5 Bizning xatolarimiz Biz ta'kidlaymiz: bozor islohotlarining tanlangan yo'nalishi to'g'ri edi. Va ular umuman muvaffaqiyatsizlikka uchramadilar, ular yana qoqilib ketishdi. Lekin xatolar va kamchiliklar bor edi. Bu bizning xatolarimiz va mamlakat rahbariyatining xatolari bo‘lib, biz ularni oldini ololmaganmiz. Xatolar - ko'p jihatdan

Namuna hajmining ahamiyati Yuqorida aytib o'tganimdek, odamlar statistik nuqtai nazardan, bir nechta holatlardan ko'p ma'lumot olish mumkin bo'lmasa-da, hodisaning kamdan-kam uchraydigan hodisalariga haddan tashqari e'tibor berishadi. Bu asosiy sababdir

Vakillik namunalari Kelajakni bashorat qilish uchun testlarimizning reprezentativligi ikki omil bilan belgilanadi: – Bozorlar soni: turli bozorlarda o'tkazilgan testlar, ehtimol, turli darajadagi o'zgaruvchanlik turlariga ega bozorlarni o'z ichiga oladi.

Namuna hajmi Namuna hajmi tushunchasi oddiy: statistik jihatdan to'g'ri xulosalar chiqarish uchun siz etarlicha katta namunaga ega bo'lishingiz kerak. Namuna qanchalik kichik bo'lsa, xulosalar shunchalik qo'polroq bo'ladi; Namuna qanchalik katta bo'lsa, xulosalar sifati shunchalik yaxshi bo'ladi. yo'q

Statistik kuzatish natijasida aniqlangan har qanday ko'rsatkich qiymati va uning haqiqiy hajmi o'rtasidagi tafovut deyiladi. kuzatish xatolari . Ularning paydo bo'lish sabablariga qarab, ro'yxatga olish xatolari va reprezentativ xatolar farqlanadi.

Ro'yxatdan o'tishdagi xatolar kuzatish yoki suhbat jarayonida faktlarni noto'g'ri aniqlash yoki noto'g'ri qayd etish natijasida yuzaga keladi. Ular tasodifiy yoki tizimli bo'lishi mumkin. Tasodifiy ro'yxatga olish xatolari respondentlarning javoblarida ham, suhbatdoshlar tomonidan ham amalga oshirilishi mumkin. Tizimli xatolar qasddan ham, qasddan ham bo'lishi mumkin. Qasddan - ishning haqiqiy holatini ongli ravishda, moyillik bilan buzish. Qasddan bo'lmaganlar turli tasodifiy sabablar (beparvolik, e'tiborsizlik) tufayli yuzaga keladi.

Vakillik xatolari (vakillik) toʻliq boʻlmagan soʻrov natijasida va soʻrov qilinayotgan aholi umumiy populyatsiyani toʻliq koʻpaytirmasa paydo boʻladi. Ular tasodifiy yoki tizimli bo'lishi mumkin. Reprezentatsiyaning tasodifiy xatolari - bu tanlangan kuzatish birliklari (namuna) to'plami butun populyatsiyani to'liq takrorlamasligi sababli to'liq bo'lmagan kuzatish paytida yuzaga keladigan og'ishlardir. Reprezentatsiyaning tizimli xatolari - bu birliklarni tasodifiy tanlash tamoyillarini buzish natijasida yuzaga keladigan og'ishlar. Reprezentativlik xatolari tanlab kuzatishga organik ravishda xos bo'lib, namunaviy populyatsiya umumiy populyatsiyani to'liq ko'paytirmasligi sababli yuzaga keladi. Reprezentlik xatolarining oldini olish mumkin emas, ammo katta sonlar qonunining chegara teoremalaridan foydalanishga asoslangan ehtimollar nazariyasi usullaridan foydalangan holda, bu xatolar chegaralari etarlicha yuqori aniqlik bilan o'rnatiladigan minimal qiymatlarga qisqartirilishi mumkin.

Namuna olish xatolari - namuna va umumiy populyatsiyaning xususiyatlari o'rtasidagi farq. O'rtacha qiymat uchun xato formula bo'yicha aniqlanadi

Qayerda

Kattalik
chaqirdi ekstremal xato namunalar.

Maksimal tanlab olish xatosi tasodifiy qiymatdir. Katta sonlar qonunining chegaraviy teoremalari tasodifiy tanlama xatolarining qonuniyatlarini o'rganishga bag'ishlangan. Bu qonuniyatlar P. L. Chebyshev va A. M. Lyapunovlarning teoremalarida toʻliq ochib berilgan.

P. L. Chebishev teoremasi Ko'rib chiqilayotgan usulga nisbatan, uni quyidagicha shakllantirish mumkin: etarlicha ko'p miqdordagi mustaqil kuzatishlar bilan, bittaga yaqin ehtimollik bilan (ya'ni deyarli aniqlik bilan) tanlamaning og'ishini tasdiqlash mumkin. umumiy o'rtachadan o'rtacha kerakli darajada kichik bo'ladi. P. L. Chebishev teoremasida xatoning kattaligi dan oshmasligi isbotlangan. . O'z navbatida, qiymat , umumiy o'rtacha tanlamaning standart og'ishini ifodalash, xarakteristikaning populyatsiyadagi o'zgaruvchanligiga bog'liq. va tanlangan birliklar soni n. Bu bog'liqlik formula bilan ifodalanadi

, (7.2)

Qayerda namuna olish usuliga ham bog'liq.

Hajmi =chaqirdi o'rtacha tanlab olish xatosi. Ushbu ifodada - umumiy farq; n– namunaviy populyatsiya hajmi.

Keling, tanlangan birliklar soni o'rtacha xatoga qanday ta'sir qilishini ko'rib chiqaylik n. Mantiqan, ko'p sonli birliklar tanlanganda o'rtacha ko'rsatkichlar orasidagi farqlar kichikroq bo'lishini tekshirish qiyin emas, ya'ni o'rtacha tanlab olish xatosi va tanlangan birliklar soni o'rtasida teskari bog'liqlik mavjud. Bunda shunchaki teskari matematik munosabat hosil bo‘lmaydi, balki o‘rtachalar orasidagi tafovutning kvadrati tanlangan birliklar soniga teskari proporsional ekanligini ko‘rsatadigan munosabat hosil bo‘ladi.

Xarakteristikaning o'zgaruvchanligining oshishi standart og'ishning oshishiga va natijada xatolikka olib keladi. Agar barcha birliklar atributning bir xil qiymatiga ega bo'ladi deb faraz qilsak, standart og'ish nolga aylanadi va tanlab olish xatosi ham yo'qoladi. Keyin namuna olishni qo'llashning hojati yo'q. Ammo shuni yodda tutish kerakki, umumiy populyatsiyadagi belgi o'zgaruvchanligining kattaligi noma'lum, chunki undagi birliklarning o'lchamlari noma'lum. Tanlangan populyatsiyada faqat xarakteristikaning o'zgaruvchanligini hisoblash mumkin. Umumiy va tanlanma populyatsiyalarning dispersiyalari o'rtasidagi bog'liqlik formula bilan ifodalanadi

Qiymatidan beri etarlicha kattalikda n birlikka yaqin bo'lsa, biz taxminan tanlama dispersiyasi umumiy dispersiyaga teng deb taxmin qilishimiz mumkin, ya'ni.

Binobarin, tanlab olishning o'rtacha xatosi umumiy populyatsiyaning tegishli xususiyatlaridan tanlanma populyatsiya xususiyatlarining qanday og'ishlari mumkinligini ko'rsatadi. Biroq, bu xatoning kattaligi ma'lum bir ehtimollik bilan baholanishi mumkin. Ehtimollik qiymati multiplikator bilan ko'rsatiladi

A. M. Lyapunov teoremasi . A. M. Lyapunov mustaqil kuzatishlar sonining yetarlicha koʻp boʻlgan tanlama vositalarining taqsimlanishi (shuning uchun ularning umumiy oʻrtacha qiymatdan chetlanishi) umumiy toʻplam cheklangan oʻrtacha va cheklangan dispersiyaga ega boʻlishi sharti bilan taxminan normal ekanligini isbotladi.

Matematik jihatdan Lyapunov teoremasi shunday yozilishi mumkin:

(7.3)

Qayerda
, (7.4)

Qayerda
– matematik konstanta;

–marginal tanlama xatosi , bu umumiy o'rtacha qiymati qanday chegaralar ichida yotishini aniqlash imkonini beradi.

