'paytiramiz va undan nima chiqishini ko'raylik:

(9 × 2) : (3 × 2) = 18: 6 = 3

Misoldan ko'rinib turibdiki, ko'rsatkich o'zgarmadi.

Dividend va bo'luvchida vergulni ko'chirsak ham xuddi shunday bo'ladi. Oldingi misolda, biz 5,91 ni 1,7 ga bo'lganimizda, dividend va bo'luvchidagi vergulni bir raqamga o'ngga surdik. Kasrni o'zgartirgandan so'ng, 5,91 kasr 59,1 kasrga va 1,7 kasr odatdagi 17 raqamiga aylantirildi.

Aslida, bu jarayon ichida 10 ga ko'paytirish bor edi. Bu shunday ko'rinishda edi:

5,91 × 10 = 59,1

Shuning uchun, bo'luvchidagi kasrdan keyingi raqamlar soni dividend va bo'luvchi nimaga ko'paytirilishini aniqlaydi. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, bo'luvchidagi kasrdan keyingi raqamlar soni dividenddagi nechta raqamni va bo'luvchida o'nli kasrning o'ngga ko'chirilishini aniqlaydi.

O'nli kasrni 10, 100, 1000 ga bo'lish

O'nli kasrni 10, 100 yoki 1000 ga bo'lish xuddi shu tarzda amalga oshiriladi. Masalan, 2.1 ni 10 ga bo'ling. Bu misolni burchak yordamida yeching:

Ammo ikkinchi yo'l bor. Bu engilroq. Bu usulning mohiyati shundan iboratki, dividenddagi vergul bo'luvchida qancha nol bo'lsa, shuncha raqam chapga siljiydi.

Oldingi misolni shu tarzda hal qilaylik. 2.1: 10. Biz bo'linuvchiga qaraymiz. Biz unda nechta nol borligi bilan qiziqamiz. Biz bitta nol borligini ko'ramiz. Bu shuni anglatadiki, 2.1 dividendda siz kasr nuqtasini chapga bir raqamga ko'chirishingiz kerak. Biz vergulni chapga bitta raqamga siljitamiz va boshqa raqam qolmaganligini ko'ramiz. Bunday holda, raqamdan oldin yana bir nol qo'shing. Natijada biz 0,21 ni olamiz

Keling, 2.1 ni 100 ga bo'lishga harakat qilaylik. 100da ikkita nol bor. Bu shuni anglatadiki, dividend 2.1 da vergulni chapga ikki raqamga siljitishimiz kerak:

2,1: 100 = 0,021

Keling, 2.1 ni 1000 ga bo'lishga harakat qilaylik. 1000da uchta nol bor. Bu shuni anglatadiki, dividend 2.1 da vergulni chapga uchta raqamga siljitish kerak:

2,1: 1000 = 0,0021

O'nli kasrni 0,1, 0,01 va 0,001 ga bo'lish

O'nli kasrni 0,1, 0,01 va 0,001 ga bo'lish xuddi shu tarzda amalga oshiriladi. Dividendda va bo'luvchida o'nli kasrni bo'luvchidagi kasrdan keyin qancha raqam bo'lsa, shuncha raqamga o'ngga ko'chirishingiz kerak.

Masalan, 6,3 ni 0,1 ga ajratamiz. Avvalo, dividend va bo'luvchidagi vergullarni bo'luvchidagi o'nli kasrdan keyingi raqamlar soni bilan o'ngga o'tkazamiz. Bo'luvchi kasrdan keyin bitta raqamga ega. Bu dividend va bo'luvchidagi vergullarni bitta raqamga o'ngga siljitishimizni anglatadi.

O'nli kasrni o'ngga bir raqamga o'tkazgandan so'ng, 6,3 o'nli kasr odatiy 63 raqamiga aylanadi va kasrni o'ngga bir raqamga o'tkazgandan keyin 0,1 kasr bitta raqamga aylanadi. Va 63 ni 1 ga bo'lish juda oddiy:

Bu 6.3: 0.1 ifodaning qiymati 63 ni anglatadi

Ammo ikkinchi yo'l bor. Bu engilroq. Ushbu usulning mohiyati shundan iboratki, dividenddagi vergul bo'luvchida qancha nol bo'lsa, shuncha raqamga o'ngga siljiydi.

