Bernulli formulasi- ehtimollik nazariyasida hodisaning yuzaga kelish ehtimolini topish imkonini beruvchi formula A (\displaystyle A) mustaqil testlarda. Bernoulli formulasi etarlicha ko'p sonli testlar bilan ko'p sonli hisob-kitoblardan - ehtimollarni qo'shish va ko'paytirishdan xalos bo'lishga imkon beradi. Ushbu formulani yaratgan taniqli shveytsariyalik matematik Yakob Bernulli sharafiga nomlangan.
Entsiklopedik YouTube
1 / 3
✪ Ehtimollar nazariyasi. 22. Bernulli formulasi. Muammoni hal qilish
✪ Bernulli formulasi
✪ 20 Bernoulli Formula testlarini takrorlash
Subtitrlar
Formulyatsiya
Teorema. Agar ehtimollik p (\displaystyle p) hodisaning yuzaga kelishi A (\displaystyle A) har bir sinovda doimiy, keyin esa ehtimollik P k , n (\displaystyle P_(k,n)) bu voqea A (\displaystyle A) aniq keladi k (\displaystyle k) har bir marta n (\displaystyle n) mustaqil testlar quyidagilarga teng: P k , n = C n k ⋅ p k ⋅ q n − k (\displaystyle P_(k,n)=C_(n)^(k)\cdot p^(k)\cdot q^(n-k)), Qayerda q = 1 − p (\displaystyle q=1-p).
Isbot
U amalga oshirilsin n (\displaystyle n) mustaqil testlar, va ma'lumki, har bir sinov natijasida hodisa A (\displaystyle A) ehtimollik bilan yuzaga keladi P (A) = p (\ displaystyle P \ chap (A \ o'ng) = p) va shuning uchun ehtimollik bilan yuzaga kelmaydi P (A ¯) = 1 - p = q (\displaystyle P\left((\bar (A))\o'ng)=1-p=q). Shuningdek, ehtimollik sinovlari paytida p (\displaystyle p) Va q (\displaystyle q) o'zgarishsiz qoladi. Natijada yuzaga kelish ehtimoli qanday n (\displaystyle n) mustaqil testlar, hodisa A (\displaystyle A) aniq keladi k (\displaystyle k) bir marta?
Ma'lum bo'lishicha, voqea sodir bo'lgan sinov natijalarining "muvaffaqiyatli" kombinatsiyasi sonini aniq hisoblash mumkin. A (\displaystyle A) keladi k (\displaystyle k) har bir marta n (\displaystyle n) mustaqil testlar - bu aniq kombinatsiyalar soni n (\displaystyle n) tomonidan k (\displaystyle k) :
C n (k) = n !{k!\left(n-k\right)!}}} !}.
k! A (\displaystyle A)(n - k) !
(\ displaystyle C_ (n) (k) = (\ frac (n.) n (\displaystyle n) Shu bilan birga, barcha testlar mustaqil bo'lgani uchun va ularning natijalari bir-biriga mos kelmaydi (hodisa A (\displaystyle A) aniq keladi k (\displaystyle k) sodir bo'ladi yoki yo'q), keyin "muvaffaqiyatli" kombinatsiyani olish ehtimoli to'liq teng: . Nihoyat, buning ehtimolini topish uchun mustaqil test hodisasi Yana bir bor, barcha "muvaffaqiyatli" kombinatsiyalarni olish ehtimolini qo'shishingiz kerak. Barcha "muvaffaqiyatli" kombinatsiyalarni olish ehtimoli bir xil va tengdir p k ⋅ q n − k (\displaystyle p^(k)\cdot q^(n-k))
P k , n = C n k ⋅ p k ⋅ q n − k = C n k ⋅ p k ⋅ (1 − p) n − k (\displaystyle P_(k,n)=C_(n)^(k)\cdot p^( k)\cdot q^(n-k)=C_(n)^(k)\cdot p^(k)\cdot (1-p)^(n-k)).
Oxirgi ifoda Bernulli formulasidan boshqa narsa emas. Shuni ham ta'kidlash kerakki, voqealar guruhining to'liqligi tufayli u to'g'ri bo'ladi:
∑ k = 0 n (P k , n) = 1 (\displaystyle \sum _(k=0)^(n)(P_(k,n))=1).
Takroriy mustaqil testlarning ta'rifi. Ehtimollik va eng ehtimolli sonni hisoblash uchun Bernoulli formulalari. Bernulli formulasi uchun asimptotik formulalar (lokal va integral, Laplas teoremalari). Integral teoremadan foydalanish. Kutilmagan tasodifiy hodisalar uchun Puasson formulasi.
Takroriy mustaqil testlar
Amalda biz qayta-qayta takrorlangan testlar shaklida ifodalanishi mumkin bo'lgan vazifalar bilan shug'ullanishimiz kerak, ularning har biri natijasida A hodisasi paydo bo'lishi yoki paydo bo'lmasligi mumkin. Bunda qiziq bo'lgan narsa har bir alohida sinovning natijasi emas, balki ma'lum miqdordagi sinovlar natijasida yuzaga kelgan A hodisasining umumiy sonidir n ta sinovlar natijasida A hodisasining har qanday soni m bo'lgan holatlarni ko'rib chiqing va har bir sinovda A hodisasining paydo bo'lish ehtimoli doimiy bo'ladi. takrorlangan mustaqil.