Ishonch koeffitsientining turli qiymatlari uchun ushbu integralning qiymatlari t hisoblab chiqilgan va maxsus matematik jadvallarda keltirilgan. Xususan, qachon:

Chunki t nomuvofiqlik ehtimolini bildiradi
, ya'ni umumiy o'rtacha o'rtacha tanlamadan qanday miqdorda farq qilish ehtimoli, keyin uni quyidagicha o'qilishi mumkin: 0,683 ehtimollik bilan, tanlanma va umumiy o'rtacha ko'rsatkichlar o'rtasidagi farq bir qiymatdan oshmasligini aytish mumkin. o'rtacha tanlab olish xatosi. Boshqacha aytganda, 68,3% hollarda reprezentativlik xatosi chegaradan oshmaydi
0,954 ehtimollik bilan reprezentativlik xatosi oshmaydi, deb aytish mumkin
(ya'ni 95% hollarda). 0,997 ehtimollik bilan, ya'ni birlikka juda yaqin, biz tanlama va umumiy o'rtacha o'rtasidagi farq o'rtacha tanlama xatosidan uch baravar oshmasligini kutishimiz mumkin va hokazo.

Mantiqan, bu erda bog'liqlik juda aniq ko'rinadi: mumkin bo'lgan xatoga yo'l qo'yiladigan chegaralar qanchalik katta bo'lsa, uning kattaligini baholash ehtimoli shunchalik yuqori bo'ladi.

Atributning namunaviy o'rtacha qiymatini bilish
va marjinal tanlama xatosi
, umumiy o'rtacha o'z ichiga olgan chegaralarni (chegaralarni) aniqlash mumkin

1 . To'g'ri tasodifiy tanlab olish - bu usul hech qanday qismlarga yoki guruhlarga bo'linmasdan umumiy aholidan birliklarni tanlashga qaratilgan. Shu bilan birga, tanlab olishning asosiy printsipiga rioya qilish uchun - umumiy aholining barcha birliklarini tanlash uchun teng imkoniyat - qur'a (lotereya) yoki tasodifiy raqamlar jadvali orqali tasodifiy birliklarni olish sxemasi qo'llaniladi. . Birliklarni takroriy va takrorlanmaydigan tanlash mumkin

Tasodifiy tanlovning o'rtacha xatosi - bu o'rtacha tanlamaning mumkin bo'lgan qiymatlarining umumiy o'rtacha qiymatdan standart og'ishi. Tasodifiy tanlash usulidan foydalangan holda tanlab olishning o'rtacha xatolari Jadvalda keltirilgan. 7.2.

7.2-jadval

Jadvalda quyidagi belgilar qo'llaniladi:

– tanlanma populyatsiyasining dispersiyasi;

- namuna hajmi;

- umumiy aholi soni;

- o'rganilayotgan belgiga ega bo'lgan birliklarning namunaviy nisbati;

- o'rganilayotgan xususiyatga ega bo'lgan birliklar soni;

- namuna hajmi.

Multiplikator o'rniga aniqlikni oshirish uchun multiplikatorni olishingiz kerak
, lekin katta raqam bilan N bu iboralar orasidagi farq amaliy ahamiyatga ega emas.

Haqiqiy tasodifiy namunaning maksimal xatosi
formula bo'yicha hisoblanadi

, (7.6)

Qayerda t - ishonch koeffitsienti ehtimollik qiymatiga bog'liq.

Misol. Tasodifiy partiyadan tanlab olingan yuzta mahsulot namunasi tekshirilganda, 20 tasi nostandart bo'lib chiqdi. 0,954 ehtimollik bilan partiyadagi nostandart mahsulotlar ulushi yotadigan chegaralarni aniqlang.

Yechim. Keling, umumiy ulushni hisoblaylik ( R):
.

Nostandart mahsulotlar ulushi:
.

0,954 ehtimollik bilan namunaviy ulushning maksimal xatosi (7.6) formuladan foydalanib, jadvaldagi formuladan foydalanib hisoblanadi. Ulashish uchun 7.2:

0,954 ehtimollik bilan shuni aytish mumkinki, tovarlar partiyasidagi nostandart mahsulotlarning ulushi 12% ≤ ichida. P≤ 28 %.

Tanlama kuzatuvini loyihalash amaliyotida umumiy o’rtacha ko’rsatkichlarni hisoblashda ma’lum bir aniqlikni ta’minlash uchun zarur bo’lgan tanlama hajmini aniqlash zarurati tug’iladi. Maksimal tanlab olish xatosi va uning ehtimoli berilgan. Formuladan
va o'rtacha tanlab olish xatolar uchun formulalar, kerakli tanlama hajmi belgilanadi. Namuna hajmini aniqlash uchun formulalar ( n) tanlash usuliga bog'liq. Sof tasodifiy tanlama uchun tanlama hajmini hisoblash Jadvalda keltirilgan. 7.3.

7.3-jadval

2 . Mexanik namuna olish – bu usul yordamida ular ob’yektlarning umumiy populyatsiyada joylashishining ma’lum xususiyatlarini, ularning tartiblanishini (ro‘yxat, raqam, alifbo bo‘yicha) hisobga olishdan kelib chiqadi. Mexanik namuna olish umumiy aholining alohida ob'ektlarini ma'lum bir oraliqda (har 10 yoki 20) tanlash orqali amalga oshiriladi. Intervalga nisbatan hisoblab chiqiladi , Qayerda n- namuna hajmi, N- umumiy aholi soni. Shunday qilib, agar 500 000 birlik populyatsiyadan 2% namuna olish kutilsa, ya'ni 10 000 birlikni tanlab olish kerak bo'lsa, unda tanlov nisbati bo'ladi.
Birliklarni tanlash belgilangan nisbatga muvofiq muntazam ravishda amalga oshiriladi. Agar umumiy populyatsiyada ob'ektlarning joylashishi tasodifiy bo'lsa, mexanik tanlab olish mazmuni bo'yicha tasodifiy tanlashga o'xshaydi. Mexanik tanlashda faqat takrorlanmaydigan namuna olish qo'llaniladi.

Mexanik tanlashda o'rtacha xato va namuna hajmi to'g'ri tasodifiy namuna olish uchun formulalar yordamida hisoblanadi (7.2 va 7.3-jadvallarga qarang).

3 . Oddiy namuna , bunda umumiy aholi ba'zi muhim belgilarga ko'ra tipik guruhlarga bo'linadi; birliklarni tanlash tipik guruhlardan amalga oshiriladi. Tanlashning bu usuli bilan umumiy populyatsiya o'ziga xos xususiyatlarga ega bo'lgan bir hil bo'lgan guruhlarga bo'linadi va savol har bir guruhdan namunalar hajmini aniqlashga to'g'ri keladi. Bo'lishi mumkin yagona namuna olish - bu usul bilan har bir tipik guruhdan bir xil miqdordagi birliklar tanlanadi
Ushbu yondashuv faqat dastlabki tipik guruhlarning soni teng bo'lganda oqlanadi. Guruhlarning kattaligiga nomutanosib bo'lgan odatiy tanlov bilan tanlangan birliklarning umumiy soni tipik guruhlar soniga bo'linadi, natijada olingan qiymat har bir tipik guruhdan tanlov sonini beradi.

Tanlashning yanada rivojlangan shakli proportsional namuna olish . Umumiy populyatsiyadagi har bir tipik guruhdan olingan namunalar soni raqamlarga, dispersiyalarga (yoki ikkala raqamlar va dispersiyalarning kombinatsiyasiga) mutanosib bo'lsa, namunaviy populyatsiyani shakllantirish sxemasi proportsional deb ataladi. Biz shartli ravishda namuna hajmini 100 birlik deb belgilaymiz va guruhlardan birliklarni tanlaymiz:

– ularning umumiy aholi soniga mutanosib ravishda (7.4-jadval). Jadvalda quyidagilar ko'rsatilgan:

N i- tipik guruhning kattaligi;

d j- baham ko'rish ( N men/ N);

N- umumiy aholi soni;

n i- tipik guruhdan namuna hajmi hisoblanadi:

, (7.7)

n– umumiy populyatsiyadan olingan namuna hajmi.

7.4-jadval

– standart og'ish bilan mutanosib (7.5-jadval).

bu yerda  i- tipik guruhlarning standart og'ishi;

n i - tipik guruhdan namuna hajmi formula yordamida hisoblanadi

(7.8)

7.5-jadval

– birlashtirilgan (7.6-jadval).

