Kuzatilgan qiymatning dispersiyasi nimani ko'rsatadi. Diskret tasodifiy miqdorning dispersiyasi

Variatsion tebranish (yoki o'zgaruvchanlik tebranishi) - bu xarakteristikaning maksimal va minimal qiymatlari o'rtasidagi farq:

Bizning misolimizda ishchilarning smenali ishidagi o'zgarishlar diapazoni: birinchi brigadada R = 105-95 = 10 bola, ikkinchi brigadada R = 125-75 = 50 bola. (5 baravar ko'p). Bu shuni ko'rsatadiki, 1-brigadada ishlab chiqarish ko'proq "barqaror", lekin ikkinchi brigadada mahsulotning o'sishi uchun ko'proq zaxira mavjud, chunki. agar barcha ishchilar ushbu brigada uchun maksimal ishlab chiqarishga erishsa, u 3 * 125 = 375 qismni ishlab chiqarishi mumkin, va 1-brigadada faqat 105 * 3 = 315 qism.
Agar xarakteristikaning ekstremal qiymatlari populyatsiyaga xos bo'lmasa, u holda kvartil yoki desil diapazonlari qo'llaniladi. RQ = Q3-Q1 kvartil diapazoni aholining 50% ni qamrab oladi, birinchi RD1 = D9-D1 ning o'nlik diapazoni ma'lumotlarning 80% ni, RD2 = D8-D2 ning ikkinchi o'nlik diapazoni 60% ni tashkil qiladi.
Variatsiya diapazoni indikatorining kamchiligi shundaki, lekin uning qiymati belgining barcha tebranishlarini aks ettirmaydi.
Xususiyatning barcha tebranishlarini aks ettiruvchi eng oddiy umumlashtiruvchi ko'rsatkich o'rtacha chiziqli og'ish, bu individual variantlarning o'rtacha qiymatidan mutlaq chetlanishlarining arifmetik o'rtacha qiymati:

,
guruhlangan ma'lumotlar uchun
,
bu yerda xi diskret qatordagi xususiyatning qiymati yoki interval taqsimotidagi intervalning o‘rtasi.
Yuqoridagi formulalarda hisoblagichdagi farqlar modul bo'yicha olinadi, aks holda o'rtacha arifmetik xususiyatga ko'ra, hisoblagich har doim nolga teng bo'ladi. Shuning uchun statistik amaliyotda o'rtacha chiziqli og'ish juda kam qo'llaniladi, faqat ko'rsatkichlarni belgini hisobga olmasdan yig'ish iqtisodiy ma'noga ega bo'lgan hollarda qo'llaniladi. Uning yordami bilan, masalan, xodimlarning tarkibi, ishlab chiqarish rentabelligi, tashqi savdo aylanmasi tahlil qilinadi.
Xususiyat farqi Variantning o'rtacha qiymatidan chetlanishlarining o'rtacha kvadrati:
oddiy farq
,
vaznli dispersiya
.
Dispersiyani hisoblash formulasini soddalashtirish mumkin:

Shunday qilib, dispersiya variant kvadratlarining o'rtacha qiymati va populyatsiya variantining o'rtacha kvadrati o'rtasidagi farqga teng bo'ladi:
.
Biroq, og'ishlar kvadratlarining yig'indisi tufayli, dispersiya og'ishlar haqida buzilgan fikrni beradi, shuning uchun u o'rtacha qiymat asosida hisoblanadi. standart og'ish, bu xususiyatning o'ziga xos variantlari o'rtacha qiymatidan qanchalik og'ishini ko'rsatadi. Dispersiyaning kvadrat ildizini olish orqali hisoblangan:
guruhlanmagan ma'lumotlar uchun
,
Variatsiya seriyasi uchun

