Mavzu bo'yicha matematikadan 6-sinf uchun Vilenkin, Joxov, Chesnokov, Shvartsburd muammolar kitobidan masalalar yechish:
§ 4. Munosabatlar va nisbatlar:
22. To'g'ridan-to'g'ri va teskari proportsional bog'liqliklar
1 3,2 kg tovar uchun ular 115,2 rubl to'lashdi. Ushbu mahsulotning 1,5 kg uchun qancha to'lash kerak?
YECHIMA
2 Ikkita to'rtburchakning maydoni bir xil. Birinchi to'rtburchakning uzunligi 3,6 m, ikkinchisining uzunligi 4,8 m, kengligini toping.
YECHIMA
782 Miqdorlar orasidagi bog‘lanish to‘g‘ridan-to‘g‘ri, teskari yoki proportsional emasligini aniqlang: avtomobilning doimiy tezlikda bosib o‘tgan masofasi va uning harakatlanish vaqti; bir narxda sotib olingan tovarning qiymati va uning miqdori; kvadratning maydoni va uning tomoni uzunligi; po'lat barning massasi va uning hajmi; bir xil mehnat unumdorligi bilan ba'zi ishlarni bajaruvchi ishchilar soni va bajarilish vaqti; mahsulot tannarxi va uning ma'lum miqdorda pul evaziga sotib olingan miqdori; odamning yoshi va poyabzalining o'lchami; kubning hajmi va uning chetining uzunligi; kvadratning perimetri va uning tomonining uzunligi; kasr va uning maxraji, agar hisoblagich o'zgarmasa; kasr va uning soni, agar maxraj o'zgarmasa.
YECHIMA
783 Hajmi 6 sm3 bo'lgan po'lat sharning massasi 46,8 g ga teng, agar uning hajmi 2,5 sm3 bo'lsa, bir xil po'latdan yasalgan sharning massasi qancha bo'ladi?
YECHIMA
784 21 kg paxta chigitidan 5,1 kg moy olindi. 7 kg paxta chigitidan qancha moy olinadi?
YECHIMA
785 Stadion qurilishi uchun 5 buldozer 210 daqiqada maydonni tozaladi. Bu saytni tozalash uchun 7 ta buldozer qancha vaqt ketadi?
YECHIMA
786 Yukni tashish uchun 7,5 t yuk ko'tarish qobiliyatiga ega 24 ta avtomashina kerak edi.
YECHIMA
787 Urug'larning unib chiqishini aniqlash uchun no'xat ekilgan. Ekilgan 200 dona no‘xatning 170 tasi unib chiqqan (unib chiqqan)?
YECHIMA
788 Yakshanba kuni shaharni ko'kalamzorlashtirish paytida ko'chaga jo'ka daraxtlari ekilgan. Barcha ekilgan jo'ka daraxtlarining 95 foizi qabul qilindi. 57 ta jo‘ka daraxti ekilgan bo‘lsa, ularning nechtasi ekilgan?
YECHIMA
789 Chang'i bo'limida 80 nafar talaba tahsil oladi. Ular orasida 32 nafar qiz ham bor. Seksiya ishtirokchilarining necha foizini qizlar va o‘g‘il bolalar tashkil etadi?
YECHIMA
790 Rejaga ko'ra, zavod bir oyda 980 tonna po'lat eritishi kerak edi. Lekin reja 115 foizga bajarildi. Zavod necha tonna po'lat ishlab chiqargan?
YECHIMA
791 8 oyda ishchi yillik rejani 96 foizga bajardi. Agar ishchi xuddi shunday unumdorlik bilan ishlasa, 12 oyda yillik rejaning necha foizini bajaradi?
YECHIMA
792 Uch kun ichida barcha lavlagining 16,5 foizi yig‘ib olindi. Agar siz bir xil hosildorlikda ishlasangiz, lavlagining 60,5 foizini yig'ib olish uchun necha kun kerak bo'ladi?
YECHIMA
793 Temir rudasida temirning har 7 qismiga 3 qism aralashmalar to'g'ri keladi. 73,5 t temir bo'lgan rudada necha tonna aralashma bor?
YECHIMA
794 Borschni tayyorlash uchun har 100 g go'sht uchun 60 g lavlagi olish kerak. 650 g go'sht uchun qancha lavlagi olish kerak?
YECHIMA
796 Quyidagi kasrlarning har birini numerator 1 bilan ikki kasr yig‘indisi sifatida ifodalang.
YECHIMA
797 3, 7, 9 va 21 raqamlaridan ikkita to'g'ri nisbat hosil qiling.
YECHIMA
798 Proporsiyaning o‘rta hadlari 6 va 10. Ekstremal hadlar qanday bo‘lishi mumkin? Misollar keltiring.
YECHIMA
799 X ning qaysi qiymatida nisbat to'g'ri bo'ladi.
YECHIMA
800 2 min 10 soniya nisbatini toping; 0,3 m2 dan 0,1 dm2 gacha; 0,1 kg dan 0,1 g gacha; 4 soatdan 1 kungacha; 3 dm3 dan 0,6 m3 gacha
YECHIMA
801 Proportsiya to'g'ri bo'lishi uchun c raqami koordinata nurida qayerda joylashgan bo'lishi kerak.
YECHIMA
802 Stolni bir varaq bilan yoping. Birinchi qatorni bir necha soniya oching va keyin uni yoping, ushbu qatorning uchta raqamini takrorlashga yoki yozishga harakat qiling. Agar siz barcha raqamlarni to'g'ri takrorlagan bo'lsangiz, jadvalning ikkinchi qatoriga o'ting. Agar biron-bir satrda xatolik mavjud bo'lsa, o'zingiz bir xil sonli ikki xonali raqamlarning bir nechta to'plamini yozing va yodlashni mashq qiling. Agar siz kamida beshta ikki xonali raqamni xatosiz takrorlay olsangiz, yaxshi xotirangiz bor.