Namuna hajmi formuladan foydalanib hisoblanadi

. (7.9)

7.6-jadval

Oddiy namunani o'tkazishda har bir guruhdan to'g'ridan-to'g'ri tanlash tasodifiy tanlama yordamida amalga oshiriladi.

Namuna olishning o'rtacha xatolari jadvaldagi formulalar yordamida hisoblanadi. 7.7 tipik guruhlardan tanlash usuliga qarab.

7.7-jadval

Bu yerga
- tipik guruhlarning guruh ichidagi dispersiyalarining o'rtacha qiymati;

- o'rganilayotgan xususiyatga ega bo'lgan birliklar nisbati;

– ulush bo‘yicha guruh ichidagi tafovutlar o‘rtacha;

- namunadagi standart og'ish i th tipik guruh;

– tipik guruhdagi namunalar hajmi;

- umumiy namuna hajmi;

- tipik guruhning hajmi;

- umumiy aholi soni.

Har bir tipik guruhdagi namuna hajmi ushbu guruhdagi standart og'ish bilan mutanosib bo'lishi kerak
.Raqamlarni hisoblash
jadvalda keltirilgan formulalar bo'yicha ishlab chiqariladi. 7.8.

7.8-jadval

4 . Seriyali namuna olish - agregat birliklari kichik guruhlar yoki seriyalarga birlashtirilgan hollarda qulay. Ketma-ket namuna olishda umumiy aholi teng o'lchamdagi guruhlarga bo'linadi - seriyalar. Seriyalar namunaviy populyatsiyaga tanlanadi. Ketma-ket namuna olishning mohiyati seriyalarni tasodifiy yoki mexanik tanlash bo'lib, uning doirasida birliklarning doimiy tekshiruvi amalga oshiriladi. Teng qatorli ketma-ket namunaning o'rtacha xatosi faqat guruhlar orasidagi dispersiyaning kattaligiga bog'liq. O'rtacha xatolar jadvalda jamlangan. 7.9.

7.9-jadval

Bu yerga R– umumiy populyatsiyadagi seriyalar soni;

r– tanlangan seriyalar soni;

– vositalarning qatorlararo (guruhlararo) dispersiyasi;

– ulushning qatorlararo (guruhlararo) tarqalishi.

Seriyali tanlashda tanlangan seriyalarning kerakli soni xuddi tasodifiy tanlash usuli bilan bir xil tarzda aniqlanadi.

Seriyali namunalar soni jadvalda keltirilgan formulalar yordamida hisoblanadi. 7.10.

7.10-jadval

Misol. Zavodning mexanik sexida 100 nafar ishchi o‘nta brigadada mehnat qilmoqda. Ishchilarning malakasini o'rganish uchun ikkita jamoani o'z ichiga olgan 20% ketma-ket takrorlanmaydigan namunalar o'tkazildi. So'ralgan ishchilarning toifalar bo'yicha quyidagi taqsimoti olingan:

Mashina ustaxonasidagi ishchilarning o'rtacha toifasi yotadigan chegaralarni 0,997 ehtimollik bilan aniqlash kerak.

Yechim. Keling, jamoalar uchun namunaviy o'rtachalarni va umumiy o'rtachani guruh o'rtachalarining o'rtacha og'irligi sifatida aniqlaylik:

(5.25) formulalar yordamida qatorlararo dispersiyani aniqlaymiz:

Jadvaldagi formuladan foydalanib, o'rtacha tanlama xatosini hisoblaymiz. 7.9:

0,997 ehtimollik bilan tanlab olishning maksimal xatosini hisoblaymiz:

0,997 ehtimollik bilan shuni aytish mumkinki, mashinasozlik ustaxonasidagi ishchilarning o'rtacha toifasi diapazonda.

Bu namunaning o'rtacha ko'rsatkichi va umumiy populyatsiya o'rtasidagi tafovut bo'lib, ±6 (delta) dan oshmaydi.

Asoslangan Chebishev P. L teoremalari. o'rtacha xato qiymati tasodifiy takroriy tanlov bilan u formuladan foydalanib hisoblanadi (o'rtacha miqdoriy xarakteristikalar uchun):

bu yerda pay - tanlanma boshlanishdagi x atributining dispersiyasi;
n - tanlanma populyatsiyasining kattaligi.

Muqobil xarakteristika uchun nisbat uchun o'rtacha tanlab olish xatosi formulasi J. Bernulli teoremasi tomonidan formula bo'yicha hisoblanadi:

Bu erda p (1- p) - umumiy populyatsiyadagi xarakteristikaning ulushining tarqalishi;
n - namuna hajmi.

Umumiy populyatsiyadagi xarakteristikaning dispersiyasi aniq noma'lum bo'lganligi sababli, amalda tanlov qiymatidan foydalaniladi, bu esa tanlov asosidagi populyatsiya uchun hisoblanadi. katta sonlar qonuni. Ushbu qonunga ko'ra, katta tanlama hajmiga ega bo'lgan namunaviy populyatsiya umumiy populyatsiyaning xususiyatlarini juda aniq takrorlaydi.

Shuning uchun hisoblash formulalari tasodifiy qayta namuna olish uchun o'rtacha xato quyidagicha ko'rinadi:

1. O'rtacha miqdoriy tavsif uchun:

bu erda S ^ 2 - tanlanma populyatsiyasidagi x atributining dispersiyasi;
n - namuna hajmi.

Bu erda w (1 - w) - o'rganilayotgan xarakteristikaning namunaviy populyatsiyadagi nisbati dispersiyasi.

Ehtimollar nazariyasida u quyidagi formula bo'yicha namuna orqali ifodalanishi ko'rsatilgan:

hollarda kichik namuna, uning hajmi 30 dan kam bo'lsa, n / (n-1) koeffitsientini hisobga olish kerak. Keyin kichik namunaning o'rtacha xatosi quyidagi formula yordamida hisoblanadi:

Takrorlanmaydigan tanlab olish jarayonida umumiy populyatsiyadagi birliklar soni kamayganligi sababli, o'rtacha tanlama xatolarini hisoblash uchun yuqoridagi formulalarda radikal ifodani 1- (n / N) ga ko'paytirish kerak.

Ushbu turdagi namunalar uchun hisoblash formulalari quyidagicha ko'rinadi:

1. O'rtacha miqdoriy tavsif uchun:

bu erda N - umumiy aholi hajmi; n - namuna hajmi.

2. Ulanish uchun (muqobil atribut):

bu erda 1- (n / N) - umumiy populyatsiyadagi namunaga kiritilmagan birliklarning ulushi.

n har doim N dan kichik bo'lgani uchun, qo'shimcha omil 1 - (n/N) har doim birdan kichik bo'ladi. Bu shuni anglatadiki, takroriy tanlov bilan o'rtacha xato har doim takroriy tanlovga qaraganda kamroq bo'ladi. Tanlamaga kiritilmagan umumiy populyatsiyadagi birliklarning ulushi sezilarli bo'lsa, 1 - (n / N) qiymati birga yaqin bo'ladi va keyin umumiy formuladan foydalanib o'rtacha xato hisoblanadi.

O'rtacha xato quyidagi omillarga bog'liq:

1. Tasodifiy tanlash tamoyilini amalga oshirishda tanlab olishning o'rtacha xatosi, birinchi navbatda, tanlama hajmi bo'yicha aniqlanadi: raqam qanchalik katta bo'lsa, qiymatlar shunchalik kichik bo'ladi. o'rtacha tanlab olish xatosi. Ushbu populyatsiyaning ko'proq birliklari namunaviy kuzatish bilan qamrab olinganda umumiy populyatsiya aniqroq tavsiflanadi

2. O'rtacha xato xarakteristikaning o'zgaruvchanlik darajasiga ham bog'liq. O'zgaruvchanlik darajasi bilan tavsiflanadi. Xarakteristikaning o'zgarishi (dispersiya) qanchalik kichik bo'lsa, o'rtacha tanlab olish xatosi shunchalik kichik bo'ladi. Nol dispersiya bilan (atribut o'zgarmaydi), tanlab olishning o'rtacha xatosi nolga teng, shuning uchun populyatsiyadagi har qanday birlik butun populyatsiyani ushbu atribut bilan tavsiflaydi.

O'rtacha tanlab olish xatosi namuna populyatsiyasi parametrining mos keladigan populyatsiya parametridan o'rtacha qanchalik og'ishini ko'rsatadi. Agar berilgan hajmning ma'lum bir turining barcha mumkin bo'lgan namunalari xatolarining o'rtacha qiymatini hisoblasak ( n), bir xil umumiy populyatsiyadan olingan holda, biz ularning umumlashtiruvchi xarakteristikasini olamiz - o'rtacha tanlab olish xatosi ().