Dispersiya va standart og'ish qanchalik kichik bo'lsa, populyatsiya shunchalik bir hil bo'lsa, o'rtacha ko'rsatkich shunchalik ishonchli (tipik) bo'ladi.
O'rtacha chiziqli va standart og'ish raqamlar deb nomlanadi, ya'ni ular xususiyatning o'lchov birliklarida ifodalanadi, mazmuni bir xil va qiymatga yaqin.
Jadvallar yordamida o'zgaruvchanlikning mutlaq ko'rsatkichlarini hisoblash tavsiya etiladi.
3-jadval - Variatsiya xususiyatlarini hisoblash (ishchi brigadaning smenali ishlab chiqarishi to'g'risidagi ma'lumotlar davri misolidan foydalangan holda)

Ishchilarning o'rtacha smenali ishlab chiqarishi:

O'rtacha chiziqli og'ish:

Ishlab chiqarishning tarqalishi:

Ayrim ishchilar ishlab chiqarishining o'rtacha ishlab chiqarishdan standart og'ishi:
.

1 Momentlar usuli bilan dispersiyani hisoblash

Dispersiyalarni hisoblash mashaqqatli hisob-kitoblarni o'z ichiga oladi (ayniqsa, o'rtacha bir necha o'nli kasrlar bilan katta raqam sifatida ifodalangan bo'lsa). Soddalashtirilgan formula va dispersiya xususiyatlaridan foydalangan holda hisob-kitoblarni soddalashtirish mumkin.
Dispersiya quyidagi xususiyatlarga ega:

1. agar atributning barcha qiymatlari bir xil A qiymatiga kamaytirilsa yoki oshirilsa, dispersiya bundan kamaymaydi:

,

keyin yoki
Dispersiyaning xossalaridan foydalanib va ​​avval boshlanishning barcha variantlarini A qiymatiga kamaytirib, so‘ngra h interval qiymatiga bo‘linib, teng intervalli variatsion qatordagi dispersiyani hisoblash formulasini olamiz. daqiqalar usuli:
,
qayerda momentlar usuli bilan hisoblangan dispersiya;
h - variatsiya qatori intervalining qiymati;
- yangi (konvertatsiya qilingan) qiymatlar varianti;
A - eng yuqori chastotali intervalning o'rtasi sifatida ishlatiladigan doimiy qiymat; yoki eng yuqori chastotali variant;
- birinchi tartib momentining kvadrati;
- ikkinchi tartib momenti.
Ishchi guruhning smenali ishlab chiqarishi to'g'risidagi ma'lumotlarga asoslanib, momentlar usuli bilan dispersiyani hisoblaymiz.
4-jadval - Momentlar usuli bilan dispersiyani hisoblash

Hisoblash tartibi:

1. dispersiyani hisoblaymiz:

2 Muqobil xususiyatning dispersiyasini hisoblash

Statistikaga ko'ra o'rganiladigan xususiyatlar orasida faqat ikkita o'zaro eksklyuziv qiymat bilan tavsiflanadigan xususiyatlar mavjud. Bu muqobil belgilar. Ularga mos ravishda ikkita miqdoriy ma'no beriladi: 1-variant va 0. Variant 1ning chastotasi, bu p bilan belgilanadi, bu xususiyatga ega bo'lgan birliklar nisbati. Farqi 1-p = q variantlar chastotasi 0. Shunday qilib,

Muqobil xususiyatning o'rtacha arifmetik qiymati
, chunki p + q = 1.

Muqobil xususiyatning o'zgarishi
beri 1-p = q
Shunday qilib, muqobil xususiyatning dispersiyasi bu xususiyatga ega bo'lgan birliklar ulushi va bu xususiyatga ega bo'lmagan birliklar ulushining ko'paytmasiga tengdir.
Agar 1 va 0 qiymatlari tez-tez sodir bo'lsa, ya'ni p = q, dispersiya maksimal pq = 0,25 ga etadi.
Muqobil xarakteristikaning tafovuti tanlanma so'rovlarda, masalan, mahsulot sifati ishlatiladi.

3 Guruhlararo dispersiya. Variantlarni qo'shish qoidasi

Variatsiya, o'zgaruvchanlikning boshqa belgilaridan farqli o'laroq, qo'shimcha miqdordir. Ya'ni, omil bo'yicha guruhlarga bo'lingan agregatda X , ishlash xususiyatlarining farqi y har bir guruhdagi dispersiyaga (guruh ichidagi) va guruhlar orasidagi dispersiyaga (guruhlararo) ajralishi mumkin. Keyinchalik, belgining butun populyatsiya uchun o'zgaruvchanligini o'rganish bilan birga, har bir guruhdagi, shuningdek, ushbu guruhlar o'rtasidagi o'zgaruvchanlikni o'rganish mumkin bo'ladi.