Mustaqil sinovga misol sifatida bir nechta partiyalardan olingan mahsulotlarning yaroqliligini tekshirish mumkin. Agar ushbu partiyalardagi nuqsonlar foizi bir xil bo'lsa, tanlangan mahsulotning nuqsonli bo'lish ehtimoli har bir holatda doimiy raqamdir.
Bernulli formulasi
Keling, kontseptsiyadan foydalanaylik murakkab hodisa, bu i-sinovda A hodisaning paydo bo'lishi yoki ro'y bermasligidan iborat bir nechta elementar hodisalarning kombinatsiyasini anglatadi. n ta mustaqil sinov o'tkazilsin, ularning har birida A hodisasi p ehtimollik bilan paydo bo'lishi mumkin yoki q=1-p ehtimol bilan paydo bo'lmasligi mumkin. B_m hodisasini ko'rib chiqaylik, ya'ni A hodisasi ushbu n ta sinovda aynan m marta sodir bo'ladi va shuning uchun aniq (n-m) marta sodir bo'lmaydi. belgilaylik A_i~(i=1,2,\ldots,(n)) A hodisasining yuzaga kelishi, a \overline(A)_i - i-sinovda A hodisaning sodir bo'lmasligi. Sinov shartlarining doimiyligi tufayli bizda mavjud
A hodisasi qarama-qarshi hodisa bilan almashib, turli ketma-ketlikda yoki kombinatsiyalarda m marta paydo bo'lishi mumkin \overline(A) . Ushbu turdagi mumkin bo'lgan kombinatsiyalar soni m ning n ta elementining kombinatsiyalari soniga teng, ya'ni C_n ^ m. Binobarin, B_m hodisasini bir-biriga mos kelmaydigan murakkab hodisalar yig'indisi sifatida ifodalash mumkin va hadlar soni C_n^m ga teng:
B_m=A_1A_2\cdots(A_m)\overline(A)_(m+1)\cdots\overline(A)_n+\cdots+\overline(A)_1\overline(A)_2\cdots\overline(A)_( n-m)A_(n-m+1)\cdots(A_n),
bu yerda har bir mahsulot hodisani A m marta va \overline(A) - (n-m) marta o'z ichiga oladi.
Mustaqil hodisalar uchun ehtimollarni ko'paytirish teoremasiga ko'ra (3.1) formulaga kiritilgan har bir murakkab hodisaning ehtimoli p^(m)q^(n-m) ga teng. Bunday hodisalarning umumiy soni C_n ^ m ga teng bo'lganligi sababli, mos kelmaydigan hodisalar uchun ehtimollarni qo'shish teoremasidan foydalanib, biz B_m hodisasining ehtimolini olamiz (biz uni P_(m, n) deb belgilaymiz)
P_(m,n)=C_n^mp^(m)q^(n-m)\to'rt \matn(yoki)\to'rt P_(m,n)=\frac(n){m!(n-m)!}p^{m}q^{n-m}. !}
Formula (3.2) deyiladi Bernulli formulasi, va ularning har birida A hodisaning yuzaga kelish ehtimolining mustaqilligi va doimiyligi shartini qanoatlantiradigan takroriy sinovlar deyiladi. Bernoulli testlari, yoki Bernoulli sxemasi.
Misol 1. Torna dastgohida qismlarga ishlov berishda bardoshlik zonasidan tashqariga chiqish ehtimoli 0,07 ga teng. Bir siljish paytida tasodifiy tanlangan besh qismdan birining diametri belgilangan tolerantlikka mos kelmaydigan o'lchamlarga ega bo'lish ehtimolini aniqlang.
Yechim. Muammoning sharti Bernulli sxemasi talablarini qondiradi. Shuning uchun, taxmin qilish n=5,\,m=1,\,p=0,\!07, formuladan foydalanib (3.2) olamiz
P_(1,5)=C_5^1(0,\!07)^(1)(0,\!93)^(5-1)\taxminan0,\!262.
2-misol. Kuzatishlar ma'lum bir hududda sentyabr oyida 12 yomg'irli kun bo'lishini aniqladi. Bu oyda tasodifiy tanlangan 8 kundan 3 kuni yomg'irli bo'lish ehtimoli qanday?
Yechim.
P_(3;8)=C_8^3(\chap(\frac(12)(30)\o'ng)\^3{\left(1-\frac{12}{30}\right)\!}^{8-3}=\frac{8!}{3!(8-3)!}{\left(\frac{2}{5}\right)\!}^3{\left(\frac{3}{5}\right)\!}^5=56\cdot\frac{8}{125}\cdot\frac{243}{3125}=\frac{108\,864}{390\,625}\approx0,\!2787. !}
Voqea sodir bo'lishining eng ehtimol soni
Katta ehtimol bilan sodir bo'lgan sana n ta mustaqil sinovdagi A hodisasi m_0 soni deb ataladi, buning uchun bu raqamga mos keladigan ehtimollik A hodisasining yuzaga kelishining boshqa mumkin bo'lgan sonining har birining ehtimolidan kattaroq yoki hech bo'lmaganda kam bo'lmagan. Eng mumkin bo'lgan sonni aniqlash uchun hodisaning mumkin bo'lgan sonining ehtimolini hisoblash shart emas, n sinovlar sonini va alohida sinovda A hodisasining paydo bo'lish ehtimolini bilish kifoya. P_(m_0,n) ni eng ehtimolli m_0 soniga mos keladigan ehtimollik bilan belgilaymiz. Formuladan (3.2) foydalanib, biz yozamiz
P_(m_0,n)=C_n^(m_0)p^(m_0)q^(n-m_0)=\frac(n){m_0!(n-m_0)!}p^{m_0}q^{n-m_0}. !}
Eng mumkin bo'lgan sonning ta'rifiga ko'ra, A hodisasining sodir bo'lish ehtimoli mos ravishda m_0+1 va m_0-1 marta, hech bo'lmaganda P_ (m_0,n) ehtimolidan oshmasligi kerak, ya'ni.