YECHIMA
804 Quyidagi raqamlardan to'g'ri nisbatni shakllantirish mumkinmi?
YECHIMA
805 Mahsulotlarning tengligidan 3 · 24 = 8 · 9, uchta to'g'ri nisbatni hosil qiling.
YECHIMA
806 AB segmentining uzunligi 8 dm, CD segmentining uzunligi 2 sm AB va CD uzunliklarining nisbatini toping. CD uzunligi AB ning qaysi qismi?
YECHIMA
807 Sanatoriyga sayohat 460 rublni tashkil qiladi. Kasaba uyushmasi sayohat narxining 70 foizini to'laydi. Dam oluvchi sayohat uchun qancha to'laydi?
YECHIMA
808 Ifodaning ma’nosini toping.
YECHIMA
809 1) Og'irligi 40 kg bo'lgan quyma qismini qayta ishlashda 3,2 kg isrof qilingan. Quyma qismining massasi necha foizni tashkil qiladi? 2) 1750 kg donni saralaganda 105 kg isrofga ketgan. Donning necha foizi qolgan?
Bugun biz qanday miqdorlar teskari proportsional deb ataladi, teskari proportsionallik grafigi qanday ko'rinishi va bularning barchasi siz uchun nafaqat matematika darslarida, balki maktabdan tashqarida ham qanday foydali bo'lishi mumkinligini ko'rib chiqamiz.
Bunday turli xil nisbatlar
Proportsionallik bir-biriga o'zaro bog'liq bo'lgan ikkita miqdorni ayting.
Bog'liqlik to'g'ridan-to'g'ri va teskari bo'lishi mumkin. Binobarin, miqdorlar o'rtasidagi munosabatlar to'g'ridan-to'g'ri va teskari proportsionallik bilan tavsiflanadi.
To'g'ridan-to'g'ri proportsionallik- bu ikki miqdor o'rtasidagi shunday munosabat bo'lib, ulardan birining ko'payishi yoki kamayishi ikkinchisining ko'payishi yoki kamayishiga olib keladi. Bular. ularning munosabati o'zgarmaydi.
Misol uchun, imtihonlarni o'qish uchun qancha kuch sarflasangiz, baholaringiz shunchalik yuqori bo'ladi. Yoki piyoda o'zingiz bilan qancha ko'p narsalarni olib ketsangiz, ryukzangiz shunchalik og'irroq bo'ladi. Bular. Imtihonlarga tayyorgarlik ko'rish uchun sarflangan kuch miqdori olingan baholarga to'g'ridan-to'g'ri proportsionaldir. Va xalta ichiga o'ralgan narsalar soni uning og'irligiga to'g'ridan-to'g'ri proportsionaldir.
Teskari proportsionallik- bu funktsional bog'liqlik bo'lib, unda mustaqil qiymatning bir necha marta kamayishi yoki ortishi (bu argument deb ataladi) bog'liq qiymatning mutanosib (ya'ni, bir xil miqdordagi) o'sishi yoki kamayishiga olib keladi (u a deyiladi). funktsiyasi).
Keling, oddiy misol bilan tushuntiraylik. Bozorda olma sotib olmoqchisiz. Peshtaxtadagi olma va hamyoningizdagi pul miqdori teskari proportsionaldir. Bular. qancha ko'p olma sotib olsangiz, shuncha ko'p kamroq pul sizda bir oz qolgan bo'ladi.
Funksiya va uning grafigi
Teskari proportsionallik funksiyasini quyidagicha tasvirlash mumkin y = k/x. Qaysi x≠ 0 va k≠ 0.
Ushbu funktsiya quyidagi xususiyatlarga ega:
- Uning ta'rif sohasi bundan mustasno barcha haqiqiy sonlar to'plamidir x = 0. D(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
- Diapazon barcha haqiqiy raqamlardan tashqari y= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
- Maksimal yoki minimal qiymatlarga ega emas.
- Bu g'alati va grafigi kelib chiqishiga nisbatan simmetrikdir.
- Davriy bo'lmagan.
- Uning grafigi koordinata o'qlarini kesib o'tmaydi.
- Nollari yo'q.
- Agar k> 0 (ya'ni argument ortadi), funktsiya uning har bir intervalida proportsional ravishda kamayadi. Agar k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
- Argument kuchaygan sari ( k> 0) salbiy qiymatlar funksiyalar (-∞; 0) oraliqda, musbatlari esa (0; +∞). Argument pasayganda ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).
Teskari proporsionallik funksiyasining grafigiga giperbola deyiladi. Quyidagi kabi ko'rsatilgan:
Teskari proportsionallik masalalari
Buni aniqroq qilish uchun keling, bir nechta vazifalarni ko'rib chiqaylik. Ular juda murakkab emas va ularni hal qilish teskari proportsionallik nima ekanligini va bu bilim kundalik hayotingizda qanday foydali bo'lishi mumkinligini tasavvur qilishga yordam beradi.
Vazifa № 1. Avtomobil 60 km/soat tezlikda harakatlanmoqda. Uning manziliga yetib borishi uchun 6 soat vaqt ketdi. Agar u ikki barobar tezlikda harakat qilsa, bir xil masofani qancha vaqt bosib o'tadi?
Vaqt, masofa va tezlik o'rtasidagi munosabatni tavsiflovchi formulani yozishdan boshlashimiz mumkin: t = S/V. Qabul qiling, bu bizga teskari proportsionallik funktsiyasini eslatadi. Va bu shuni ko'rsatadiki, avtomobil yo'lda o'tkazadigan vaqt va uning harakat tezligi teskari proportsionaldir.
Buni tekshirish uchun V 2 ni topamiz, bu shartga ko'ra 2 marta yuqori: V 2 = 60 * 2 = 120 km/soat. Keyin S = V * t = 60 * 6 = 360 km formula yordamida masofani hisoblaymiz. Endi muammoning shartlariga ko'ra bizdan talab qilinadigan t 2 vaqtini aniqlash qiyin emas: t 2 = 360/120 = 3 soat.
Ko'rib turganingizdek, sayohat vaqti va tezligi haqiqatan ham teskari proportsionaldir: dastlabki tezlikdan 2 baravar yuqori tezlikda avtomobil yo'lda 2 barobar kamroq vaqt sarflaydi.