Jami farq xususiyatning o'zgarishini o'lchaydi da agregatda bu o'zgarishni (og'ishlarni) keltirib chiqargan barcha omillar ta'sirida. Bu atributning individual qiymatlari og'ishlarining o'rtacha kvadratiga teng da umumiy o'rtachadan va oddiy yoki vaznli dispersiya sifatida hisoblanishi mumkin.
Guruhlararo tafovut samarali xususiyatning o'zgarishini tavsiflaydi da belgi omilining ta'siridan kelib chiqadi X, bu guruhlashning asosi hisoblanadi. Bu guruh o'rtachalarining o'zgarishini tavsiflaydi va guruh vositalarining umumiy o'rtachadan chetlanishlarining o'rtacha kvadratiga teng:
,
i-guruhning o'rtacha arifmetik qiymati qayerda;
- i-guruhdagi birliklar soni (i-guruhning chastotasi);
- aholining umumiy o'rtacha ko'rsatkichi.
Guruh ichidagi tafovut tasodifiy o'zgarishlarni aks ettiradi, ya'ni o'zgaruvchanlikning hisobga olinmagan omillar ta'sirida yuzaga keladigan va guruhlash asosida yotgan atribut-omilga bog'liq bo'lmagan qismi. Bu individual qiymatlarning guruh vositalariga nisbatan o'zgarishini tavsiflaydi, atributning individual qiymatlari og'ishlarining o'rtacha kvadratiga teng. da guruh ichida ushbu guruhning o'rtacha arifmetik qiymatidan (guruh o'rtacha) va har bir guruh uchun oddiy yoki og'irlikdagi dispersiya sifatida hisoblanadi:
yoki ,
guruhdagi birliklar soni qayerda.
Har bir guruh uchun guruh ichidagi farqlarga asoslanib, aniqlash mumkin guruh ichidagi farqlarning umumiy o'rtacha qiymati:
.
Uch xillik orasidagi munosabat deyiladi farqlarni qo'shish qoidalari, unga ko'ra umumiy dispersiya guruhlararo dispersiyalarning yig'indisiga va guruh ichidagi dispersiyalarning o'rtacha qiymatiga teng:

Misol... Ishchilarning mehnat unumdorligi darajasiga ish haqi toifasining (malakasining) ta'sirini o'rganishda quyidagi ma'lumotlar olingan.
5-jadval - Ishchilarning o'rtacha soatlik ishlab chiqarish bo'yicha taqsimlanishi.

Bu misolda ishchilar omilga ko'ra ikki guruhga bo'lingan. X- ularning toifasi bilan tavsiflangan malakalar. Samarali belgi - rivojlanish - uning ta'siri ostida ham (guruhlararo o'zgaruvchanlik) va boshqa tasodifiy omillar (guruh ichidagi o'zgarish) tufayli o'zgaradi. Muammo shundaki, bu o'zgarishlarni uchta variatsiya yordamida o'lchash: umumiy, guruh o'rtasidagi va guruh ichidagi. Determinatsiyaning empirik koeffitsienti samarali belgining o'zgaruvchanlik nisbatini ko'rsatadi da omil ta'siri ostida X... Umumiy o'zgarishlarning qolgan qismi da boshqa omillarning o'zgarishi natijasida yuzaga keladi.
Misolda empirik determinatsiya koeffitsienti:
yoki 66,7%,
Bu shuni anglatadiki, ishchilar mehnat unumdorligidagi o'zgarishlarning 66,7 foizi malakaviy farqlarga, 33,3 foizi esa boshqa omillar ta'siriga bog'liq.
Empirik korrelyatsiya munosabati guruhlash va samarali ko'rsatkichlar o'rtasidagi bog'liqlikning mustahkamligini ko'rsatadi. Empirik determinatsiya koeffitsientining kvadrat ildizi sifatida hisoblanadi:

Empirik korrelyatsiya nisbati, va kabi, 0 dan 1 gacha qiymatlarni qabul qilishi mumkin.
Agar ulanish bo'lmasa, u holda = 0. Bu holda = 0, ya'ni guruh o'rtachalari bir-biriga teng va guruhlararo o'zgarishlar mavjud emas. Bu shuni anglatadiki, guruhlash belgisi omil umumiy o'zgaruvchanlikning shakllanishiga ta'sir qilmaydi.
Agar ulanish funktsional bo'lsa, u holda = 1. Bunda guruh o’rtalarining dispersiyasi umumiy dispersiyaga () teng bo’ladi, ya’ni guruh ichidagi o’zgarishlar bo’lmaydi. Bu shuni anglatadiki, guruhlash atributi o'rganilayotgan mahsuldor atributning o'zgarishini to'liq aniqlaydi.
Korrelyatsiya nisbati qiymati bir ga qanchalik yaqin bo'lsa, shunchalik yaqinroq, funktsional bog'liqlik, belgilar orasidagi munosabat.
Belgilar o'rtasidagi munosabatlarning mustahkamligini sifatli baholash uchun Chaddock nisbati qo'llaniladi.

Misolda , bu ishchilarning unumdorligi va ularning malakasi o'rtasidagi yaqin aloqani ko'rsatadi.

Statistikada dispersiya atributning individual qiymatlarining arifmetik o'rtacha kvadratdan standart og'ishi sifatida aniqlanadi. Variantlarning o'rtacha qiymatdan og'ish kvadratlarini ularning keyingi o'rtacha qiymatini hisoblashning umumiy usuli.

Iqtisodiy va statistik tahlilda xususiyatning o'zgarishi odatda standart og'ish yordamida baholanadi, bu dispersiyaning kvadrat ildizidir.

(3)

U o'zgaruvchan atribut qiymatlarining mutlaq o'zgaruvchanligini tavsiflaydi va variantlar bilan bir xil o'lchov birliklarida ifodalanadi. Statistikada ko'pincha turli xil xususiyatlarning o'zgarishini solishtirish kerak bo'ladi. Bunday taqqoslash uchun o'zgaruvchanlikning nisbiy o'lchovi, o'zgaruvchanlik koeffitsienti qo'llaniladi.

Dispersiya xususiyatlari:

1) agar siz barcha variantlardan biron bir raqamni ayirsangiz, dispersiya bundan o'zgarmaydi;

2) agar variantning barcha qiymatlari qandaydir b soniga bo'linsa, dispersiya b ^ 2 marta kamayadi, ya'ni.

3) teng bo'lmagan arifmetik o'rtachadan istalgan sondan chetlanishlarning o'rtacha kvadratini hisoblasangiz, u dispersiyadan katta bo'ladi. Bu holda, c o'rtacha qiymati o'rtasidagi farq kvadrat boshiga yaxshi belgilangan qiymati tomonidan.

Dispersiyani o'rtacha kvadrat va o'rtacha kvadrat o'rtasidagi farq sifatida aniqlash mumkin.

17. Guruh va guruhlararo o'zgarishlar. Variantlarni qo'shish qoidasi

Agar statistik populyatsiya o'rganilayotgan atributga ko'ra guruhlarga yoki qismlarga bo'lingan bo'lsa, unda bunday populyatsiya uchun dispersiyaning quyidagi turlarini hisoblash mumkin: guruh (shaxsiy), o'rtacha guruh (xususiy) va guruhlararo.

Jami farq- ma'lum statistik populyatsiyada faoliyat ko'rsatadigan barcha shartlar va sabablarga ko'ra xususiyatning o'zgarishini aks ettiradi.

Guruhdagi farq- guruh ichidagi xususiyatning individual qiymatlarining ushbu guruhning o'rtacha arifmetik qiymatidan chetlanishlarining o'rtacha kvadratiga teng bo'lib, guruh o'rtacha deb ataladi. Bundan tashqari, guruhdagi o'rtacha ko'rsatkich butun aholi uchun umumiy o'rtacha ko'rsatkichga to'g'ri kelmaydi.