P_(m_0,n)\geqslant(P_(m_0+1,n));\quad P_(m_0,n)\geqslant(P_(m_0-1,n))
Tengsizliklarga P_(m_0,n) qiymatini va P_(m_0+1,n) va P_(m_0-1,n) ehtimollik ifodalarini qo‘yib, hosil bo‘ladi.
Ushbu tengsizliklarni m_0 uchun yechish orqali biz hosil qilamiz
M_0\geqslant(np-q),\quad m_0\leqslant(np+p)
Oxirgi tengsizliklarni birlashtirib, biz ikki barobar tengsizlikni olamiz, bu eng ehtimoliy sonni aniqlash uchun ishlatiladi:
Np-q\leqslant(m_0)\leqslant(np+p).
Tengsizlik (3.4) bilan aniqlangan oraliq uzunligi birga teng bo'lgani uchun, ya'ni.
(np+p)-(np-q)=p+q=1,
va hodisa faqat n ta sinovda butun son marta sodir bo'lishi mumkin, unda shuni yodda tutish kerak:
1) agar np-q butun son bo'lsa, u holda eng ehtimolli sonning ikkita qiymati mavjud, xususan: m_0=np-q va m"_0=np-q+1=np+p ;
2) agar np-q kasr son bo'lsa, u holda bitta eng ehtimolli son mavjud, ya'ni: (3.4) tengsizlikdan olingan kasr sonlar orasidagi yagona butun son;
3) agar np butun son bo'lsa, u holda bitta eng ehtimolli son mavjud, ya'ni: m_0=np.
At katta qiymatlar n eng ehtimolli songa mos keladigan ehtimollikni hisoblash uchun (3.3) formuladan foydalanish noqulay. Agar Stirling formulasini tenglikka almashtirsak (3.3)
N!\taxminan(n^ne^(-n)\sqrt(2\pi(n))),
etarlicha katta n uchun amal qiladi va eng ehtimolli m_0=np sonini qabul qilsak, eng ehtimolli songa mos keladigan ehtimollikni taxminiy hisoblash formulasini olamiz:
P_(m_0,n)\taxminan\frac(n^ne^(-n)\sqrt(2\pi(n))\,p^(np)q^(nq))((np)^(np) e^(-np)\sqrt(2\pi(np))\,(nq)^(nq)e^(-nq)\sqrt(2\pi(nq)))=\frac(1)(\ sqrt(2\pi(npq)))=\frac(1)(\sqrt(2\pi)\sqrt(npq)).
2-misol. Ma’lumki, zavod tomonidan savdo bazasiga yetkazib berilayotgan mahsulotlarning \frac(1)(15) qismi standartning barcha talablariga javob bermaydi. Bazaga 250 dona mahsulot partiyasi yetkazib berildi. Standart talablariga javob beradigan mahsulotlarning eng ehtimoliy sonini toping va ushbu partiyada mahsulotlarning eng ko'p bo'lishi ehtimolini hisoblang.
Yechim. Shart bo'yicha n=250,\,q=\frac(1)(15),\,p=1-\frac(1)(15)=\frac(14)(15). Tengsizlikka ko'ra (3.4) biz bor
250\cdot\frac(14)(15)-\frac(1)(15)\leqslant(m_0)\leqslant250\cdot\frac(14)(15)+\frac(1)(15)
qayerda 233,\!26\leqslant(m_0)\leqslant234,\!26. Shunday qilib, 250 dona partiyada standart talablariga javob beradigan mahsulotlarning eng ko'p soni. 234 ga teng. (3.5) formulaga ma’lumotlarni almashtirib, partiyadagi mahsulotlarning eng ehtimoliy soniga ega bo‘lish ehtimolini hisoblaymiz:
P_(234,250)\taxminan\frac(1)(\sqrt(2\pi\cdot250\cdot\frac(14)(15)\cdot\frac(1)(15)))\taxminan0,\!101
Mahalliy Laplas teoremasi
n ning katta qiymatlari uchun Bernoulli formulasidan foydalanish juda qiyin. Masalan, agar n=50,\,m=30,\,p=0,\!1, keyin P_(30.50) ehtimolligini topish uchun ifoda qiymatini hisoblash kerak.
P_(30.50)=\frac(50{30!\cdot20!}\cdot(0,\!1)^{30}\cdot(0,\!9)^{20} !}
Tabiiyki, savol tug'iladi: Bernoulli formulasidan foydalanmasdan qiziqish ehtimolini hisoblash mumkinmi? Bu mumkin ekan. Laplasning mahalliy teoremasi asimptotik formulani beradi, agar sinovlar soni yetarlicha ko'p bo'lsa, n ta sinovda aynan m marta sodir bo'ladigan hodisalar ehtimolini taxminan topish imkonini beradi.