Bu masala yechimini proporsiya shaklida ham yozish mumkin. Shunday qilib, avval ushbu diagrammani yaratamiz:
↓ 60 km/soat – 6 soat
↓120 km/soat – x soat
Oklar teskari proportsional munosabatni bildiradi. Shuningdek, ular mutanosiblikni tuzishda yozuvning o'ng tomonini aylantirish kerakligini taklif qilishadi: 60/120 = x/6. X = 60 * 6/120 = 3 soatni qayerdan olamiz.
Vazifa № 2. Ustaxonada 6 nafar ishchi ishlaydi, ular berilgan hajmdagi ishni 4 soatda bajara oladilar. Agar ishchilar soni ikki baravar kamaytirilsa, qolgan ishchilar bir xil hajmdagi ishlarni qancha vaqt ichida bajarishadi?
Masalaning shartlarini vizual diagramma shaklida yozamiz:
↓ 6 ishchi - 4 soat
↓ 3 ishchi - x soat
Buni nisbat sifatida yozamiz: 6/3 = x/4. Va biz x = 6 * 4/3 = 8 soatni olamiz, agar ishchilar 2 barobar kam bo'lsa, qolganlari barcha ishlarni bajarish uchun 2 barobar ko'p vaqt sarflaydi.
Vazifa № 3. Hovuzga olib boradigan ikkita quvur bor. Bir quvur orqali suv 2 l / s tezlikda oqadi va hovuzni 45 daqiqada to'ldiradi. Boshqa quvur orqali hovuz 75 daqiqada to'ldiriladi. Ushbu quvur orqali suv hovuzga qanday tezlikda kiradi?
Boshlash uchun, masalaning shartlariga ko'ra bizga berilgan barcha miqdorlarni bir xil o'lchov birliklariga qisqartiraylik. Buning uchun hovuzni litrda daqiqada to'ldirish tezligini ifodalaymiz: 2 l / s = 2 * 60 = 120 l / min.
Hovuz ikkinchi quvur orqali sekinroq to'ldirilishi sharti bilan kelib chiqqanligi sababli, bu suv oqimining tezligi pastroq ekanligini anglatadi. Proportsionallik teskari. Noma’lum tezlikni x orqali ifodalaymiz va quyidagi diagramma tuzamiz:
↓ 120 l/min – 45 min
↓ x l/min – 75 min
Va keyin biz nisbatni hosil qilamiz: 120/x = 75/45, bu erdan x = 120 * 45/75 = 72 l / min.
Muammoda hovuzni to'ldirish tezligi soniyada litr bilan ifodalanadi, keling, biz olgan javobni bir xil shaklga tushiramiz: 72/60 = 1,2 l / s;
Vazifa № 4. Kichik xususiy bosmaxona tashrif qog'ozlarini chop etadi. Bosmaxona xodimi soatiga 42 ta vizitka tezligida ishlaydi va butun kun davomida - 8 soat ishlaydi. Agar u tezroq ishlagan bo'lsa va bir soat ichida 48 ta tashrif qog'ozini chop etsa, u uyiga qancha erta bora oladi?
Biz tasdiqlangan yo'ldan boramiz va muammoning shartlariga muvofiq diagramma tuzamiz, kerakli qiymatni x sifatida belgilaymiz:
↓ 42 ta tashrif qog'ozi / soat - 8 soat
↓ 48 ta tashrif qogʻozi/soat – x h
Bizda teskari proportsional munosabatlar mavjud: bosmaxona xodimi soatiga necha marta ko'proq tashrif qog'ozlarini chop etsa, xuddi shu ishni bajarish uchun shuncha marta kamroq vaqt kerak bo'ladi. Buni bilib, keling, nisbatni yarataylik:
42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 soat.
Shunday qilib, ishni 7 soatda tugatgan bosmaxona xodimi bir soat oldin uyiga qaytishi mumkin edi.
Xulosa
Bizningcha, bu teskari proportsionallik muammolari haqiqatan ham oddiy. Umid qilamizki, endi siz ham ular haqida shunday fikrdasiz. Va asosiysi, miqdorlarning teskari proportsional bog'liqligi haqidagi bilim sizga bir necha marta foydali bo'lishi mumkin.
Faqat matematika darslarida va imtihonlarda emas. Ammo shunga qaramay, siz sayohatga chiqishga, do'konga borishga, ta'til paytida ozgina qo'shimcha pul ishlashga qaror qilganingizda va hokazo.
Atrofingizdagi teskari va to'g'ridan-to'g'ri proportsional munosabatlarning qanday misollarini ko'rganingizni sharhlarda ayting. Shunday o'yin bo'lsin. Bu qanchalik hayajonli ekanligini ko'rasiz. Ushbu maqolani baham ko'rishni unutmang ijtimoiy tarmoqlar do'stlaringiz va sinfdoshlaringiz ham o'ynashlari uchun.
veb-sayt, materialni to'liq yoki qisman nusxalashda manbaga havola talab qilinadi.
To'ldiruvchi: Chepkasov Rodion
6-sinf o'quvchisi
MBOU "53-sonli o'rta maktab"
Barnaul
Rahbar: Bulykina O.G.
matematika o'qituvchisi
MBOU "53-sonli o'rta maktab"
Barnaul
Kirish. 1
Munosabatlar va nisbatlar. 3
To'g'ridan-to'g'ri va teskari proportsional munosabatlar. 4
To'g'ri va teskari proportsionallarni qo'llash 6
turli muammolarni hal qilishda bog'liqliklar.
Xulosa. 11
Adabiyot. 12
Kirish.
Proportsiya so'zi lotincha proportion so'zidan kelib chiqqan bo'lib, u odatda mutanosiblik, qismlarning tekislanishi (qismlarning bir-biriga ma'lum nisbati) degan ma'noni anglatadi. Qadimda mutanosiblik haqidagi ta’limot pifagorchilar tomonidan yuksak hurmatga sazovor bo‘lgan. Ular tabiatdagi tartib va go'zallik, musiqadagi undosh akkordlar va koinotdagi uyg'unlik haqidagi fikrlarni nisbatlar bilan bog'ladilar. Ular mutanosiblikning ayrim turlarini musiqiy yoki garmonik deb atashgan.