Tanlangan kuzatish nazariyasida qaysi biri individual ekanligini aniqlash uchun formulalar olinadi turli yo'llar bilan tanlash (takroriy va takrorlanmaydigan), foydalaniladigan namunalar turlari va baholangan statistik ko'rsatkichlar turlari.

Masalan, takroriy haqiqiy tasodifiy tanlama ishlatilsa, u quyidagicha aniqlanadi:

Xarakteristikaning o'rtacha qiymatini baholashda;

Agar atribut muqobil bo'lsa va ulush taxmin qilinsa.

Takrorlanmaydigan tasodifiy tanlovda formulalarga o'zgartirish kiritiladi (1 - n / N):

- xarakteristikaning o'rtacha qiymati uchun;

- ulush uchun.

Aynan shu xato qiymatini olish ehtimoli har doim 0,683 ga teng. Amalda, ular yuqori ehtimollik bilan ma'lumotlarni olishni afzal ko'radilar, ammo bu tanlab olish xatosi hajmining oshishiga olib keladi.

Tanlashning maksimal xatosi () tanlab olishning o'rtacha xatolari sonining t barobariga teng (namuna olish nazariyasida t koeffitsienti odatda ishonch koeffitsienti deb ataladi):

Agar tanlab olish xatosi ikki baravar ko'paytirilsa (t = 2), biz uning ma'lum chegaradan oshmasligi (bizning holatlarimizda o'rtacha xatolik ikki baravar) - 0,954 dan oshmaslik ehtimolini olamiz. Agar biz t = 3 ni olsak, unda ishonch ehtimoli 0,997 bo'ladi - deyarli aniq.

Marjinal tanlama xatosi darajasi quyidagi omillarga bog'liq:

• umumiy aholi birliklarining o'zgaruvchanlik darajasi;
• namuna hajmi;
• tanlangan tanlov sxemalari (takrorlanmaydigan tanlov kichikroq xato beradi);
• ishonch darajasi.

Agar tanlov hajmi 30 dan ortiq bo'lsa, u holda t qiymati normal taqsimot jadvalidan, agar kamroq bo'lsa - Student taqsimot jadvalidan aniqlanadi.

Oddiy taqsimot jadvalidan ishonch koeffitsientining ba'zi qiymatlarini keltiramiz.

Atributning o'rtacha qiymati va populyatsiyadagi ulush uchun ishonch oralig'i quyidagicha belgilanadi:

Shunday qilib, umumiy o'rtacha va ulush chegaralarini aniqlash quyidagi bosqichlardan iborat:

Namuna olishda xatolar har xil turlari tanlash

1. Aslida tasodifiy va mexanik namuna olish. Haqiqiy tasodifiy va mexanik namuna olishning o'rtacha xatosi jadvalda keltirilgan formulalar yordamida topiladi. 11.3.

11.2-misol. Kapital unumdorligi darajasini o'rganish uchun tasodifiy takroriy tanlab olish usuli yordamida 225 ta korxonadan 90 ta korxonada tanlanma so'rov o'tkazildi, natijada jadvalda keltirilgan ma'lumotlar paydo bo'ldi.

Ko'rib chiqilayotgan misolda biz 40% namunaga egamiz (90: 225 = 0,4 yoki 40%). Algoritm bosqichlari bo'yicha populyatsiyadagi xarakteristikaning o'rtacha qiymati uchun uning maksimal xatosi va chegaralarini aniqlaymiz:

1. Tanlama so'rovi natijalariga ko'ra, biz tanlama populyatsiyasidagi o'rtacha qiymat va dispersiyani hisoblaymiz:

O'rtacha namuna

O'rganilayotgan belgining namunaviy variatsiyasi

Bizning ma'lumotlarimiz uchun biz maksimal namuna olish xatosini aniqlaymiz, masalan, 0,954 ehtimollik bilan. Oddiy taqsimot funktsiyasining ehtimollik qiymatlari jadvalidan foydalanib (1-ilovada keltirilgan undan ko'chirmaga qarang), biz 0,954 ehtimolga mos keladigan ishonch koeffitsienti t qiymatini topamiz. 0,954 ehtimollik bilan t koeffitsienti 2 ga teng.

Shunday qilib, 1000 ta holatdan 954 ta holatda kapital unumdorligining o'rtacha qiymati 1,88 rubldan yuqori bo'lmaydi. va kamida 1,74 rubl.

Yuqorida takroriy tasodifiy tanlab olish sxemasidan foydalanilgan. Keling, tanlov takrorlanmaydigan tanlov sxemasi bo'yicha amalga oshirilgan deb hisoblasak, so'rov natijalari o'zgaradimi yoki yo'qligini bilib olaylik. Bunday holda, o'rtacha xato formula yordamida hisoblanadi

Keyin, ehtimollik 0,954 ga teng bo'lsa, maksimal tanlama xatosining qiymati quyidagicha bo'ladi:

Takrorlanmaydigan tasodifiy tanlashda xarakteristikaning o'rtacha qiymati uchun ishonch chegaralari quyidagi qiymatlarga ega bo'ladi:

Ikki tanlov sxemasining natijalarini taqqoslab, biz takroriy bo'lmagan tasodifiy tanlamadan foydalanish bir xil ishonchlilik ehtimoli bilan takroriy tanlovdan foydalanishga nisbatan aniqroq natijalar beradi degan xulosaga kelishimiz mumkin. Bundan tashqari, namuna hajmi qanchalik katta bo'lsa, bir tanlov sxemasidan ikkinchisiga o'tishda o'rtacha qiymatlar chegaralari shunchalik sezilarli darajada torayadi.

Misol ma'lumotlaridan foydalanib, biz kapital unumdorligi darajasi 2,0 rubldan oshmaydigan korxonalarning umumiy aholi sonidagi ulushi qaysi chegaralarda joylashganligini aniqlaymiz:

1. Keling, namunaviy ulushni hisoblaylik.

Sarmoya unumdorligi darajasi 2,0 rubldan oshmaydigan namunadagi korxonalar soni 60 dona. Keyin

m = 60, n = 90, w = m/n = 60: 90 = 0,667;

1. tanlanma populyatsiyadagi ulushning dispersiyasini hisoblang

1. foydalanilganda o'rtacha tanlab olish xatosi takrorlash sxemasi tanlov bo'ladi

Agar takrorlanmaydigan tanlab olish sxemasi qo'llanilgan deb faraz qilsak, populyatsiyaning cheklanganligi uchun tuzatishni hisobga olgan holda o'rtacha tanlab olish xatosi bo'ladi.

1. Ishonch ehtimolini belgilaymiz va tanlab olishning maksimal xatosini aniqlaymiz.

P = 0,997 ehtimollik qiymati bilan, normal taqsimot jadvaliga ko'ra, biz ishonch koeffitsienti t = 3 qiymatini olamiz (1-ilovada keltirilgan undan ko'chirmaga qarang):

Shunday qilib, 0,997 ehtimollik bilan shuni aytish mumkinki, aholining umumiy sonida kapital unumdorligi darajasi 2,0 rubldan oshmaydigan korxonalarning ulushi 54,7% dan kam emas va 78,7% dan ko'p emas.

1. Oddiy namuna. Oddiy namuna bilan ob'ektlarning umumiy populyatsiyasi k guruhga bo'linadi, keyin

N 1 + N 2 + … + N i + … + N k = N.

Har bir tipik guruhdan olingan birliklar hajmi qabul qilingan namuna olish usuliga bog'liq; ularning umumiy soni talab qilinadigan namuna hajmini tashkil qiladi

n 1 + n 2 + … + n i + … + n k = n.

Odatdagi guruhda tanlovni tashkil qilishning quyidagi ikkita usuli mavjud: tipik guruhlar hajmiga mutanosib va ​​guruhlardagi kuzatish birliklari o'rtasidagi atribut qiymatlarining o'zgarishi darajasiga proportsional. Keling, ulardan birinchisini ko'rib chiqaylik, chunki ular eng ko'p qo'llaniladi.

Odatdagi guruhlarning kattaligiga mutanosib ravishda tanlash ularning har birida quyidagi populyatsiya birliklari soni tanlanishini nazarda tutadi:

n = n i N i / N

bu erda n i - i-chi tipik guruhdan namuna uchun ajratilgan birliklar soni;

n - tanlamaning umumiy hajmi;

N i - umumiy populyatsiyadagi i- tipik guruhni tashkil etgan birliklar soni;

N - aholi birliklarining umumiy soni.