Guruh dispersiyasi xususiyatning faqat guruh ichidagi sharoit va sabablarga ko'ra o'zgarishini aks ettiradi.

O'rtacha guruh dispersiyasi- guruh dispersiyalarining oʻrtacha ogʻirlikdagi arifmetik qiymati, ogʻirliklari esa guruhlarning hajmlari sifatida aniqlanadi.

Guruhlararo tafovut- guruh vositalarining umumiy o'rtacha qiymatdan chetlanishlarining o'rtacha kvadratiga teng.

Guruhlararo dispersiya samarali xususiyatning guruhlash xususiyati tufayli o'zgarishini tavsiflaydi.

Ko'rib chiqilayotgan dispersiya turlari o'rtasida ma'lum bir bog'liqlik mavjud: umumiy dispersiya o'rtacha guruh va guruhlararo dispersiya yig'indisiga teng.

Bu nisbat dispersiyani qo'shish qoidasi deb ataladi.

18. Dinamik qatorlar va uni tashkil etuvchi elementlar. Dinamik qator turlari.

Statistika bo'yicha seriyalar- bu hodisaning vaqt yoki makonda o'zgarishini ko'rsatadigan va hodisalarni ularning rivojlanish jarayonida ham, jarayonlarning turli shakllari va turlarida ham statistik taqqoslash imkonini beradigan raqamli ma'lumotlar. Buning yordamida hodisalarning o'zaro bog'liqligini aniqlash mumkin.

Statistikada ijtimoiy hodisalar harakatining vaqt bo'yicha rivojlanish jarayoni odatda dinamika deb ataladi. Dinamikani ko'rsatish uchun xronologik tartibda joylashtirilgan statistik ko'rsatkichning vaqt bo'yicha o'zgaruvchan qiymatlari qatori (masalan, 10 yil davomida mahkumlar soni) bo'lgan dinamikalar qatori (xronologik, vaqtinchalik) quriladi. Ularning tarkibiy elementlari - bu ko'rsatkichning raqamli qiymatlari va ular tegishli bo'lgan davrlar yoki vaqt nuqtalari.

Dinamiklar qatorining eng muhim xarakteristikasi- ularning ma'lum bir davrda yoki ma'lum bir daqiqada erishilgan u yoki bu hodisaning hajmi (hajmi, kattaligi). Shunga ko'ra, dinamika qatori a'zolarining hajmi uning darajasidir. Farqlash vaqt seriyasining boshlang'ich, o'rta va oxirgi darajalari. Birinchi daraja birinchi, yakuniy qiymatini ko'rsatadi - qator oxirgi a'zosi qiymati. O'rtacha darajasi oʻzgaruvchanlik diapazonining oʻrtacha xronologik koʻrsatkichi boʻlib, vaqt seriyasining intervalli yoki lahzali ekanligiga qarab hisoblanadi.

Dinamik diapazonning yana bir muhim xususiyati- dastlabki kuzatishdan yakuniy kuzatishgacha o'tgan vaqt yoki bunday kuzatishlar soni.

Har xil turdagi dinamika qatorlari mavjud, ularni quyidagi mezonlarga ko'ra tasniflash mumkin.

1) Darajani ifodalash usuliga qarab dinamika qatori mutlaq va hosila ko’rsatkichlar qatoriga (nisbiy va o’rtacha qiymatlar) bo’linadi.

2) Seriya darajalari hodisa holatini vaqtning ma’lum nuqtalarida (oy, chorak, yil va hokazo boshida) yoki uning ma’lum vaqt oraliqlaridagi qiymatini (masalan, sutkada) qanday ifodalashiga qarab. oy, yil va boshqalar) mos ravishda dinamikaning moment va intervalli qatorlari ajratiladi. Huquqni muhofaza qilish organlarining tahliliy ishlarida lahzali seriyalar nisbatan kam qo'llaniladi.