Oldingi misolni shu tarzda hal qilaylik. 6,3: 0,1. Keling, bo'linuvchini ko'rib chiqaylik. Biz unda nechta nol borligi bilan qiziqamiz. Biz bitta nol borligini ko'ramiz. Bu shuni anglatadiki, 6.3 dividendda siz kasr nuqtasini o'ngga bir raqamga ko'chirishingiz kerak. Vergulni o'ngga bitta raqamga siljiting va 63 ni oling

Keling, 6,3 ni 0,01 ga bo'lishga harakat qilaylik. 0,01 ning bo'luvchisi ikkita nolga ega. Bu shuni anglatadiki, dividend 6.3 da biz o'nli kasrni ikki raqamga o'ngga siljitishimiz kerak. Ammo dividendda kasrdan keyin faqat bitta raqam mavjud. Bunday holda, siz oxirida yana bir nol qo'shishingiz kerak. Natijada biz 630 ni olamiz

Keling, 6,3 ni 0,001 ga bo'lishga harakat qilaylik. 0,001 ning bo'luvchisi uchta nolga ega. Bu shuni anglatadiki, dividend 6.3 da biz kasr nuqtasini o'ngga uchta raqamga siljitishimiz kerak:

6,3: 0,001 = 6300

Mustaqil hal qilish uchun vazifalar

Dars sizga yoqdimi?
Bizning yangi VKontakte guruhimizga qo'shiling va yangi darslar haqida bildirishnomalarni olishni boshlang

O'nli kasrlarni qanday ko'paytirishni tushunish uchun aniq misollarni ko'rib chiqaylik.

O'nli kasrlarni ko'paytirish qoidasi

1) Vergulga e'tibor bermasdan ko'paytiring.

2) Natijada, ikkala omilda o'nli kasrdan keyin qancha raqam bo'lsa, o'nli kasrdan keyin shuncha sonni ajratamiz.

Misollar.

O'nli kasrlarning ko'paytmasini toping:

O'nli kasrlarni ko'paytirish uchun vergullarga e'tibor bermasdan ko'paytiramiz. Ya'ni, biz 6,8 va 3,4 ni emas, balki 68 va 34 ni ko'paytiramiz. Natijada, biz ikkala omilda o'nli kasrdan keyin qancha raqam bo'lsa, o'nli kasrdan keyin ham shuncha sonni ajratamiz. Birinchi omilda kasrdan keyin bitta raqam, ikkinchisida ham bitta raqam mavjud. Hammasi bo'lib, biz o'nli kasrdan keyin ikkita raqamni ajratamiz, shuning uchun biz yakuniy javobni oldik: 6,8∙3,4=23,12.

O'nli kasrni hisobga olmagan holda ko'paytiramiz. Ya'ni, aslida, 36,85 ni 1,14 ga ko'paytirish o'rniga, biz 3685 ni 14 ga ko'paytiramiz. Biz 51590 ni olamiz. Endi bu natijada biz ikkala omilda qancha raqam bor bo'lsa, vergul bilan ajratishimiz kerak. Birinchi raqamda kasrdan keyin ikkita raqam bor, ikkinchisida bitta. Hammasi bo'lib, biz uchta raqamni vergul bilan ajratamiz. Yozuv oxirida o'nli kasrdan keyin nol bo'lgani uchun uni javobda yozmaymiz: 36,85∙1,4=51,59.

Bu o'nli kasrlarni ko'paytirish uchun vergulga e'tibor bermasdan raqamlarni ko'paytiramiz. Ya'ni, biz 2315 va 7 natural sonlarini ko'paytiramiz. Biz 16205 ni olamiz. Bu raqamda o'nli kasrdan keyin to'rtta raqamni ajratish kerak - har ikkala omilda birga (har birida ikkitadan) qancha bo'lsa. Yakuniy javob: 23,15∙0,07=1,6205.

O'nli kasrni natural songa ko'paytirish xuddi shu tarzda amalga oshiriladi. Biz o'nli kasrga e'tibor bermasdan raqamlarni ko'paytiramiz, ya'ni 75 ni 16 ga ko'paytiramiz. Olingan natijada kasrdan keyin ikkala omilda birga bo'lgan belgilar soni bir xil bo'lishi kerak - bitta. Shunday qilib, 75∙1,6=120,0=120.