Guruhlar ichidagi birliklarni tanlash tasodifiy yoki mexanik namuna olish shaklida amalga oshiriladi.

O'rtacha va mutanosiblik uchun o'rtacha tanlab olish xatosini baholash uchun formulalar Jadvalda keltirilgan. 11.6.

Bu erda tipik guruhlarning guruh dispersiyalarining o'rtacha qiymati.

11.3-misol. Moskva universitetlaridan birida bir semestrda bir talabaning universitet kutubxonasiga o'rtacha davomatini aniqlash uchun talabalar o'rtasida namunaviy so'rov o'tkazildi. Buning uchun 5% takrorlanmaydigan tipik namunadan foydalanildi, ularning tipik guruhlari kurs raqamiga mos keladi. Odatdagi guruhlarning kattaligiga mutanosib tanlov bilan quyidagi ma'lumotlar olindi:

Har bir kurs bo'yicha imtihondan o'tishi kerak bo'lgan talabalar soni quyidagicha hisoblanadi:

boshqa guruhlar uchun ham xuddi shunday:

Namuna o'rtacha qiymatlarini taqsimlash, umumiy populyatsiyaning tarqalish xususiyatidan qat'i nazar, har doim n>100 uchun normal taqsimot qonuniga ega (yoki unga yaqinlashadi). Biroq, kichik namunalar bo'lsa, boshqa tarqatish qonuni qo'llaniladi - talabalar taqsimoti. Bunday holda, ishonch koeffitsienti T-taqsimot jadvalidan P ishonch ehtimoli qiymatiga qarab topiladi va 1-ilovada bog'liqlik sifatida taqdim etilgan Student t-tarqatish jadvalining bir qismi keltirilgan tanlama kattaligi bo'yicha ishonch ehtimoli va ishonch koeffitsienti t.

11.4-misol. Aytaylik, akademiyaning sakkiz talabasi o'rtasida o'tkazilgan so'rovnoma bunga tayyorgarlik ko'rdi sinov ishi Statistik ma'lumotlarga ko'ra, ular quyidagi soatlarni o'tkazdilar: 8,5; 8,0; 7,8; 9,0; 7.2; 6.2; 8.4; 6.6.

11.5-misol. Keling, 507 dan nechtasini hisoblaymiz sanoat korxonalari tekshirilishi kerak soliq idorasi, 0,997 ehtimollik bilan soliqlarni to'lashda qoidabuzarliklarga yo'l qo'ygan korxonalar ulushini aniqlash uchun. Avvalgi shunga o'xshash so'rov ma'lumotlariga ko'ra, standart og'ish 0,15; Namuna olish xatosi 0,05 dan yuqori bo'lmasligi kutilmoqda.

Takroriy tasodifiy tanlab olishdan foydalanganda tekshiring

Takroriy tasodifiy tanlov bo'lsa, tekshirish kerak bo'ladi

Ko'rib turganimizdek, takrorlanmaydigan tanlab olishdan foydalanish bizga ob'ektlarni ancha kam sonli tadqiq qilish imkonini beradi.

11.6-misol. So'rov rejalashtirilgan ish haqi sanoat korxonalarida tasodifiy, takrorlanmaydigan tanlab olishdan foydalangan holda. Agar tadqiqot vaqtida sanoatda ishchilar soni 100 000 kishini tashkil etgan bo‘lsa, tanlanma aholi soni qancha bo‘lishi kerak? Namuna olishning maksimal xatosi 100 rubldan oshmasligi kerak. 0,954 ehtimollik bilan. Sanoatdagi oldingi ish haqi so'rovlari natijalariga ko'ra, standart og'ish 500 rublni tashkil etishi ma'lum.

Shuning uchun bu muammoni hal qilish uchun namunaga kamida 100 kishini kiritish kerak.

Statistik aholi- ommaviy xarakterga, tipiklikka, sifat jihatidan bir xillikka va o'zgaruvchanlikning mavjudligiga ega bo'lgan birliklar to'plami.

Statistik aholi moddiy jihatdan mavjud ob'ektlardan (xodimlar, korxonalar, mamlakatlar, hududlar) iborat, ob'ekt hisoblanadi.

Aholi birligi— statistik populyatsiyaning har bir aniq birligi.

Xuddi shu statistik populyatsiya bir xarakteristikada bir jinsli va boshqasida heterojen bo'lishi mumkin.

Sifat bir xilligi- aholining barcha birliklarining qaysidir asosda o'xshashligi va boshqalarda o'xshash emasligi.

Statistik populyatsiyada bir populyatsiya birligi va boshqa birlik o'rtasidagi farqlar ko'pincha miqdoriy xarakterga ega. Populyatsiyaning turli birliklarining xarakteristikasi qiymatlarining miqdoriy o'zgarishi o'zgaruvchanlik deb ataladi.

Xususiyatning o'zgarishi- populyatsiyaning bir birligidan ikkinchisiga o'tish davrida belgining miqdoriy o'zgarishi (miqdoriy belgi uchun).

Imzo- bu mulk xarakterli xususiyat yoki birliklar, ob'ektlar va hodisalarning kuzatilishi yoki o'lchanishi mumkin bo'lgan boshqa xususiyati. Belgilar miqdoriy va sifatga bo'linadi. Populyatsiyaning alohida birliklarida belgi qiymatining xilma-xilligi va o'zgaruvchanligi deyiladi o'zgaruvchanlik.

Atributiv (sifat) xususiyatlarni raqamli ifodalash mumkin emas (jins bo'yicha aholi tarkibi). Miqdoriy xarakteristikalar sonli ifodaga ega (yosh bo'yicha aholi tarkibi).

Ko'rsatkich- bu ma'lum vaqt va makon sharoitlarida birliklar yoki agregatlarning har qanday xossasining umumlashtiruvchi miqdoriy va sifat tavsifi.

Baho kartasi o‘rganilayotgan hodisani har tomonlama aks ettiruvchi ko‘rsatkichlar yig‘indisidir.

• Belgisi - ish haqi
• Statistik aholi - barcha xodimlar
• Aholining birligi har bir xodim hisoblanadi
• Sifat bir xilligi - hisoblangan ish haqi
• Belgining o'zgarishi - raqamlar qatori

Populyatsiya va undan namuna

Asos - bir yoki bir nechta xususiyatlarni o'lchash natijasida olingan ma'lumotlar to'plami. Tasodifiy o'zgaruvchining bir qator kuzatuvlari bilan statistik jihatdan ifodalangan, haqiqatan ham kuzatilgan ob'ektlar to'plami. namuna olish, va faraziy mavjud (taxminiy) - umumiy aholi. Populyatsiya cheklangan bo'lishi mumkin (kuzatishlar soni N = konst) yoki cheksiz ( N = ∞) va populyatsiyadan olingan namuna har doim cheklangan miqdordagi kuzatishlar natijasidir. Namuna hosil qiluvchi kuzatuvlar soni deyiladi namuna hajmi. Agar namuna hajmi etarlicha katta bo'lsa ( n → ∞) namuna ko'rib chiqiladi katta, aks holda u namuna olish deb ataladi cheklangan hajm. Namuna ko'rib chiqiladi kichik, agar bir o'lchovli tasodifiy o'zgaruvchini o'lchashda namuna hajmi 30 dan oshmasa ( n<= 30 ) va bir vaqtning o'zida bir nechtasini o'lchashda ( k) ko'p o'lchovli munosabat fazosidagi xususiyatlar n Kimga k oshmaydi 10 (n/k< 10) . Namuna shakllari variatsion qator, agar uning a'zolari bo'lsa tartibli statistika, ya'ni tasodifiy o'zgaruvchining namunaviy qiymatlari X o'sish tartibida tartiblanadi (darajali), xarakteristikaning qiymatlari deyiladi variantlari.

Misol. Deyarli bir xil tasodifiy tanlangan ob'ektlar to'plami - Moskvaning bitta ma'muriy tumanidagi tijorat banklari ushbu tumandagi barcha tijorat banklarining umumiy aholisidan namuna sifatida va Moskvadagi barcha tijorat banklarining umumiy aholisidan namuna sifatida ko'rib chiqilishi mumkin. , shuningdek, mamlakat tijorat banklaridan namuna va boshqalar.