Inson qadim zamonlarda ham tabiatdagi barcha hodisalar bir-biri bilan bog‘liqligini, hamma narsa uzluksiz harakatda, o‘zgarishda bo‘lishini va son bilan ifodalanganda hayratlanarli naqshlarni ochib berishini kashf etgan.
Pifagorchilar va ularning izdoshlari dunyodagi hamma narsaning raqamli ifodasini qidirdilar. Ular kashf qilishdi; musiqa zamirida matematik nisbatlar yotadi (tor uzunligining ohangga nisbati, intervallar orasidagi munosabat, garmonik tovush beruvchi akkordlardagi tovushlar nisbati). Pifagorchilar dunyoning birligi g'oyasini matematik jihatdan asoslashga harakat qildilar va koinotning asosini simmetrik geometrik shakllar tashkil etishini ta'kidladilar. Pifagorchilar go'zallikning matematik asosini qidirdilar.
O'rta asr olimi Avgustin Pifagorchilarga ergashib, go'zallikni "sonli tenglik" deb atagan. Sxolastik faylasuf Bonaventure shunday deb yozgan edi: "Proporsionalliksiz go'zallik va zavq yo'q va mutanosiblik birinchi navbatda raqamlarda mavjud bo'lishi kerak." Leonardo da Vinchi rassomlik haqidagi risolasida san'atda mutanosiblikdan foydalanish haqida shunday yozgan edi: "Rassom olim son qonuni shaklida biladigan tabiatda yashiringan bir xil naqshlarni mutanosiblik shaklida o'zida mujassam etadi".
Proportionlar qadimgi davrlarda ham, o'rta asrlarda ham turli muammolarni hal qilish uchun ishlatilgan. Ba'zi turdagi muammolar endi proportsiya yordamida oson va tez hal qilinadi. Proportsionallik va mutanosiblik nafaqat matematikada, balki arxitektura va san'atda ham qo'llanilgan va qo'llaniladi. Arxitektura va san'atdagi mutanosiblik binoning, figuraning, haykalning yoki boshqa san'at asarining turli qismlarining o'lchamlari o'rtasidagi muayyan munosabatlarni saqlashni anglatadi. Bunday hollarda mutanosiblik to'g'ri va chiroyli qurish va tasvirlashning shartidir
Men o'z ishimda to'g'ridan-to'g'ri va teskari proportsional munosabatlardan foydalanishni ko'rib chiqishga harakat qildim turli sohalar atrofdagi hayot, vazifalar orqali o'quv fanlari bilan aloqalarni kuzatish.
Munosabatlar va nisbatlar.
Ikki sonning koeffitsienti deyiladi munosabat bular raqamlar.
Munosabat ko'rsatadi, birinchi raqam ikkinchisidan necha marta katta yoki birinchi raqam ikkinchisining qaysi qismi.
Vazifa.
Do‘konga 2,4 tonna nok, 3,6 tonna olma keltirildi. Olingan mevalarning qaysi qismi nok?
Yechim . Qancha meva keltirganliklarini topamiz: 2,4+3,6=6(t). Olingan mevalarning qaysi qismi nok ekanligini aniqlash uchun 2,4:6= nisbatini hosil qilamiz. Javob shaklda ham yozilishi mumkin kasr yoki foiz sifatida: = 0,4 = 40%.
O'zaro teskari chaqirdi raqamlar, ularning hosilalari 1 ga teng. Shuning uchun munosabatga teskari munosabat deyiladi.
Ikki teng nisbatni ko'rib chiqing: 4,5: 3 va 6: 4. Ularning orasiga teng ishora qo'yib, nisbatni olamiz: 4,5:3=6:4.
Proportion ikki munosabatning tengligi: a : b =c :d yoki = 
, bu yerda a va d haddan tashqari mutanosiblik shartlari, c va b - o'rtacha a'zolar(proporsiyaning barcha shartlari noldan farq qiladi).
Proporsiyaning asosiy xossasi:
to‘g‘ri nisbatda ekstremal hadlarning ko‘paytmasi o‘rta hadlarning ko‘paytmasiga teng bo‘ladi.
Ko'paytirishning kommutativ xususiyatini qo'llagan holda, biz to'g'ri nisbatda ekstremal yoki o'rta hadlarni almashtirish mumkinligini aniqlaymiz. Olingan nisbatlar ham to'g'ri bo'ladi.
Proporsiyaning asosiy xususiyatidan foydalanib, agar boshqa barcha atamalar ma'lum bo'lsa, uning noma'lum atamasini topishingiz mumkin.
Proportsiyaning noma'lum ekstremal hadini topish uchun o'rtacha hadlarni ko'paytirish va ma'lum ekstremal hadga bo'lish kerak. x : b = c : d , x = 
Proportsiyaning noma'lum o'rta hadini topish uchun ekstremal hadlarni ko'paytirish va ma'lum o'rta hadga bo'lish kerak. a : b =x : d , x = 
.
To'g'ridan-to'g'ri va teskari proportsional munosabatlar.
Ikki xil miqdorning qiymatlari bir-biriga bog'liq bo'lishi mumkin. Shunday qilib, kvadratning maydoni uning tomonining uzunligiga bog'liq va aksincha - kvadrat tomonining uzunligi uning maydoniga bog'liq.
Ikki miqdorga proportsional deyiladi, agar ortib borsa
Ulardan birini bir necha marta (kamaytirish), ikkinchisi esa bir xil miqdorda oshiradi (kamaytirish).
Agar ikkita miqdor to'g'ridan-to'g'ri proportsional bo'lsa, bu miqdorlarning mos keladigan qiymatlarining nisbatlari tengdir.
Misol to'g'ridan-to'g'ri proportsional bog'liqlik .
Yoqilg'i quyish shoxobchasida 2 litr benzin 1,6 kg og'irlikda. Ularning vazni qancha bo'ladi 5 litr benzin?
Yechim:
Kerosinning og'irligi uning hajmiga proportsionaldir.
2 l - 1,6 kg
5 l - x kg
2:5=1,6:x,
x=5*1,6 x=4
Javob: 4 kg.