3.1 teorema.
Agar har bir sinovda A hodisasining ro‘y berish ehtimoli p o‘zgarmas va nol va birdan farq qilsa, u holda A hodisasining n ta sinovda aynan m marta paydo bo‘lish ehtimoli P_(m,n) taxminan teng bo‘ladi (aniqrog‘i, kattaroq n) funksiya qiymatiga Y=\frac(1)(\sqrt(npq))\frac(e^(-x^2/2))(\sqrt(2\pi))=\frac(\varphi(x))(\sqrt (npq))
da. Funktsiya qiymatlarini o'z ichiga olgan jadvallar mavjud\varphi(x)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))\,e^(-x^2/2)) , x argumentining ijobiy qiymatlariga mos keladi. uchun salbiy qiymatlar argumentlar bir xil jadvallardan foydalanadi, chunki \varphi(x) funksiyasi juft, ya'ni..
\varphi(-x)=\varphi(x)
Demak, A hodisasining n ta sinovda aynan m marta paydo bo'lish ehtimoli taxminan P_(m,n)\taxminan\frac(1)(\sqrt(npq))\,\varphi(x), Qayerda.
x=\frac(m-np)(\sqrt(npq))
Yechim. Shart bo'yicha 3-misol. A hodisaning har bir sinovda sodir bo'lish ehtimoli 0,2 ga teng bo'lsa, 400 ta sinovda A hodisaning roppa-rosa 80 marta sodir bo'lish ehtimolini toping.. Keling, asimptotik Laplas formulasidan foydalanamiz:
P_(80,400)\taxminan\frac(1)(\sqrt(400\cdot0,\!2\cdot0,\!8))\,\varphi(x)=\frac(1)(8)\,\varphi (x).
Vazifa ma'lumotlari bilan aniqlangan x qiymatini hisoblaymiz:
X=\frac(m-np)(\sqrt(npq))=\frac(80-400\cdot0,\!2)(8)=0.
1-jadvalga muvofiq biz topamiz \varphi(0)=0,\!3989. Kerakli ehtimollik
P_(80,100)=\frac(1)(8)\cdot0,\!3989=0,\!04986.
Bernoulli formulasi taxminan bir xil natijaga olib keladi (hisob-kitoblar ularning noqulayligi tufayli olib tashlandi):
P_(80,100)=0,\!0498.
Laplas integral teoremasi
Faraz qilaylik, n ta mustaqil sinov o'tkazildi, ularning har birida A hodisaning yuzaga kelish ehtimoli doimiy va p ga teng. P_((m_1,m_2),n) A hodisasining n ta sinovda kamida m_1 va ko'pi bilan m_2 marta paydo bo'lish ehtimolini hisoblash kerak (qisqalik uchun "m_1 dan m_2 martagacha" deymiz). Buni Laplas integral teoremasi yordamida amalga oshirish mumkin.
3.2 teorema.
Agar har bir sinovda A hodisasining paydo bo'lish ehtimoli p o'zgarmas bo'lsa va nol va birdan farq qilsa, u holda A hodisasining taxminan P_((m_1,m_2),n) ehtimolligi m_1 dan m_2 gacha bo'lgan sinovlarda paydo bo'ladi, P_((m_1,m_2),n)\taxminan\frac(1)(\sqrt(2\pi))\int\limits_(x")^(x"")e^(-x^2/2) \, dx,
Qayerda. Laplas integral teoremasini qo'llashni talab qiladigan masalalarni yechishda maxsus jadvallardan foydalaniladi, chunki noaniq integral\int(e^(-x^2/2)\,dx) elementar funksiyalar orqali ifodalanmaydi. Integral uchun jadval\Phi(x)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))\int\limits_(0)^(x)e^(-z^2/2)\,dz<0 используют ту же таблицу (функция \Phi(x) нечетна, т. е. \Phi(-x)=-\Phi(x) ). Таблица содержит значения функции \Phi(x) лишь для x\in ; для x>ilovada keltirilgan. 2, bu erda \Phi(x) funktsiyasining qiymatlari x ning musbat qiymatlari uchun, x uchun berilgan
5 biz \Phi(x)=0,\!5 ni olishimiz mumkin.
Shunday qilib, A hodisasining n ta mustaqil sinovda m_1 dan m_2 gacha bo'lgan vaqtlarda paydo bo'lish ehtimoli taxminan P_(m,n)\taxminan\frac(1)(\sqrt(npq))\,\varphi(x), P_((m_1,m_2),n)\taxminan\Phi(x"")-\Phi(x"),.
x"=\frac(m_1-np)(\sqrt(npq));~x""=\frac(m_2-np)(\sqrt(npq))
Yechim. Shart bo'yicha 4-misol. Qismning standartlarni buzgan holda ishlab chiqarilganligi ehtimoli p=0,\!2. Tasodifiy tanlangan 400 ta qismlar orasida 70 dan 100 tagacha nostandart qismlar bo'lish ehtimolini toping. p=0,\!2,\,q=0,\!8,\,n=400,\,m_1=70,\,m_2=100
. Laplas integral teoremasidan foydalanamiz:
P_((70,100),400)\taxminan\Phi(x"")-\Phi(x").