Namuna olishni tashkil etishning asosiy usullari

Statistik xulosalarning ishonchliligi va natijalarni mazmunli talqin qilish bunga bog'liq vakillik namunalar, ya'ni. umumiy populyatsiyaning xossalarini ifodalashning to'liqligi va etarliligi, unga nisbatan ushbu namunani vakillik deb hisoblash mumkin. Populyatsiyaning statistik xususiyatlarini o'rganish ikki yo'l bilan tashkil etilishi mumkin: foydalanish uzluksiz Va doimiy emas. Doimiy kuzatish hammasini tekshirishni nazarda tutadi birliklar o'rgangan umumiylik, A qisman (tanlab) kuzatish- faqat uning qismlari.

Namuna kuzatishni tashkil etishning beshta asosiy usuli mavjud:

1. oddiy tasodifiy tanlash, bunda ob'ektlar ob'ektlar populyatsiyasidan tasodifiy tanlanadi (masalan, jadval yoki tasodifiy sonlar generatori yordamida), mumkin bo'lgan namunalarning har biri teng ehtimolga ega. Bunday namunalar deyiladi aslida tasodifiy;

2. oddiy protsedura yordamida oddiy tanlash mexanik komponent yordamida amalga oshiriladi (masalan, sana, haftaning kuni, kvartira raqami, alifbo harflari va boshqalar) va shu tarzda olingan namunalar deyiladi. mexanik;

3. tabaqalashtirilgan tanlash hajmining umumiy populyatsiyasi kichik populyatsiyalarga yoki hajmning qatlamlariga (qatlamlariga) bo'linganligidan iborat. Qatlamlar statistik belgilariga koʻra bir jinsli obʼyektlardir (masalan, aholi yosh guruhlari yoki ijtimoiy tabaqaga koʻra qatlamlarga boʻlinadi; korxonalar tarmoqlar boʻyicha). Bunday holda, namunalar chaqiriladi tabaqalashtirilgan(aks holda, tabaqalashgan, tipik, rayonlashgan);

4. usullari serial shakllantirish uchun tanlov ishlatiladi serial yoki uyalar namunalari. Agar bir vaqtning o'zida "blok" yoki bir qator ob'ektlarni (masalan, tovarlar partiyasi, ma'lum seriyadagi mahsulotlar yoki mamlakatning hududiy-ma'muriy bo'linishidagi aholi) o'rganish kerak bo'lsa, ular qulaydir. Seriyalarni tanlash tasodifiy yoki mexanik ravishda amalga oshirilishi mumkin. Bunday holda, tovarlarning ma'lum bir partiyasini yoki butun hududiy birlikni (turar-joy binosi yoki blokini) to'liq tekshirish amalga oshiriladi;

5. birlashtirilgan(bosqichli) tanlash bir vaqtning o'zida bir nechta tanlash usullarini birlashtirishi mumkin (masalan, tabaqalashtirilgan va tasodifiy yoki tasodifiy va mexanik); bunday namuna deyiladi birlashtirilgan.

Tanlov turlari

tomonidan aql individual, guruhli va qo'shma tanlov farqlanadi. At individual tanlash umumiy populyatsiyaning alohida birliklari namunaviy populyatsiyaga tanlanadi, bilan guruh tanlash- birliklarning sifat jihatidan bir hil guruhlari (seriyalari) va birlashtirilgan tanlov birinchi va ikkinchi turlarning kombinatsiyasini o'z ichiga oladi.

tomonidan usuli tanlash ajralib turadi takroriy va takrorlanmaydigan namuna.

Takroriy tanlov deb ataladi, unda tanlamaga kiritilgan birlik asl to'plamga qaytmaydi va keyingi tanlovda qatnashmaydi; umumiy populyatsiyadagi birliklar soni esa N tanlash jarayonida kamayadi. At takrorlanadi tanlash ushlandi namunada ro'yxatdan o'tgandan so'ng birlik umumiy aholiga qaytariladi va shu bilan boshqa birliklar bilan birga keyingi tanlov jarayonida foydalanish uchun teng imkoniyatni saqlab qoladi; umumiy populyatsiyadagi birliklar soni esa N o'zgarishsiz qoladi (usul ijtimoiy-iqtisodiy tadqiqotlarda kam qo'llaniladi). Biroq, katta bilan N (N → ∞) uchun formulalar takrorlanadigan tanlash ular uchun yondashadi takrorlanadi tanlash va ikkinchisi amalda ko'proq qo'llaniladi ( N = konst).

Umumiy va tanlanma populyatsiya parametrlarining asosiy xarakteristikalari

Tadqiqotning statistik xulosalari tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlanishiga asoslanadi, kuzatilgan qiymatlar esa (x 1, x 2, ..., x n) tasodifiy miqdorning realizatsiyasi deyiladi X(n - namuna hajmi). Tasodifiy o'zgaruvchining umumiy populyatsiyada taqsimlanishi nazariy, ideal xarakterga ega va uning namunaviy analogi empirik tarqatish. Ba'zi nazariy taqsimotlar analitik tarzda belgilanadi, ya'ni. ularning parametrlari tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari fazosining har bir nuqtasida taqsimlash funktsiyasining qiymatini aniqlang. Namuna uchun taqsimlash funktsiyasini aniqlash qiyin va ba'zan imkonsizdir, shuning uchun parametrlari empirik ma'lumotlar asosida baholanadi, so'ngra ular nazariy taqsimotni tavsiflovchi analitik ifodaga almashtiriladi. Bunday holda, taxmin (yoki gipoteza) taqsimot turi haqida statistik jihatdan to'g'ri yoki noto'g'ri bo'lishi mumkin. Ammo har qanday holatda, namunadan qayta tiklangan empirik taqsimot faqat taxminiy ravishda haqiqiyni tavsiflaydi. Eng muhim tarqatish parametrlari matematik kutish va dispersiya.

O'z tabiatiga ko'ra taqsimotlar uzluksiz Va diskret. Eng yaxshi ma'lum bo'lgan uzluksiz taqsimot normal. Parametrlarning namunaviy analoglari va uning uchun: o'rtacha qiymat va empirik dispersiya. Ijtimoiy-iqtisodiy tadqiqotlarda diskretlar orasida eng ko'p qo'llaniladi muqobil (dixotom) tarqatish. Ushbu taqsimotning matematik kutish parametri nisbiy qiymatni ifodalaydi (yoki baham ko'ring) o'rganilayotgan xususiyatga ega bo'lgan aholi birliklari (u harf bilan ko'rsatilgan); bu xususiyatga ega bo'lmagan aholi ulushi harf bilan belgilanadi q (q = 1 - p). Muqobil taqsimotning dispersiyasi ham empirik analogga ega.

Tarqatish turiga va aholi birliklarini tanlash usuliga qarab, taqsimot parametrlarining xarakteristikalari boshqacha hisoblanadi. Nazariy va empirik taqsimotlarning asosiylari jadvalda keltirilgan. 9.1.

Namuna ulushi k n Tanlangan populyatsiyadagi birliklar sonining umumiy populyatsiyadagi birliklar soniga nisbati deyiladi:

kn = n/N.

Namuna fraktsiyasi w o'rganilayotgan xususiyatga ega bo'lgan birliklar nisbati x namuna hajmiga n:

w = n n / n.

Misol. 1000 donani o'z ichiga olgan tovarlar partiyasida, 5% namuna bilan namuna ulushi k n mutlaq qiymatda 50 birlik. (n = N*0,05); agar ushbu namunada 2 ta nuqsonli mahsulot topilsa, u holda namunadagi nuqson darajasi w 0,04 (w = 2/50 = 0,04 yoki 4%) bo'ladi.

Namuna populyatsiyasi umumiy populyatsiyadan farq qilganligi sababli, mavjud namuna olish xatolari.

Namuna olish xatolari

Har qanday holatda (doimiy va tanlangan) ikki turdagi xatolar yuzaga kelishi mumkin: ro'yxatga olish va vakillik. Xatolar ro'yxatga olish ega bo'lishi mumkin tasodifiy Va tizimli xarakter. Tasodifiy xatolar ko'plab boshqarib bo'lmaydigan sabablardan iborat bo'lib, beixtiyor va odatda bir-birini muvozanatlashtiradi (masalan, xonadagi haroratning o'zgarishi tufayli qurilma ishlashidagi o'zgarishlar).

Tizimli xatolar noaniqdir, chunki ular namuna uchun ob'ektlarni tanlash qoidalarini buzadi (masalan, o'lchash moslamasining sozlamalarini o'zgartirishda o'lchovlardagi og'ishlar).