Bu erda og'irlik va hajm nisbati o'zgarishsiz qoladi.
Ikki kattalik teskari proportsional deyiladi, agar ulardan biri bir necha marta oshsa (kamaysa), ikkinchisi bir xil miqdorga kamaysa (ko'paysa).
Agar miqdorlar teskari proportsional bo'lsa, u holda bir miqdor qiymatlarining nisbati boshqa miqdorning mos keladigan qiymatlarining teskari nisbatiga teng bo'ladi.
P misolteskari proportsional munosabat.
Ikkita to'rtburchaklar bir xil maydonga ega. Birinchi to'rtburchakning uzunligi 3,6 m, eni esa 2,4 m. Ikkinchi to'rtburchakning kengligi 4,8 m.
Yechim:
1 ta to'rtburchaklar 3,6 m 2,4 m
2 ta to'rtburchak 4,8 m x m
3,6 m x m
4,8 m 2,4 m
x = 3,6 * 2,4 = 1,8 m
Javob: 1,8 m.
Ko'rib turganingizdek, proporsional miqdorlar bilan bog'liq masalalarni proporsiya yordamida hal qilish mumkin.
Har ikki miqdor to'g'ridan-to'g'ri yoki teskari proportsional emas. Masalan, bolaning bo'yi yoshi o'sishi bilan ortadi, lekin bu qiymatlar proportsional emas, chunki yosh ikki baravar ko'payganda, bolaning bo'yi ikki barobarga oshmaydi.
Amaliy dastur to'g'ridan-to'g'ri va teskari proportsional bog'liqlik.
Vazifa № 1
Maktab kutubxonasida 210 ta matematika darsliklari mavjud boʻlib, bu butun kutubxona fondining 15% ni tashkil qiladi. Kutubxona fondida nechta kitob bor?
Yechim:
Jami darsliklar - ? - 100%
Matematiklar - 210 -15%
15% 210 akademik.
X = 100* 210 = 1400 ta darslik
100% x hisob. 15
Javob: 1400 ta darslik.
Muammo № 2
Velosipedchi 3 soatda 75 km masofani bosib o'tadi. Velosipedchi bir xil tezlikda 125 km masofani qancha vaqt bosib o'tadi?
Yechim:
3 soat - 75 km
H - 125 km
Demak, vaqt va masofa to'g'ridan-to'g'ri proportsional miqdorlardir
3: x = 75: 125,
x= 
,
x=5.
Javob: 5 soat ichida.
Muammo № 3
8 ta bir xil quvur hovuzni 25 daqiqada to'ldiradi. Hovuzni 10 ta shunday quvur bilan to'ldirish uchun necha daqiqa kerak bo'ladi?
Yechim:
8 ta quvur - 25 daqiqa
10 ta quvur - ? daqiqa
Quvurlar soni vaqtga teskari proportsionaldir, shuning uchun
8:10 = x:25,
x = 
x = 20
Javob: 20 daqiqada.
Muammo № 4
8 ishchidan iborat jamoa topshiriqni 15 kun ichida bajaradi. Qancha ishchi bir xil mahsuldorlikda ishlagan holda 10 kun ichida topshiriqni bajara oladi?
Yechim:
8 ish kuni - 15 kun
Ishchilar - 10 kun
Ishchilar soni kunlar soniga teskari proportsionaldir, shuning uchun
x: 8 = 15: 10,
x= 
,
x=12.
Javob: 12 ishchi.
Muammo № 5
5,6 kg pomidordan 2 litr sous olinadi. 54 kg pomidordan necha litr sous olish mumkin?
Yechim:
5,6 kg - 2 l
54 kg -? l
Pomidorning kilogramm soni olingan sous miqdoriga to'g'ridan-to'g'ri proportsionaldir, shuning uchun
5,6:54 = 2:x,
x = 
,
x = 19.
Javob: 19 l.
Muammo № 6
Maktab binosini isitish uchun ko'mir 180 kun davomida iste'mol darajasida saqlangan
Kuniga 0,6 tonna ko'mir. Agar kuniga 0,5 tonna sarflansa, bu ta'minot necha kun davom etadi?
Yechim:
Kunlar soni
Iste'mol darajasi
Shuning uchun kunlar soni ko'mir iste'mol qilish tezligiga teskari proportsionaldir
180: x = 0,5: 0,6,
x = 180*0,6:0,5,
x = 216.
Javob: 216 kun.
Muammo № 7
Temir rudasida har 7 qism temir uchun 3 qism aralashmalar mavjud. 73,5 t temir bo'lgan rudada necha tonna aralashma bor?
Yechim:
Qismlar soni
Og'irligi
Temir
73,5
Nopokliklar
Qismlarning soni massaga to'g'ridan-to'g'ri proportsionaldir, shuning uchun
7: 73,5 = 3: x.
x = 73,5 * 3:7,
x = 31,5.
Javob: 31,5 t
Muammo № 8
Mashina 35 litr benzin sarflab, 500 km yo'l bosib o'tdi. 420 km yurish uchun necha litr benzin kerak bo'ladi?
Yechim:
Masofa, km
Benzin, l
Masofa benzin iste'moli bilan to'g'ridan-to'g'ri proportsionaldir, shuning uchun
500:35 = 420:x,
x = 35*420:500,
x = 29.4.
Javob: 29,4 l
Muammo № 9
2 soat ichida 12 ta crucian sazan tutdik. 3 soatda nechta xoch sazan ovlanadi?
Yechim:
Xoch baliqlarining soni vaqtga bog'liq emas. Bu miqdorlar to'g'ridan-to'g'ri va teskari proportsional emas.
Javob: Javob yo'q.
Muammo № 10
Tog'-kon korxonasi ma'lum miqdorda pul evaziga bittasi 12 ming rubldan 5 ta yangi mashina sotib olishi kerak. Agar bitta mashinaning narxi 15 ming rubl bo'lsa, korxona ushbu mashinalardan nechtasini sotib olishi mumkin?
Yechim:
Avtomobillar soni, dona.