Biz o'nli kasrlarni ko'paytirishni natural sonlarni ko'paytirish orqali boshlaymiz, chunki biz vergullarga e'tibor bermaymiz. Shundan so'ng, kasrdan keyin ikkala omilda qancha bo'lsa, shuncha sonni ajratamiz. Birinchi raqamda ikkita kasr, ikkinchisida ikkitadan iborat. Hammasi bo'lib, natija kasrdan keyin to'rtta raqam bo'lishi kerak: 4,72∙5,04=23,7888.

Kasrlarni ko'paytirish har doim o'quvchilar uchun qiyinchilik tug'diradi. Kasrlarni ko'paytirish va bo'lish ayniqsa qiyin. Shuning uchun biz o'nli kasrlarni natural sonlarga ko'paytirish mavzusini alohida muhokama qilamiz.

Natural son nima?

Natural sonlar dunyoda ixtiro qilingan birinchi raqamli belgilar edi. Bu raqamlar tabiiy ravishda paydo bo'lgan, chunki ular kundalik hisoblash uchun zarurdir. Natural sonlar 1 dan cheksizgacha bo'lgan barcha qiymatlarni o'z ichiga oladi. Natural sonlar kasr yoki irratsional sonlarni o'z ichiga olmaydi.

5 raqami tabiiy, ammo 5,1 emas.

O'nli kasr nima?

O'nlik kasrlar boshqa barcha kichik kasrlarga qaraganda kechroq paydo bo'ldi. Dunyoda texnologiyaning tobora murakkablashishi bilan oddiy kasrlar yordamida juda og'ir hisoblar muammosi paydo bo'ldi. Shuning uchun ular o'nli kasrlarni qo'llashni boshladilar.

O'nli kasrning maxraji bor, lekin u yozuvda aks etmaydi. Siz kasrning maxrajida qaysi raqam borligini sondagi o'nli kasrlar soniga qarab aniqlashingiz mumkin. O'nli kasrning maxraji har doim 10 ning darajasini o'z ichiga oladi. Bu daraja o'nli kasrlar soniga teng.

Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik:

3.758 - bu kasr butun va kasr qismiga ega. O'nli kasrni tire bilan aralash kasrga aylantiring. Kasrdagi kasrdan keyin 3 ta raqam bor, ya'ni maxraj 3 ning darajasiga qadar 10 raqamini o'z ichiga oladi. Bu 1000.

$3,758=3 (758\over(1000))$ - aylantirilgan o'nli kasr shunday ko'rinishga ega bo'ladi.

Belgilash qulayligi tufayli butun dunyoda o'nli kasrlar hisob-kitoblar uchun ishlatiladi.

O'nli kasrni natural songa ko'paytirish

Keling, o'nli kasrni natural songa ko'paytirishni batafsil ko'rib chiqaylik. Keling, algoritmni yozamiz:

Birinchidan, kasr natural songa aylantiriladi. Buning uchun vergulni olib tashlash kifoya. O'nli kasr sonini eslab qoling.
Raqamlar ko'paytiriladi.
Natijada, biz boshida eslab qolgan belgilar soni o'ngdan chapga sanaladi. Ajratuvchi vergul qo'yiladi. Olingan son o'nlik kasrni natural songa ko'paytirish natijasidir.

Keling, misol yordamida operatsiyani ko'rib chiqaylik:

Kasrdagi kasrni ko'chiramiz: 3.58 358 raqamiga aylantiriladi. O'nli kasrni 2 ta joyga ko'chirdik. Olingan raqam dastlabki raqamga teng emasligini tushunish muhimdir. Ya'ni, 3,58 soni 358 raqamiga teng bo'lmaydi.
O'zgartirilgan sonni ko'paytirish

Keyingi qadam raqamni kasrga aylantirishdir. Esingizda bo'lsin, boshida biz vergulni 2 ta joyga ko'chirdik. Endi siz yana bir xil 2 joyga sanashingiz va yana vergul qo'yishingiz kerak

2506 raqami 25.06 ga aylantirildi

Biz nimani o'rgandik?