Keling, integratsiya chegaralarini hisoblaymiz:
pastroq
X"=\frac(m_1-np)(\sqrt(npq))=\frac(70-400\cdot0,\!2)(\sqrt(400\cdot0,\!2\cdot0,\!8)) =-1,\!25,
yuqori
X""=\frac(m_2-np)(\sqrt(npq))=\frac(100-400\cdot0,\!2)(\sqrt(400\cdot0,\!2\cdot0,\!8) )=2,\!5,
P_((70,100),400)\taxminan\Phi(2,\!5)-\Phi(-1,\!25)=\Phi(2,\!5)+\Phi(1,\!25) .
Jadvalga ko'ra adj. 2 topamiz
\Phi(2,\!5)=0,\!4938;~~~~~\Phi(1,\!25)=0,\!3944.
Kerakli ehtimollik
P_((70,100),400)=0,\!4938+0,\!3944=0,\!8882.
Laplas integral teoremasining qo'llanilishi
Agar m soni (n ta mustaqil sinovda A hodisasining sodir bo'lish soni) m_1 dan m_2 gacha o'zgargan bo'lsa, u holda kasr \frac(m-np)(\sqrt(npq)) dan farq qiladi \frac(m_1-np)(\sqrt(npq))=x" uchun \frac(m_2-np)(\sqrt(npq))=x"". Demak, Laplas integral teoremasini ham quyidagicha yozish mumkin:
P\left\(x"\leqslant\frac(m-np)(\sqrt(npq))\leqslant(x"")\right\)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))\ int\limits_(x")^(x"")e^(-x^2/2)\,dx.
Nisbiy chastota \frac(m)(n) ning mutlaq qiymatdagi p doimiy ehtimollikdan chetlanishi berilgan sondan \varepsilon>0 dan oshmasligi ehtimolini topish vazifasini qo‘yaylik. Boshqacha qilib aytganda, biz tengsizlik ehtimolini topamiz \left|\frac(m)(n)-p\right|\leqslant\varepsilon, bu bir xil -\varepsilon\leqslant\frac(m)(n)-p\leqslant\varepsilon. Biz bu ehtimolni quyidagicha belgilaymiz: P\left\(\left|\frac(m)(n)-p\right|\leqslant\varepsilon\right\). Ushbu ehtimollik uchun (3.6) formulani hisobga olgan holda olamiz
P\left\(\left|\frac(m)(n)-p\right|\leqslant\varepsilon\right\)\approx2\Phi\left(\varepsilon\,\sqrt(\frac(n)(pq) )))\o'ng).
5-misol. Qismning nostandart bo'lish ehtimoli p=0,\!1. Tasodifiy tanlab olingan 400 ta qismdan nostandart qismlarning nisbiy paydo boʻlish chastotasi mutlaq qiymatdagi p=0,\!1 ehtimolidan 0,03 dan koʻp boʻlmagan chetga chiqish ehtimolini toping.
Yechim. Shart bo'yicha n=400,\,p=0,\!1,\,q=0,\!9,\,\varepsilon=0,\!03. Biz ehtimollikni topishimiz kerak P\left\(\left|\frac(m)(400)-0,\!1\right|\leqslant0,\!03\right\). (3.7) formuladan foydalanib, biz olamiz
P\left\(\left|\frac(m)(400)-0,\!1\right|\leqslant0,\!03\right\)\approx2\Phi\left(0,\!03\sqrt( \frac(400)(0,\!1\cdot0,\!9))\right)=2\Phi(2)
Jadvalga ko'ra adj. 2 biz \Phi(2)=0,\!4772 ni topamiz, shuning uchun 2\Phi(2)=0,\!9544 . Shunday qilib, kerakli ehtimollik taxminan 0,9544 ni tashkil qiladi. Natijaning ma'nosi quyidagicha: agar siz har biri 400 qismdan iborat etarlicha ko'p miqdordagi namunalarni olsangiz, bu namunalarning taxminan 95,44 foizida nisbiy chastotaning doimiy ehtimollik p=0.\!1 dan mutlaq darajada og'ishi kuzatiladi. qiymati 0,03 dan oshmasligi kerak.
Kutilmagan hodisalar uchun Puasson formulasi
Agar bitta sinovda hodisaning ro'y berish ehtimoli p nolga yaqin bo'lsa, u holda ko'p sonli n sinovlarida ham, lekin np mahsulotining kichik qiymati bilan P_ (m, n) ehtimollik qiymatlari. Laplas formulasidan olingan ma'lumotlar yetarli darajada aniq emas va boshqa taxminiy formulaga ehtiyoj tug'iladi.
3.3 teorema.
Agar har bir sinovda A hodisasining ro‘y berish ehtimoli p o‘zgarmas, lekin kichik bo‘lsa, mustaqil sinovlar soni n yetarlicha katta bo‘lsa, lekin np=\lambda ko‘paytmasining qiymati kichik bo‘lib qolsa (o‘ndan ko‘p bo‘lmagan), u holda ehtimollik. Bu sinovlarda A hodisasi m marta sodir bo'ladi\,e^{-\lambda}. !}
P_(m,n)\taxminan\frac(\lambda^m)(m Puasson formulasidan foydalangan holda hisob-kitoblarni soddalashtirish uchun Puasson funktsiyasi qiymatlari jadvali tuzildi.\,e^{-\lambda} !}\ frac (\ lambda ^ m) (m
(3-ilovaga qarang).