Statistika nazariyasida dinamika bir qator boshqa tasniflash belgilariga ko'ra farqlanadi: darajalar orasidagi masofaga qarab - vaqt bo'yicha teng darajalar va teng bo'lmagan darajalar bilan; o'rganilayotgan jarayonning asosiy tendentsiyasi mavjudligiga qarab - statsionar va statsionar bo'lmagan. Vaqt seriyalarini tahlil qilishda seriyalarning quyidagi darajalari komponentlar shaklida taqdim etiladi:

Y t = TP + E (t)

Bu erda TP vaqt o'tishi bilan o'zgarishning umumiy tendentsiyasini yoki tendentsiyani belgilaydigan deterministik komponentdir.

E (t) tasodifiy komponent bo'lib, darajalarning o'zgarishiga olib keladi.

Ko'pincha statistikada hodisa yoki jarayonni tahlil qilishda nafaqat o'rganilayotgan ko'rsatkichlarning o'rtacha darajalari haqidagi ma'lumotlarni, balki alohida birliklar qiymatlarining tarqalishi yoki o'zgarishi , bu maqsadli aholining muhim xususiyati.

Aktsiya baholari, talab va taklif hajmlari, turli vaqtlarda va turli joylarda foiz stavkalari eng katta o'zgarishlarga duchor bo'ladi.

O'zgaruvchanlikni tavsiflovchi asosiy ko'rsatkichlar , diapazon, dispersiya, standart og'ish va o'zgarish koeffitsienti.

Surish varianti atributning maksimal va minimal qiymatlari orasidagi farq: R = Xmax - Xmin... Bu ko'rsatkichning kamchiligi shundaki, u faqat belgining o'zgaruvchanlik chegaralarini baholaydi va bu chegaralar ichida uning tebranishlarini aks ettirmaydi.

Dispersiya bu kamchilikdan xoli. U xarakterli qiymatlarning o'rtacha qiymatidan og'ishlarining o'rtacha kvadrati sifatida hisoblanadi:

Dispersiyani hisoblashning soddalashtirilgan usuli quyidagi formulalar yordamida amalga oshiriladi (oddiy va vaznli):

Ushbu formulalardan foydalanishga misollar 1 va 2-topshiriqlarda keltirilgan.

Amalda keng qo'llaniladigan ko'rsatkich hisoblanadi standart og'ish :

Standart og'ish dispersiyaning kvadrat ildizi sifatida aniqlanadi va o'rganilayotgan belgi bilan bir xil o'lchamga ega.

Ko'rib chiqilgan ko'rsatkichlar o'zgaruvchanlikning mutlaq qiymatini olish imkonini beradi, ya'ni. uni o'rganilayotgan atribut birliklarida baholang. Ulardan farqli o'laroq, o'zgaruvchanlik koeffitsienti tebranishlarni nisbiy jihatdan o'lchaydi - ko'p hollarda afzalroq bo'lgan o'rtacha darajaga nisbatan.

Variatsiya koeffitsientini hisoblash formulasi.

"Statistikada o'zgaruvchanlik ko'rsatkichlari" mavzusidagi muammolarni hal qilish misollari

Muammo 1 ... Viloyat banklaridagi o‘rtacha oylik depozit miqdoriga reklamaning ta’sirini o‘rganishda 2 ta bank o‘rganildi. Quyidagi natijalarga erishildi:

Belgilang:
1) har bir bank uchun: a) oy uchun omonatning o'rtacha hajmi; b) hissaning farqlanishi;
2) birgalikda ikkita bank uchun o'rtacha oylik depozit;
3) Omonatni reklamaga qarab 2 ta bank uchun taqsimlash;
4) Reklamadan tashqari barcha omillarga qarab 2 ta bank uchun omonatning tarqalishi;
5) Qo'shish qoidasi yordamida to'liq dispersiya;
6) Determinatsiya koeffitsienti;
7) Korrelyatsiya nisbati.

Yechim

1) Keling, reklama bilan bank uchun hisob-kitob jadvalini tuzamiz ... Bir oy davomida omonatning o'rtacha hajmini aniqlash uchun biz intervallarning o'rta nuqtalarini topamiz. Bunday holda, ochiq intervalning qiymati (birinchi) shartli ravishda unga qo'shni (ikkinchi) oraliq qiymatiga tenglashtiriladi.