Narxi, ming rubl
Avtomobillar soni xarajatga teskari proportsionaldir, shuning uchun
5: x = 15: 12,
x=5*12:15,
x=4.
Javob: 4 ta mashina.
Muammo № 11
Shaharda P kvadratida bir do'kon bor, uning egasi shu qadar qattiqqo'lki, u kechikish uchun kuniga 1 marta kechikish uchun maoshdan 70 rubl ushlab turadi. Ikki qiz Yuliya va Natasha bitta bo'limda ishlaydi. Ularning ish haqi ish kunlari soniga bog'liq. Yuliya 20 kun ichida 4100 rubl oldi, Natasha esa 21 kun ichida ko'proq olishi kerak edi, lekin u ketma-ket 3 kun kechikdi. Natasha qancha rubl oladi?
Yechim:
Ish kunlari
Ish haqi, rub.
Yuliya
4100
Natasha
Shuning uchun ish haqi ish kunlari soniga to'g'ridan-to'g'ri proportsionaldir
20:21 = 4100:x,
x=4305.
4305 rub. Natasha buni qabul qilishi kerak edi.
4305 - 3 * 70 = 4095 (rub.)
Javob: Natasha 4095 rubl oladi.
Muammo № 12
Xaritadagi ikkita shahar orasidagi masofa 6 sm, agar xarita masshtabi 1: 250000 bo'lsa, bu shaharlar orasidagi masofani toping.
Yechim:
Erdagi shaharlar orasidagi masofani x (santimetrda) bilan belgilaymiz va xaritadagi segment uzunligining yerdagi masofaga nisbatini topamiz, bu xarita masshtabiga teng bo'ladi: 6: x = 1. : 250000,
x = 6*250000,
x = 1500000.
1500000 sm = 15 km
Javob: 15 km.
Muammo № 13
4000 g eritmada 80 g tuz mavjud. Ushbu eritmadagi tuz konsentratsiyasi qanday?
Yechim:
Og'irligi, g
Konsentratsiya, %
Yechim
4000
tuz
4000: 80 = 100: x,
x = 
,
x = 2.
Javob: Tuz konsentratsiyasi 2% ni tashkil qiladi.
Muammo № 14
Bank yillik 10% bilan kredit beradi. Siz 50 000 rubl miqdorida kredit oldingiz. Bir yilda qancha pulni bankka qaytarish kerak?
Yechim:
50 000 rub.
100%
x rub.
50000: x = 100: 10,
x= 50000*10:100,
x=5000.
5000 rub. 10% ni tashkil qiladi.
50 000 + 5000=55 000 (rub.)
Javob: bir yil ichida bankka 55 000 rubl qaytariladi.
Xulosa.
Berilgan misollardan ko'rinib turibdiki, to'g'ridan-to'g'ri va teskari proportsional munosabatlar hayotning turli sohalarida qo'llaniladi:
Iqtisodiyot,
Savdo,
Ishlab chiqarish va sanoatda,
Maktab hayoti,
Ovqat pishirish,
Qurilish va arxitektura.
Sport,
Chorvachilik,
Topografiyalar,
Fiziklar,
Kimyo va boshqalar.
Rus tilida ham to'g'ridan-to'g'ri va o'rnatuvchi maqol va maqollar mavjud teskari munosabat:
Qaytib kelsa, u ham shunday javob beradi.
Dumaloq qanchalik baland bo'lsa, soya shunchalik baland bo'ladi.
Qanchalik ko'p odam bo'lsa, kislorod kamroq bo'ladi.
Va u tayyor, lekin ahmoq.
Matematika eng qadimgi fanlardan biri bo'lib, u insoniyat ehtiyojlari va ehtiyojlari asosida paydo bo'lgan; O'shandan beri shakllanish tarixini bosib o'tgan Qadimgi Gretsiya, u hali ham dolzarb va zarur bo'lib qolmoqda kundalik hayot har qanday odam. To'g'ridan-to'g'ri va teskari mutanosiblik tushunchasi qadim zamonlardan beri ma'lum, chunki har qanday haykalni qurish yoki yaratishda me'morlarni rag'batlantirgan mutanosiblik qonunlari edi.
Proportionlar haqidagi bilimlar inson hayoti va faoliyatining barcha sohalarida keng qo'llaniladi - rasm chizishda (peyzajlar, natyurmortlar, portretlar va boshqalar) ularsiz amalga oshirib bo'lmaydi, u me'morlar va muhandislar orasida ham keng tarqalgan - umuman olganda, buni qilish qiyin. nisbatlar va ularning munosabatlari haqidagi bilimlardan foydalanmasdan biror narsa yaratishni tasavvur qiling.
Adabiyot.
Matematika-6, N.Ya. Vilenkin va boshqalar.
Algebra -7, G.V. Dorofeev va boshqalar.
Matematika-9, GIA-9, tahrirlangan F.F. Lisenko, S.Yu. Kulabuxova
Matematika-6, didaktik materiallar, P.V. Chulkov, A.B. Uedinov
4-5-sinflar uchun matematikadan muammolar, I.V.Baranova va boshqalar, M. "Prosveshchenie" 1988 yil
Matematikadan 5-6-sinflar bo'yicha masalalar va misollar to'plami, N.A. Tereshin,
T.N. Tereshina, M. "Akvarium" 1997 yil
g) shaxsning yoshi va poyabzalining o'lchami;
h) kub hajmi va uning chetining uzunligi;
i) kvadratning perimetri va uning tomonining uzunligi;
j) kasr va uning maxraji, agar hisoblagich o'zgarmasa;
k) kasr va uning soni, agar maxraj o'zgarmasa.
767-778 masalalarni tuzib yeching.
767. Hajmi 6 sm 3 bo'lgan po'lat sharning massasi 46,8 g ga teng, agar uning hajmi 2,5 sm 3 bo'lsa.
768. 21 kg paxta chigitidan 5,1 kg moy olindi. 7 kg paxta chigitidan qancha moy olinadi?
769. Stadion qurilishi uchun 5 buldozer 210 daqiqada maydonni tozaladi. Bu saytni tozalash uchun 7 ta buldozer qancha vaqt ketadi?