Misol 6. Nostandart qismni ishlab chiqarish ehtimoli 0,004 bo'lsin. 1000 ta qismdan 5 tasi nostandart bo'lish ehtimolini toping. Yechim. Bu yerga n=1000,p=0,004,~\lambda=np=1000\cdot0,\!004=4 . Uchala raqam ham 3.3 teorema talablariga javob beradi, shuning uchun P_(5,1000) istalgan hodisaning ehtimolini topish uchun biz Puasson formulasidan foydalanamiz. Puasson funksiyasining qiymatlari jadvalidan (3-ilova) \lambda=4;m=5 bilan olamiz.
P_(5,1000)\taxminan0,\!1563
Xuddi shu hodisaning ehtimolini Laplas formulasidan foydalanib topamiz. Buning uchun birinchi navbatda m=5 ga mos keladigan x qiymatini hisoblaymiz:
X=\frac(5-1000\cdot0,\!004)(\sqrt(1000\cdot0,\!004\cdot0,\!996))\taxminan\frac(1)(1,\!996)\taxminan0 ,\!501.
Shuning uchun, Laplas formulasiga ko'ra, kerakli ehtimollik
P_(5,1000)\taxminan\frac(\varphi(0,\!501))(1,\!996)\taxminan\frac(0,\!3519)(1,\!996)\taxminan0,\ !1763
va Bernulli formulasiga ko'ra uning aniq qiymati
P_(5,1000)=C_(1000)^(5)\cdot0,\!004^5\cdot0,\!996^(995)\taxminan0,\!1552.
Shunday qilib, taxminiy Laplas formulasi yordamida P_(5,1000) ehtimolliklarni hisoblashda nisbiy xatolik hisoblanadi.\frac(0,\!1763-0,\!1552)(0,\!1552)\taxminan0,\!196
, yoki 13.\!6\%
va Puasson formulasiga ko'ra -\frac(0,\!1563-0,\!1552)(0,\!1552)\taxminan0,\!007
, yoki 0.\!7\%
Ya'ni, ko'p marta kamroq.
Keyingi bo'limga o'ting Bir o'lchovli
tasodifiy o'zgaruvchilar
Brauzeringizda Javascript o'chirib qo'yilgan.
Hisob-kitoblarni amalga oshirish uchun ActiveX boshqaruvlarini yoqishingiz kerak! Ushbu darsda biz sinovlarni takrorlashda mustaqil sinovlarda sodir bo'lish ehtimolini topamiz . Mustaqil testlar bir xil sharoitlarda ham, turli sharoitlarda ham amalga oshirilishi mumkin. Birinchi holda, qandaydir hodisaning yuzaga kelish ehtimoli barcha sud jarayonlarida bir xil bo'lsa, ikkinchi holatda u suddan sudgacha farq qiladi.
Mustaqil qayta sinovlarga misollar :
- qurilma tugunlaridan biri yoki ikki yoki uchta tugun ishlamay qoladi va har bir tugunning ishdan chiqishi boshqa tugunga bog'liq emas va bir tugunning ishdan chiqish ehtimoli barcha testlarda doimiydir;
- ma'lum bir doimiy texnologik sharoitlarda ishlab chiqarilgan qism yoki uch, to'rt, besh qism nostandart bo'lib chiqishi va bir qismi boshqa qismdan va uning aylanish ehtimolidan qat'i nazar, nostandart bo'lib chiqishi mumkin. nostandart bo'lishi barcha testlarda doimiydir;
- nishonga bir necha marta o'q otishdan bir, uch yoki to'rtta o'q boshqa zarbalar natijasidan qat'iy nazar nishonga tegadi va nishonga tegish ehtimoli barcha sinovlarda doimiy bo'ladi;
- tanga tushganda, boshqa tanga tushishi natijasidan qat'iy nazar, mashina bir, ikki yoki boshqa marta to'g'ri ishlaydi va mashinaning to'g'ri ishlashi ehtimoli barcha sinovlarda doimiy bo'ladi.
Ushbu hodisalarni bitta diagrammada tasvirlash mumkin. Har bir hodisa har bir sinovda bir xil ehtimollik bilan sodir bo'ladi, agar oldingi sinovlar natijalari ma'lum bo'lsa, bu o'zgarmaydi. Bunday testlar mustaqil deb ataladi va sxema deyiladi Bernoulli sxemasi . Taxminlarga ko'ra, bunday testlar istalgancha takrorlanishi mumkin.
Agar ehtimollik p hodisaning yuzaga kelishi A Har bir sinovda doimiy bo'lsa, unda ehtimollik n mustaqil test hodisasi A keladi m marta, tomonidan joylashgan Bernulli formulasi :
(Qaerda q= 1 – p- voqea sodir bo'lmasligi ehtimoli)
Keling, vazifani qo'yaylik - bu turdagi voqea sodir bo'lish ehtimolini topamiz n mustaqil testlar keladi m bir marta.
Bernulli formulasi: masalani yechish misollari
1-misol. Tasodifiy olingan besh qismdan ikkitasi standart bo'lish ehtimolini toping, agar har bir qismning standart bo'lib chiqish ehtimoli 0,9 bo'lsa.