Biz o'nli kasr va natural son nima ekanligini esladik. Biz o'nli kasrni natural songa ko'paytirish algoritmini tasvirlab berdik. O'nli kasrlarni natural songa ko'paytirishga misol keltirdilar.

Mavzu bo'yicha test

Maqola reytingi

O'rtacha reyting: 4.3. Qabul qilingan umumiy baholar: 34.

§ 1 O'nli kasrlarni ko'paytirish qoidasini qo'llash

Ushbu darsda siz o'nli kasrlarni ko'paytirish qoidasi va o'nli kasrni 0,1, 0,01 va boshqalar kabi o'rin qiymati birligiga ko'paytirish qoidalari bilan tanishasiz va qanday qo'llashni o'rganasiz. Bundan tashqari, o'nli kasrlarni o'z ichiga olgan ifodalarning qiymatlarini topishda ko'paytirishning xususiyatlarini ko'rib chiqamiz.

Keling, muammoni hal qilaylik:

Avtomobil tezligi 59,8 km/soat.

Avtomobil 1,3 soatda qancha masofani bosib o'tadi?

Ma'lumki, yo'lni topish uchun tezlikni vaqtga ko'paytirish kerak, ya'ni. 59,8 marta 1,3.

Raqamlarni ustunga yozamiz va vergullarga e'tibor bermay, ularni ko'paytirishni boshlaymiz: 8 3 ga ko'paytirilsa, 24 bo'ladi, 4 ni boshimizga 2 yozamiz, 3 ni 9 ga ko'paytirsak 27, ortiqcha 2, biz 29 ni olamiz, biz boshimizga 9, 2 yozing. Endi biz 3 ni 5 ga ko'paytiramiz, u 15 ga aylanadi va 2 ni qo'shamiz, biz 17 ni olamiz.

Ikkinchi qatorga o'tamiz: 1 ni 8 ga ko'paytirsak, 8 ni olamiz, 1 ni 9 ga ko'paytirsak, 9 ni olamiz, 1 ni 5 ga ko'paytirsak, 5 ni olamiz, bu ikki qatorni qo'shib, 4, 9+8 ni 17 ga teng, 7 boshimizga 1 yozamiz, 7 +9 16 va yana 1, 17 bo'ladi, 7 boshimizga 1 yozamiz, 1+5 va yana 1 ta bo'lsa 7 bo'ladi.

Keling, ikkala o'nli kasrda nechta o'nli kasr borligini bilib olaylik! Birinchi kasrda kasrdan keyin bitta raqam, ikkinchi kasrda esa kasrdan keyin bitta raqam bor, faqat ikkita raqam. Bu shuni anglatadiki, natijaning o'ng tomonida siz ikkita raqamni hisoblashingiz va vergul qo'yishingiz kerak, ya'ni. 77,74 bo'ladi. Shunday qilib, 59,8 ni 1,3 ga ko'paytirganda, biz 77,74 ni olamiz. Demak, muammoning javobi 77,74 km.

Shunday qilib, ikkita kasrni ko'paytirish uchun sizga kerak bo'ladi:

Birinchidan: vergullarga e'tibor bermasdan ko'paytirishni bajaring

Ikkinchidan: hosil bo'lgan mahsulotda ikkala omilda o'nli kasrdan keyin qancha raqam bo'lsa, o'ng tomonda vergul bilan ajrating.

Olingan mahsulotda vergul bilan ajratilishi kerak bo'lgan raqamlardan kamroq raqam bo'lsa, oldinga bir yoki bir nechta nol qo'shilishi kerak.

Misol uchun: mahsulotimizda 0,145 0,03 ga ko'paytirilsa, biz 435 ni olamiz va vergul o'ngga 5 ta raqamni ajratishi kerak, shuning uchun biz 4 raqamining oldiga yana 2 ta nol qo'shamiz, vergul qo'yamiz va yana nol qo'shamiz. Biz 0,00435 javobini olamiz.

§ 2 O'nli kasrlarni ko'paytirishning xossalari

O'nli kasrlarni ko'paytirishda natural sonlarga tegishli bo'lgan ko'paytirishning barcha xususiyatlari saqlanib qoladi. Keling, ba'zi vazifalarni bajaraylik.