770. Yukni tashish uchun 7,5 t yuk ko'tarish qobiliyatiga ega 24 ta mashina kerak bo'lgan.
771. Urug'larning unib chiqishini aniqlash uchun no'xat ekilgan. Ekilgan 200 dona no‘xatning 170 tasi unib chiqqan (unish foizi)?
772. Yakshanba kuni shaharni ko'kalamzorlashtirish paytida ko'chaga jo'ka daraxtlari ekildi. Barcha ekilgan jo'ka daraxtlarining 95 foizi qabul qilindi. 57 ta jo'ka daraxti ekilgan bo'lsa, nechta jo'ka daraxti ekilgan?
773. Chang'i bo'limida 80 nafar o'quvchi bor. Ular orasida 32 nafar qiz ham bor. Qaysi bo'lim a'zolari qizlar va qaysilari o'g'il bolalar?
774. Kolxoz reja bo'yicha 980 gektarga makkajo'xori ekishi kerak. Lekin reja 115 foizga bajarildi. Kolxoz necha gektar makkajo'xori ekdi?
775. 8 oyda ishchi yillik rejani 96 foizga bajardi. Agar ishchi xuddi shunday unumdorlik bilan ishlasa, 12 oyda yillik rejaning necha foizini bajaradi?
776. Uch kun ichida barcha lavlagining 16,5 foizi yig‘ib olindi. Hamma lavlagining 60,5 foizini bir xil hosildorlikda yig‘ib olish uchun necha kun kerak bo‘ladi?
777. Temir rudasida temirning har 7 qismiga 3 qism aralashmalar to'g'ri keladi. 73,5 t temir bo'lgan rudada necha tonna aralashma bor?
778. Borschni tayyorlash uchun har 100 g go'sht uchun 60 g lavlagi olish kerak. 650 g go'sht uchun qancha lavlagi olish kerak?
P 779. Og‘zaki hisoblang:
780. Quyidagi kasrlarning har birini numerator 1 bo‘lgan ikkita kasr yig‘indisi sifatida ko‘rsating: 
.
781. 3, 7, 9 va 21 raqamlaridan ikkita to‘g‘ri proporsiya hosil qiling.
782. Proporsiyaning o‘rta hadlari 6 va 10. Ekstremal hadlar qanday bo‘lishi mumkin? Misollar keltiring.
783. X ning qaysi qiymatida proporsiya to‘g‘ri bo‘ladi?
784. Munosabatni toping:
a) 2 minutdan 10 soniyagacha; c) 0,1 kg dan 0,1 g gacha; e) 3 dm 3 dan 0,6 m 3 gacha.
b) 0,3 m 2 dan 0,1 dm 2 gacha; d) 4 soatdan 1 kungacha;
1) 6,0008:2,6 + 4,23 0,4;
2) 2,91 1,2 + 12,6288:3,6.
D 795. 20 kg olmadan 16 kg olma olinadi. ^^ 45 kg olmadan qancha olma olasiz?
796. Uchta rassom 5 kunda ishni tugatishi mumkin. Ishni tezlashtirish uchun yana ikkita rassom qo'shildi. Barcha rassomlar bir xil mahsuldorlik bilan ishlaydi, deb hisoblasak, ishni tugatish uchun qancha vaqt kerak bo'ladi?
797. 2,5 kg qo'zichoq uchun ular 4,75 rubl to'lashdi. 6,65 rublga bir xil narxda qancha qo'zichoq sotib olishingiz mumkin?
798. Qand lavlagi tarkibida 18,5% qand bor. 38,5 t qand lavlagida qancha qand bor? Javobingizni tonnaning o'ndan bir qismiga aylantiring.
799. Kungaboqar urug‘ining yangi navi tarkibida 49,5% yog‘ bor. 29,7 kg moy bo'lishi uchun bunday urug'lardan necha kilogramm olish kerak?
800. 80 kg kartoshkada 14 kg kraxmal bor. Bunday kartoshka tarkibidagi kraxmalning foizini toping.
801. Zig‘ir urug‘ida 47% yog‘ bor. 80 kg zig‘ir urug‘ida qancha yog‘ bor?
802. Guruchda 75% kraxmal, 60% arpa bor. 5 kg guruch tarkibidagi kraxmal miqdori bilan bir xil miqdorda arpa bo'lishi uchun qancha arpa olish kerak?
803. Ifodaning ma’nosini toping.
a) 203,81:(141 -136,42) + 38,4:0,7 5;
b) 96:7,5 + 288,51:(80 - 76,74).
N.Ya.Vilenkin, A.S. Chesnokov, S.I. Shvartsburd, V.I.Joxov, 6-sinf uchun matematika, darslik o'rta maktab
Proportsionallik - bu ikki miqdor o'rtasidagi munosabat bo'lib, ulardan birining o'zgarishi ikkinchisining bir xil miqdorga o'zgarishiga olib keladi.
Proportsionallik to'g'ridan-to'g'ri yoki teskari bo'lishi mumkin. Ushbu darsda biz ularning har birini ko'rib chiqamiz.
Dars mazmuniTo'g'ridan-to'g'ri proportsionallik
Faraz qilaylik, mashina 50 km/soat tezlikda harakatlanyapti. Esda tutamizki, tezlik - bu vaqt birligi uchun bosib o'tilgan masofa (1 soat, 1 daqiqa yoki 1 soniya). Bizning misolimizda mashina 50 km/soat tezlikda harakatlanmoqda, ya’ni bir soat ichida ellik kilometr masofani bosib o‘tadi.
Rasmda mashinaning 1 soatda bosib o'tgan masofasini tasvirlaymiz.
Mashina soatiga ellik kilometr tezlikda yana bir soat yursin. Keyin mashina 100 km yo'l bosib o'tishi ma'lum bo'ladi
Misoldan ko'rinib turibdiki, vaqtni ikki baravar oshirish bosib o'tgan masofani bir xil miqdorda, ya'ni ikki barobar oshirishga olib keldi.
Vaqt va masofa kabi miqdorlar to'g'ridan-to'g'ri proportsional deyiladi. Va bunday miqdorlar orasidagi munosabat deyiladi to'g'ridan-to'g'ri proportsionallik.