Yechim. Hodisa ehtimoli A, Tasodifiy olingan qismi standart ekanligidan iborat, mavjud p=0,9 va uning nostandart bo'lish ehtimoli q=1–p=0,1. Muammo bayonotida belgilangan hodisa (biz uni belgilaymiz IN), masalan, dastlabki ikki qism standart bo'lib chiqsa va keyingi uchtasi nostandart bo'lsa paydo bo'ladi. Ammo voqea IN birinchi va uchinchi qismlar standart bo'lib chiqsa va qolganlari nostandart bo'lsa yoki ikkinchi va beshinchi qismlar standart bo'lsa va qolganlari nostandart bo'lsa ham sodir bo'ladi. Voqea sodir bo'lishi uchun boshqa imkoniyatlar mavjud. IN. Ularning har biri olingan besh qismdan ikkitasi, beshdan istalgan o'rinni egallagani standart bo'lib chiqishi bilan tavsiflanadi. Shuning uchun, hodisaning yuzaga kelishi uchun turli xil imkoniyatlarning umumiy soni IN ikkita standart qismni beshta joyga joylashtirish imkoniyatlari soniga teng, ya'ni. besh elementning birikmalari soniga ikkiga teng va .
Ehtimollarni ko'paytirish teoremasiga ko'ra har bir imkoniyatning ehtimoli besh omilning ko'paytmasiga teng bo'lib, ulardan ikkitasi standart qismlarning ko'rinishiga mos keladigan 0,9 ga, qolgan uchtasi esa nostandart ko'rinishga mos keladi. qismlar, 0,1 ga teng, ya'ni. bu ehtimollik. Ushbu o'nta imkoniyat mos kelmaydigan hodisa bo'lgani uchun, qo'shish teoremasi bo'yicha hodisaning ehtimolligi IN, biz belgilaymiz
2-misol. Mashinaning bir soat ichida ishchining e'tiborini talab qilish ehtimoli 0,6 ga teng. Mashinalardagi muammolarni mustaqil deb hisoblab, bir soat ichida ishchining diqqatini u ishlaydigan to'rtta mashinadan bittasi talab qilish ehtimolini toping.
Yechim. Foydalanish Bernulli formulasi da n=4 , m=1 , p=0,6 va q=1–p= 0,4, biz olamiz
3-misol. Avtoulovning normal ishlashi uchun chiziqda kamida sakkizta transport vositasi bo'lishi kerak va ularning o'ntasi bor. Har bir avtomobilning chiziqqa kirmasligi ehtimoli 0,1 ga teng. Keyingi sutkada avtobazaning normal ishlashi ehtimolini toping.
Yechim. Avtoulov normal ishlaydi (hodisa F), agar sakkiz yoki sakkiztasi (voqea A), yoki to'qqiz (hodisa IN), yoki barcha o'nta avtomobil hodisasi (voqea C). Ehtimollarni qo'shish teoremasiga ko'ra,
Biz har bir atamani topamiz Bernulli formulasiga muvofiq. Bu yerga n=10 , m=8; 10 va p=1-0,1=0,9, chunki p avtomobilning chiziqqa kirish ehtimolini ko'rsatishi kerak; Keyin q=0,1. Natijada biz olamiz
4-misol. Xaridorga 41 o'lchamdagi erkaklar poyabzali kerak bo'lishi ehtimoli 0,25 ga teng bo'lsin. Oltita xaridordan kamida ikkitasiga 41 o'lchamdagi poyabzal kerak bo'lishi ehtimolini toping.
Qisqacha nazariya
Ehtimollar nazariyasi cheksiz ko'p marta takrorlanishi mumkin bo'lgan (hech bo'lmaganda nazariy jihatdan) tajribalar bilan shug'ullanadi. Ba'zi tajriba bir marta takrorlansin va har bir takrorlashning natijalari oldingi takrorlash natijalariga bog'liq emas. Bunday takrorlashlar ketma-ketligi mustaqil sinovlar deb ataladi. Bunday testlarning alohida holati mustaqil Bernoulli testlari, ular ikkita shart bilan tavsiflanadi:
1) har bir test natijasi mos ravishda "muvaffaqiyat" yoki "muvaffaqiyatsizlik" deb ataladigan ikkita mumkin bo'lgan natijalardan biridir.
2) har bir keyingi testda "muvaffaqiyat" ehtimoli oldingi testlar natijalariga bog'liq emas va doimiy bo'lib qoladi.
Bernulli teoremasi
Agar Bernulli bo'yicha bir qator mustaqil sinovlar o'tkazilsa, ularning har birida "muvaffaqiyat" ehtimollik bilan paydo bo'ladi, u holda sinovlarda "muvaffaqiyat" aynan bir marta paydo bo'lish ehtimoli quyidagi formula bilan ifodalanadi:
"muvaffaqiyatsizlik" ehtimoli qayerda.
- elementlarning kombinatsiyasi soni (asosiy kombinatorik formulalarga qarang)
Bu formula deyiladi Bernulli formulasi.
Bernoulli formulasi etarlicha ko'p sonli testlar bilan ko'p sonli hisob-kitoblardan - ehtimollarni qo'shish va ko'paytirishdan xalos bo'lishga imkon beradi.
Bernulli test sxemasi binomial sxema deb ham ataladi va mos keladigan ehtimollar binomial deb ataladi, bu binomial koeffitsientlardan foydalanish bilan bog'liq.
Bernulli sxemasi bo'yicha taqsimlash, xususan, voqea sodir bo'lishining eng ehtimoliy sonini topishga imkon beradi.