Misol. Shahar aholisining ijtimoiy ahvolini baholash uchun 25 foiz oilani o‘rganish rejalashtirilgan. Agar har to'rtinchi xonadonni tanlash uning soniga asoslangan bo'lsa, unda faqat bitta turdagi (masalan, bir xonali kvartiralar) barcha kvartiralarni tanlash xavfi mavjud bo'lib, bu tizimli xatolikni ta'minlaydi va natijalarni buzadi; kvartira raqamini lot bo'yicha tanlash afzalroqdir, chunki xato tasodifiy bo'ladi.

Vakillik xatolari faqat namunaviy kuzatishga xosdir, ulardan qochish mumkin emas va ular tanlanma populyatsiya umumiy populyatsiyani to'liq ko'paytirmasligi natijasida yuzaga keladi. Namunadan olingan ko'rsatkichlarning qiymatlari umumiy populyatsiyadagi bir xil qiymatlar ko'rsatkichlaridan farq qiladi (yoki doimiy kuzatish natijasida olingan).

Namuna olishning noto'g'riligi populyatsiyadagi parametr qiymati va uning tanlanma qiymati o'rtasidagi farq. Miqdoriy belgining o'rtacha qiymati uchun u teng: , va ulush (muqobil xarakteristikasi) uchun - .

Namuna olishdagi xatolar faqat namunaviy kuzatishlarga xosdir. Bu xatolar qanchalik katta bo'lsa, empirik taqsimot nazariydan shunchalik farq qiladi. Empirik taqsimot parametrlari tasodifiy o'zgaruvchilardir, shuning uchun tanlab olish xatolari ham tasodifiy o'zgaruvchilardir, ular turli namunalar uchun turli qiymatlarni olishlari mumkin va shuning uchun hisoblash odatiy holdir. o'rtacha xato.

O'rtacha tanlab olish xatosi oʻrtacha tanlamaning matematik kutilganidan standart ogʻishini ifodalovchi kattalikdir. Tasodifiy tanlash printsipiga rioya qilgan holda, bu qiymat, birinchi navbatda, tanlov hajmiga va xarakteristikaning o'zgaruvchanlik darajasiga bog'liq: xarakteristikaning o'zgarishi (va shuning uchun qiymat) qanchalik katta va kichik bo'lsa, o'rtacha tanlab olish xatosi shunchalik kichik bo'ladi. . Umumiy va tanlanma populyatsiyalarning dispersiyalari o'rtasidagi bog'liqlik quyidagi formula bilan ifodalanadi:

bular. etarlicha katta bo'lsa, biz buni taxmin qilishimiz mumkin. O'rtacha tanlama xatosi namuna populyatsiyasi parametrining umumiy populyatsiya parametridan mumkin bo'lgan og'ishlarini ko'rsatadi. Jadvalda 9.2-jadvalda kuzatishni tashkil etishning turli usullari uchun tanlab olishning o'rtacha xatosini hisoblash uchun ifodalar keltirilgan.

Uzluksiz atribut uchun guruh ichidagi tanlama farqlarining o'rtacha qiymati qayerda;

Proporsiyaning guruh ichidagi dispersiyalarining o'rtachasi;

— tanlangan seriyalar soni, — seriyalarning umumiy soni;

,

th seriyasining o'rtacha ko'rsatkichi qayerda;

— doimiy xarakteristikalar uchun butun namunaviy populyatsiya uchun umumiy o'rtacha;

,

th qatordagi xarakteristikaning ulushi qayerda;

- butun namunadagi populyatsiyadagi xarakteristikaning umumiy ulushi.

Biroq, o'rtacha xatoning kattaligi faqat ma'lum bir ehtimollik P (P ≤ 1) bilan baholanishi mumkin. Lyapunov A.M. tanlab olish vositalarining taqsimlanishi va shuning uchun ularning umumiy o'rtacha qiymatdan chetga chiqishi, umumiy populyatsiyaning cheklangan o'rtacha va cheklangan dispersiyaga ega bo'lishi sharti bilan, etarlicha katta son uchun taxminan normal taqsimot qonuniga bo'ysunishini isbotladi.

Matematik jihatdan o'rtacha uchun bu bayonot quyidagicha ifodalanadi:

va ulush uchun (1) ifoda quyidagi shaklni oladi:

Qayerda - Mavjud marginal tanlama xatosi, bu o'rtacha tanlab olish xatosining ko'pligi , va ko'plik koeffitsienti W.S. tomonidan taklif qilingan Talaba mezoni ("ishonch koeffitsienti") hisoblanadi. Gosset (taxallusi "Talaba"); turli xil o'lchamdagi namunalar uchun qiymatlar maxsus jadvalda saqlanadi.

Shuning uchun (3) ifodani quyidagicha o'qish mumkin: ehtimollik bilan P = 0,683 (68,3%) tanlanma va umumiy o'rtacha o'rtasidagi farq o'rtacha xatoning bir qiymatidan oshmasligi haqida bahslashish mumkin m(t=1), ehtimollik bilan P = 0,954 (95,4%)- bu ikki o'rtacha xato qiymatidan oshmaydi m (t = 2) , ehtimollik bilan P = 0,997 (99,7%)- uchta qiymatdan oshmasligi kerak m (t = 3) . Shunday qilib, bu farqning o'rtacha xatolikdan uch baravar oshishi ehtimoli aniqlanadi xato darajasi va ortiq emas 0,3% .

Jadvalda 9.3 maksimal namuna olish xatosini hisoblash uchun formulalarni ko'rsatadi.

Namuna natijalarini aholi uchun umumlashtirish

Namuna kuzatishning yakuniy maqsadi umumiy populyatsiyani tavsiflashdir. Kichik tanlanma o'lchamlari bilan parametrlarning empirik baholari ( va ) ularning haqiqiy qiymatlaridan ( va ) sezilarli darajada farq qilishi mumkin. Shuning uchun, parametrlarning namunaviy qiymatlari ( va ) uchun haqiqiy qiymatlar ( va ) yotadigan chegaralarni belgilash zarurati mavjud.

Ishonch oralig'i umumiy populyatsiyaning har qanday parametri th bu parametr qiymatlarining tasodifiy diapazoni bo'lib, ehtimollik 1 ga yaqin ( ishonchlilik) ushbu parametrning haqiqiy qiymatini o'z ichiga oladi.

Marjinal xato namunalar Δ umumiy aholi va ularning xususiyatlarining chegaraviy qiymatlarini aniqlash imkonini beradi ishonch oraliqlari, ular teng:

Pastki chegara ishonch oralig'i ayirish orqali olinadi maksimal xato namunaviy o'rtacha (ulush) dan va uni qo'shish orqali yuqori.

Ishonch oralig'i o'rtacha uchun u maksimal tanlab olish xatosidan foydalanadi va ma'lum bir ishonch darajasi uchun quyidagi formula bilan aniqlanadi:

Bu ma'lum bir ehtimollik bilan degan ma'noni anglatadi R, bu ishonch darajasi deb ataladi va qiymat bilan yagona aniqlanadi t, o'rtachaning haqiqiy qiymati dan oralig'ida yotadi, deb bahslashish mumkin , va ulushning haqiqiy qiymati dan oralig'ida

Uchta standart ishonch darajasi uchun ishonch oralig'ini hisoblashda P = 95%, P = 99% va P = 99,9% qiymat tomonidan tanlanadi. Erkinlik darajalari soniga qarab ilovalar. Agar namuna hajmi etarlicha katta bo'lsa, unda qiymatlar ushbu ehtimolliklarga mos keladi t teng: 1,96, 2,58 Va 3,29 . Shunday qilib, marjinal tanlama xatosi populyatsiya xususiyatlarining chegaraviy qiymatlarini va ularning ishonch oralig'ini aniqlashga imkon beradi:

Ijtimoiy-iqtisodiy tadqiqotlarda tanlanma kuzatish natijalarini aholining keng qatlamlariga kengaytirish o'ziga xos xususiyatlarga ega, chunki bu uning barcha turlari va guruhlarini to'liq ifodalashni talab qiladi. Bunday taqsimlash imkoniyati uchun asos hisob hisoblanadi nisbiy xato:

Qayerda Δ % - nisbiy maksimal tanlab olish xatosi; , .

Namuna kuzatishni populyatsiyaga kengaytirishning ikkita asosiy usuli mavjud: to'g'ridan-to'g'ri qayta hisoblash va koeffitsient usuli.

Mohiyat to'g'ridan-to'g'ri konvertatsiya qilish tanlab olingan o'rtacha!!\overline(x)ni aholi soniga ko'paytirishdan iborat.