№1 vazifa:

Ko‘paytirishning qo‘shishga nisbatan taqsimot xususiyatini qo‘llash orqali ushbu misolni yechamiz.

Qavslar ichida 3,4 plyus 0,6 qoldirib, 5,7 (umumiy omil) ni chiqaramiz. Ushbu summaning qiymati 4 ga teng, endi 4 ni 5,7 ga ko'paytirish kerak, biz 22,8 ni olamiz.

Vazifa № 2:

Ko'paytirishning almashinish xususiyatini qo'llaymiz.

Avval 2,5 ni 4 ga ko'paytiramiz, 10 ta butun sonni olamiz, endi esa 10 ni 32,9 ga ko'paytirishimiz kerak va biz 329 ni olamiz.

Bundan tashqari, o'nli kasrlarni ko'paytirishda siz quyidagilarni ko'rishingiz mumkin:

Raqamni noto'g'ri o'nlik kasrga ko'paytirishda, ya'ni. 1 dan katta yoki teng bo'lsa, u ortadi yoki o'zgarmaydi, masalan:

Raqamni to'g'ri o'nli kasrga ko'paytirishda, ya'ni. 1 dan kichik bo'lsa, u kamayadi, masalan:

Keling, misolni hal qilaylik:

23,45 0,1 ga ko'paytiriladi.

Biz 2,345 ni 1 ga ko'paytirishimiz va o'ng tomonga uchta vergulni ajratishimiz kerak, biz 2,345 ni olamiz.

Endi yana bir misolni yechamiz: 23.45 ni 10 ga boʻlsak, kasrni bir joydan chapga siljitishimiz kerak, chunki raqam birligida 1 nol bor, biz 2.345 ni olamiz.

Ushbu ikkita misoldan xulosa qilishimiz mumkinki, o'nli kasrni 0,1, 0,01, 0,001 va hokazolarga ko'paytirish raqamni 10, 100, 1000 va hokazolarga bo'lish demakdir, ya'ni. O'nli kasrda o'nli kasrni koeffitsientdagi 1 dan oldin qancha nol bo'lsa, shuncha o'ringa chapga siljitish kerak.

Olingan qoidadan foydalanib, biz mahsulotlarning qiymatlarini topamiz:

13,45 marta 0,01

1 raqamining oldida 2 ta nol bor, shuning uchun o'nli nuqtani chapga 2 ta joyga siljiting, biz 0,1345 ni olamiz.

0,02 marta 0,001

1 raqamining oldida 3 ta nol bor, ya'ni vergulni uch o'ringa chapga siljitamiz, biz 0,00002 ni olamiz.

Shunday qilib, ushbu darsda siz o'nli kasrlarni qanday ko'paytirishni o'rgandingiz. Buni amalga oshirish uchun siz vergullarga e'tibor bermasdan, ko'paytirishni bajarishingiz kerak va natijada olingan mahsulotda ikkala omilda o'nli nuqtadan keyin qancha raqam bo'lsa, o'ng tomonda vergul bilan ajrating. Bundan tashqari, biz o'nli kasrni 0,1, 0,01 va boshqalarga ko'paytirish qoidasi bilan tanishdik, shuningdek, o'nli kasrlarni ko'paytirish xususiyatlarini ko'rib chiqdik.

Foydalanilgan adabiyotlar roʻyxati:

Matematika 5-sinf. Vilenkin N.Ya., Joxov V.I. va boshqalar 31-nashr, o'chirilgan. - M: 2013 yil.
Matematika 5-sinf uchun didaktik materiallar. Muallif - Popov M.A. - 2013 yil
Biz xatosiz hisoblaymiz. 5-6-sinflarda matematika fanidan o'z-o'zini tekshirish bilan ishlash. Muallif - Minaeva S.S. - 2014 yil
Matematika 5-sinf uchun didaktik materiallar. Mualliflar: Dorofeev G.V., Kuznetsova L.V. - 2010 yil
Matematika fanidan testlar va mustaqil ish 5-sinf. Mualliflar - Popov M.A. - 2012 yil
Matematika. 5-sinf: tarbiyaviy. umumiy ta'lim talabalari uchun. muassasalar / I. I. Zubareva, A. G. Mordkovich. - 9-nashr, o'chirilgan. - M.: Mnemosyne, 2009 yil