To'g'ridan-to'g'ri mutanosiblik - bu ikki miqdor o'rtasidagi munosabatlar, ulardan birining ko'payishi ikkinchisining bir xil miqdorga ko'payishiga olib keladi.
va aksincha, agar bir miqdor ma'lum bir necha marta kamaysa, ikkinchisi ham shuncha marta kamayadi.
Faraz qilaylik, dastlabki reja mashinani 2 soatda 100 km haydash edi, lekin 50 km yurgandan keyin haydovchi dam olishga qaror qildi. Keyin ma'lum bo'lishicha, masofani yarmiga qisqartirish bilan vaqt bir xil miqdorda kamayadi. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, bosib o'tilgan masofani qisqartirish vaqtning bir xil miqdorda qisqarishiga olib keladi.
To'g'ridan-to'g'ri proportsional miqdorlarning qiziqarli xususiyati shundaki, ularning nisbati doimo doimiydir. Ya'ni, to'g'ridan-to'g'ri proportsional miqdorlarning qiymatlari o'zgarganda, ularning nisbati o'zgarishsiz qoladi.
Ko'rib chiqilgan misolda masofa dastlab 50 km, vaqt esa bir soat edi. Masofaning vaqtga nisbati 50 ga teng.
Ammo biz sayohat vaqtini 2 barobarga oshirib, ikki soatga tenglashtirdik. Natijada bosib o'tilgan masofa bir xil miqdorga ko'paydi, ya'ni 100 km ga teng bo'ldi. Yuz kilometrning ikki soatga nisbati yana 50 raqamidir
50 raqami chaqiriladi to'g'ridan-to'g'ri proportsionallik koeffitsienti. Harakat soatiga qancha masofa borligini ko'rsatadi. Bunday holda, koeffitsient harakat tezligi rolini o'ynaydi, chunki tezlik bosib o'tgan masofaning vaqtga nisbati.
To'g'ridan-to'g'ri proportsional kattaliklardan nisbatlar tuzilishi mumkin. Masalan, nisbatlar nisbatni tashkil qiladi:
Ellik kilometr bir soatgacha, yuz kilometr ikki soatgacha.
2-misol. Sotib olingan tovarlarning narxi va miqdori to'g'ridan-to'g'ri proportsionaldir. Agar 1 kg shirinlik 30 rubl bo'lsa, u holda 2 kg bir xil shirinliklar 60 rubl, 3 kg 90 rubl bo'ladi. Xarid qilingan mahsulot tannarxi oshgani sayin uning miqdori ham bir xil miqdorda ortadi.
Mahsulot tannarxi va uning miqdori to'g'ridan-to'g'ri proportsional miqdorlar bo'lgani uchun ularning nisbati doimo doimiy bo'ladi.
Keling, o'ttiz rublning bir kilogrammga nisbati qanday ekanligini yozaylik
Keling, oltmish rublning ikki kilogrammga nisbati nima ekanligini yozaylik. Bu nisbat yana o'ttizga teng bo'ladi:
Bu erda to'g'ridan-to'g'ri proportsionallik koeffitsienti soni 30. Bu koeffitsient bir kilogramm shirinlik uchun qancha rubl ekanligini ko'rsatadi. IN bu misolda koeffitsient bir kilogramm tovar narxining rolini o'ynaydi, chunki narx tovar qiymatining uning miqdoriga nisbati.
Teskari proportsionallik
Quyidagi misolni ko'rib chiqing. Ikki shahar orasidagi masofa 80 km. Mototsiklchi birinchi shaharni tark etdi va 20 km/soat tezlikda ikkinchi shaharga 4 soatda yetib keldi.
Agar mototsiklchining tezligi 20 km/soat bo'lsa, demak u har soatda yigirma kilometrlik masofani bosib o'tgan. Keling, rasmda mototsiklchi bosib o'tgan masofani va uning harakat vaqtini tasvirlaymiz:
Qaytishda mototsiklchining tezligi 40 km/soat bo'lib, u xuddi shu yo'lda 2 soat vaqt sarflagan.
Tezlik o'zgarganda, harakat vaqti bir xil miqdorda o'zgarishini sezish oson. Bundan tashqari, u o'zgargan teskari tomon- ya'ni tezlik oshdi, lekin vaqt, aksincha, kamaydi.
Tezlik va vaqt kabi kattaliklar teskari proportsional deyiladi. Va bunday miqdorlar orasidagi munosabat deyiladi teskari proportsionallik.
Teskari mutanosiblik - bu ikki miqdor o'rtasidagi munosabat bo'lib, ulardan birining ko'payishi ikkinchisining bir xil miqdorga kamayishiga olib keladi.
va aksincha, agar bir miqdor ma'lum bir necha marta kamaysa, ikkinchisi ham shuncha marta ortadi.
Masalan, agar orqaga qaytishda mototsiklchining tezligi soatiga 10 km bo'lgan bo'lsa, u xuddi shu 80 km ni 8 soatda bosib o'tadi:
Misoldan ko'rinib turibdiki, tezlikning pasayishi harakat vaqtining bir xil miqdorda oshishiga olib keldi.
Teskari proportsional miqdorlarning o'ziga xos xususiyati shundaki, ularning mahsuloti doimo doimiy bo'ladi. Ya'ni, teskari proportsional miqdorlarning qiymatlari o'zgarganda, ularning mahsuloti o'zgarishsiz qoladi.
Ko'rib chiqilayotgan misolda shaharlar orasidagi masofa 80 km edi. Mototsiklchining harakat tezligi va vaqti o'zgarganda, bu masofa doimo o'zgarishsiz qoldi
Mototsiklchi bu masofani 20 km/soat tezlikda 4 soatda, 40 km/soat tezlikda 2 soatda, 10 km/soat tezlikda esa 8 soatda bosib o'tishi mumkin edi. Barcha holatlarda tezlik va vaqtning mahsuloti 80 km ga teng edi
Dars sizga yoqdimi?
Bizning yangi VKontakte guruhimizga qo'shiling va yangi darslar haqida bildirishnomalarni olishni boshlang