Misol. Shahardagi kichkintoylarning o'rtacha soni namuna olish usuli bilan hisoblansin va bir kishiga teng bo'lsin. Agar shaharda 1000 ta yosh oila bo'lsa, u holda shahar bolalar bog'chalarida talab qilinadigan o'rinlar soni ushbu o'rtacha ko'rsatkichni umumiy aholi sonining N = 1000 soniga ko'paytirish yo'li bilan olinadi, ya'ni. 1200 o‘ringa ega bo‘ladi.

Oran usuli Doimiy kuzatish ma'lumotlarini aniqlashtirish uchun tanlab kuzatish o'tkaziladigan holatda foydalanish maqsadga muvofiqdir.

Quyidagi formuladan foydalaniladi:

bu erda barcha o'zgaruvchilar populyatsiya hajmi:

Majburiy namuna hajmi

Ruxsat etilgan tanlab olish xatosining oldindan belgilangan qiymati bilan namunaviy kuzatishni rejalashtirishda talab qilinadigan qiymatni to'g'ri baholash kerak. namuna hajmi. Ushbu hajm xatolik darajasining ruxsat etilgan qiymatini kafolatlaydigan (kuzatishni tashkil etish usulini hisobga olgan holda) berilgan ehtimollik asosida namunaviy kuzatish paytida ruxsat etilgan xatolik asosida aniqlanishi mumkin. Kerakli namuna hajmini aniqlash uchun formulalar n to'g'ridan-to'g'ri maksimal tanlama xatosi formulalaridan osongina olinishi mumkin. Shunday qilib, marjinal xatoning ifodasidan:

namuna hajmi bevosita aniqlanadi n:

Ushbu formula shuni ko'rsatadiki, maksimal namuna olish xatosi kamayadi Δ talab qilinadigan namuna hajmi sezilarli darajada oshadi, bu dispersiya va Student t testining kvadratiga proportsionaldir.

Kuzatishni tashkil etishning muayyan usuli uchun kerakli tanlama hajmi jadvalda keltirilgan formulalar bo'yicha hisoblanadi. 9.4.

Amaliy hisoblash misollari

Misol 1. Uzluksiz miqdoriy xarakteristikalar uchun o'rtacha qiymat va ishonch oralig'ini hisoblash.

Kreditorlar bilan hisob-kitob qilish tezligini baholash uchun bankda 10 ta to'lov hujjatlaridan tasodifiy tanlab olish amalga oshirildi. Ularning qiymatlari teng bo'lib chiqdi (kunlarda): 10; 3; 15; 15; 22; 7; 8; 1; 19; 20.

Ehtimollik bilan zarur P = 0,954 marjinal xatoni aniqlang Δ namunaviy o'rtacha va o'rtacha hisoblash vaqtining ishonch chegaralari.

Yechim. O'rtacha qiymat jadvaldagi formuladan foydalanib hisoblanadi. Namuna populyatsiyasi uchun 9.1

Dispersiya jadvaldagi formuladan foydalanib hisoblanadi. 9.1.

Kunning o'rtacha kvadrat xatosi.

O'rtacha xato quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

bular. o'rtacha x ± m = 12,0 ± 2,3 kun.

O'rtacha ishonchliligi edi

Jadvaldagi formuladan foydalanib, maksimal xatoni hisoblaymiz. 9.3 takroriy tanlab olish uchun, chunki populyatsiya soni noma'lum va uchun P = 0,954 ishonch darajasi.

Shunday qilib, o'rtacha qiymat `x ± D = `x ± 2m = 12,0 ± 4,6, ya'ni. uning haqiqiy qiymati 7,4 dan 16,6 kungacha bo'lgan oraliqda yotadi.

Talabaning t-jadvalidan foydalanish. Ilova bizga n = 10 - 1 = 9 erkinlik darajasi uchun olingan qiymat 0,001 funt sterling ahamiyatlilik darajasi bilan ishonchli degan xulosaga kelishimizga imkon beradi, ya'ni. natijada olingan o'rtacha qiymat 0 dan sezilarli darajada farq qiladi.

Misol 2. Ehtimollikni baholash (umumiy ulush) p.

1000 ta oilaning ijtimoiy holatini oʻrganishning mexanik tanlov usuli kam taʼminlangan oilalar ulushi 1000 ta oilaning ijtimoiy holatini oʻrganishni aniqladi. w = 0,3 (30%)(namuna edi 2% , ya'ni. n/N = 0,02). Ishonch darajasi bilan talab qilinadi p = 0,997 ko'rsatkichni aniqlang r viloyat bo'ylab kam ta'minlangan oilalar.

Yechim. Taqdim etilgan funktsiya qiymatlari asosida F(t) berilgan ishonch darajasini toping P = 0,997 ma'nosi t = 3(3-formulaga qarang). Kasrning chegaraviy xatosi w jadvaldagi formula bo'yicha aniqlang. Takrorlanmaydigan namuna olish uchun 9.3 (mexanik namuna olish har doim takrorlanmaydi):

Maksimal nisbiy tanlama xatosi % bo'ladi:

Mintaqada kam ta'minlangan oilalarning ehtimoli (umumiy ulushi) bo'ladi r=w±Dw, va p ishonch chegaralari ikki tomonlama tengsizlik asosida hisoblanadi:

w — D w ≤ p ≤ w — D w, ya'ni. p ning haqiqiy qiymati quyidagilardan iborat:

0,3 — 0,014 < p <0,3 + 0,014, а именно от 28,6% до 31,4%.

Shunday qilib, 0,997 ehtimollik bilan aytish mumkinki, viloyatdagi barcha oilalar orasida kam ta’minlangan oilalarning ulushi 28,6 foizdan 31,4 foizgacha.

3-misol. Intervalli qator bilan belgilangan diskret xarakteristikalar uchun o'rtacha qiymat va ishonch oralig'ini hisoblash.

Jadvalda 9.5. buyurtmalarni ishlab chiqarish uchun arizalarni korxona tomonidan amalga oshirish muddatlariga ko'ra taqsimlash ko'rsatilgan.

Yechim. Buyurtmalarni bajarish uchun o'rtacha vaqt quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

O'rtacha davr quyidagicha bo'ladi:

= (3*20 + 9*80 + 24*60 + 48*20 + 72*20)/200 = 23,1 oy.

Jadvalning oxirgi ustunidagi p i dagi ma'lumotlardan foydalansak, xuddi shunday javobni olamiz. 9.5 formuladan foydalangan holda:

E'tibor bering, oxirgi gradatsiya oralig'ining o'rtasi uni oldingi gradatsiya oralig'ining kengligi 60 - 36 = 24 oyga teng bo'lgan sun'iy ravishda to'ldirish orqali topiladi.

Farq formula yordamida hisoblanadi

Qayerda x i- intervalli qatorning o'rtasi.

Shuning uchun!!\sigma = \frac (20^2 + 14^2 + 1 + 25^2 + 49^2)(4) va o'rtacha kvadrat xatosi .

O'rtacha xato oylik formuladan foydalanib hisoblanadi, ya'ni. o'rtacha qiymat!!\overline(x) ± m = 23,1 ± 13,4.

Jadvaldagi formuladan foydalanib, maksimal xatoni hisoblaymiz. 9,3 takroriy tanlov uchun, chunki aholi soni noma'lum, 0,954 ishonch darajasi uchun:

Shunday qilib, o'rtacha:

bular. uning haqiqiy qiymati 0 dan 50 oygacha bo'lgan oraliqda yotadi.

4-misol. Tijorat bankidagi N = 500 ta korporatsiya korxonalarining kreditorlari bilan hisob-kitoblar tezligini aniqlash uchun tasodifiy takrorlanmaydigan tanlov usulidan foydalangan holda tanlanma tadqiqot o'tkazish kerak. Talab qilinadigan namuna hajmi n ni aniqlang, shunda P = 0,954 ehtimolligi bilan o'rtacha tanlama xatosi 3 kundan oshmaydi, agar sinov baholari standart og'ish s 10 kun ekanligini ko'rsatgan bo'lsa.

Yechim. Kerakli tadqiqotlar sonini aniqlash uchun n, jadvaldan takrorlanmaydigan tanlash formulasidan foydalanamiz. 9.4:

Unda t qiymati P = 0,954 ishonch darajasidan aniqlanadi. U 2 ga teng. O'rtacha kvadrat qiymati s = 10, populyatsiya kattaligi N = 500 va o'rtachaning maksimal xatosi. Δ x = 3. Ushbu qiymatlarni formulaga almashtirsak, biz quyidagilarni olamiz:

bular. Kerakli parametr - kreditorlar bilan hisob-kitoblar tezligini baholash uchun 41 ta korxona namunasini tuzish kifoya.