Agar testlar soni bo'lsa n katta, keyin foydalaning:
Muammoni hal qilish misoli
Muammoli holat
Ba'zi o'simlik urug'larining unib chiqish darajasi 70% ni tashkil qiladi. Ekilgan 10 ta urug‘dan: 8 ta, kamida 8 ta urug‘ bo‘lish ehtimoli qancha; kamida 8?
Muammoni hal qilish
Bernulli formulasidan foydalanamiz:
Bizning holatda
Hodisa shunday bo'lsinki, 10 ta urug'dan 8 tasi unib chiqadi:
Voqea kamida 8 bo'lsin (ya'ni 8, 9 yoki 10)
Hodisa kamida 8 ga ko'tarilsin (bu 8,9 yoki 10 degan ma'noni anglatadi)
Javob
O'rtacha yechim narxi sinov ishi 700 - 1200 rubl (lekin butun buyurtma uchun kamida 300 rubl). Narxga qarorning shoshilinchligi (bir kundan bir necha soatgacha) katta ta'sir ko'rsatadi. Imtihon/test uchun onlayn yordam narxi 1000 rubldan. chiptani hal qilish uchun.
Siz so'rovni to'g'ridan-to'g'ri chatda qoldirishingiz mumkin, avvalroq topshiriqlarning shartlarini yuborganingiz va sizga kerak bo'lgan yechim uchun vaqt oralig'i haqida xabar bergansiz. Javob vaqti bir necha daqiqa.
Bernoulli test sxemasi. Bernulli formulasi
Bir nechta testlarni o'tkazishga ruxsat bering. Bundan tashqari, har bir sinovda $A$ hodisasining yuzaga kelish ehtimoli boshqa sinovlar natijalariga bog'liq emas. Bunday sinovlar A hodisasiga nisbatan mustaqil deb ataladi. Turli xil mustaqil sinovlarda A hodisasi har xil yoki bir xil ehtimolga ega bo'lishi mumkin. Biz faqat $A$ hodisasi bir xil ehtimolga ega bo'lgan mustaqil sinovlarni ko'rib chiqamiz.
Murakkab hodisa deganda oddiy hodisalarning birikmasini tushunamiz. n-testlar bajarilsin. Har bir sinovda $A$ hodisasi paydo bo'lishi yoki ko'rinmasligi mumkin. Har bir sinovda $A$ hodisasining yuzaga kelish ehtimoli bir xil va $p$ ga teng deb faraz qilamiz. U holda $\overline A $ (yoki A ning yuzaga kelmaslik) ehtimoli $P(( \overline A ))=q=1-p$ ga teng.
Aytaylik, buning ehtimolini hisoblashimiz kerak n-$A$ sodir bo'ladigan hodisani sinovdan o'tkazadi k- bir marta va $n-k$ marta - sodir bo'lmaydi. Biz bu ehtimolni $P_n (k)$ bilan belgilaymiz. Bundan tashqari, $A$ hodisasining sodir bo'lish ketma-ketligi muhim emas. Masalan: $(( AAA\overline A , AA\overline A A, A\overline A AA, \overline A AAA ))$
$P_5 (3)-$ beshta sinovda $A$ hodisasi 3 marta paydo bo'ldi va 2 marta ko'rinmadi. Bu ehtimollikni Bernulli formulasi yordamida topish mumkin.
Bernulli formulasining kelib chiqishi
Mustaqil hodisalar ehtimolini ko'paytirish teoremasiga ko'ra, $A$ hodisasining $k$ marta sodir bo'lishi va $n-k$ marta sodir bo'lmasligi ehtimoli $p^k\cdot q^ ( n-k ) $ ga teng bo'ladi. Va $C_n^k$ tuzilishi mumkin bo'lgan juda ko'p murakkab voqealar bo'lishi mumkin. Murakkab hodisalar mos kelmasligi sababli, mos kelmaydigan hodisalarning ehtimolliklari yig'indisi haqidagi teoremaga ko'ra, biz barcha murakkab hodisalarning ehtimolliklarini qo'shishimiz kerak va ulardan aniq $C_n^k $ mavjud. U holda $A$ hodisasining yuzaga kelish ehtimoli aynan k har bir marta n testlarda $P_n (( A,\,k ))=P_n (k)=C_n^k \cdot p^k\cdot q^ ( n-k ) $ mavjud. Bernulli formulasi.
Misol. Zarlar 4 marta tashlanadi. Bir vaqtning yarmida paydo bo'lish ehtimolini toping.
Yechim. $A=$ (birining koʻrinishi)
$ P(A)=p=\frac ( 1 ) ( 6 ) \, \,P(( \overline A ))=q=1-\frac ( 1 ) ( 6 ) =\frac ( 5 ) ( 6 ) $ $ P_4 (2)=C_4^2 \cdot p^2\cdot q^ ( 4-2 ) =\frac ( 4! ) ( 2!\cdot 2! ) \cdot 6^2\cdot (( \frac) ( 5 ) ( 6 ) ))^2=0,115 $
Katta qiymatlar uchun buni ko'rish oson n Katta raqamlar tufayli ehtimollikni hisoblash juda qiyin. Ma'lum bo'lishicha, bu ehtimolni nafaqat Bernulli formulasi yordamida hisoblash mumkin.