Biz hissaning o'rtacha hajmini o'rtacha arifmetik vazn formulasi bo'yicha topamiz:

29 000/50 = 580 rubl.

Biz hissaning dispersiyasini quyidagi formula bo'yicha topamiz:

23 400/50 = 468

Biz shunga o'xshash harakatlarni bajaramiz reklamasiz bank uchun :

2) Ikki bank uchun omonatning o'rtacha hajmini birgalikda topamiz. Xav = (580 × 50 + 542,8 × 50) / 100 = 561,4 rubl.

3) Ikki bank uchun hissaning dispersiyasini reklamaga qarab quyidagi formula bo'yicha topamiz: s 2 = pq (muqobil xususiyatning dispersiyasi formulasi). Bu erda p = 0,5 - reklamaga bog'liq bo'lgan omillarning nisbati; q = 1-0,5, keyin s 2 = 0,5 * 0,5 = 0,25.

4) Boshqa omillarning ulushi 0,5 ni tashkil etganligi sababli, reklamadan tashqari barcha omillarga bog'liq bo'lgan ikki bank uchun hissaning dispersiyasi ham 0,25 ni tashkil qiladi.

5) Qo‘shish qoidasi yordamida umumiy dispersiyani aniqlang.

= (468*50+636,16*50)/100=552,08

= [(580-561,4)250+(542,8-561,4)250] / 100= 34 596/ 100=345,96

s 2 = s 2 fakt + s 2 dam = 552,08 + 345,96 = 898,04

6) aniqlash koeffitsienti ē 2 = s 2 fakt / s 2 = 345,96 / 898,04 = 0,39 = 39% - hissa hajmi 39% ga reklama bog'liq.

7) Empirik korrelyatsiya nisbati ē = √ķ 2 = √0,39 = 0,62 - munosabatlar juda yaqin.

Vazifa 2 ... Tovar mahsuloti hajmi bo'yicha korxonalar guruhlari mavjud:

Aniqlang: 1) tovar mahsuloti qiymatining dispersiyasi; 2) standart og'ish; 3) o'zgaruvchanlik koeffitsienti.

Yechim

1) Shart bo'yicha intervalli taqsimot qatori taqdim etiladi. U diskret tarzda ifodalanishi kerak, ya'ni intervalning o'rtasini toping (x "). Yopiq intervallar guruhlarida biz o'rtani oddiy arifmetik o'rtacha bilan topamiz. Yuqori chegarasi bo'lgan guruhlarda, bu yuqori orasidagi farq sifatida. chegara va undan keyingi intervalning yarmi kattaligi (200- (400 -200): 2 = 100).

Pastki chegarasi bo'lgan guruhlarda - bu pastki chegaraning yig'indisi va oldingi oraliq hajmining yarmi (800+ (800-600): 2 = 900).

Biz quyidagi formula bo'yicha sotiladigan mahsulotlarning o'rtacha qiymatini hisoblaymiz:

Xav = k × ((S ((x "-a): k) × f): Sf) + a. Bu erda a = 500 - variantning eng yuqori chastotadagi o'lchami, k = 600-400 = 200 - eng yuqori chastotadagi intervalning o'lchami.Natijani jadvalga joylashtiring:

Shunday qilib, o'rganilayotgan davr uchun tovar mahsulotining o'rtacha qiymati odatda Xav = (-5: 37) × 200 + 500 = 472,97 ming rublga teng.

2) Dispersiyani quyidagi formula bilan topamiz:

s 2 = (33/37) * 2002- (472,97-500) 2 = 35 675,67-730,62 = 34 945,05

3) standart og'ish: s = ± √s 2 = ± √34 945,05 ≈ ± 186,94 ming rubl.

4) o'zgarish koeffitsienti: V = (s / Xav) * 100 = (186,94 / 472,97) * 100 = 39,52%

Dispersiya turlari:

Jami farq Bu o'zgaruvchanlikni keltirib chiqargan barcha omillar ta'siri ostida butun populyatsiyaning xususiyatining o'zgarishini tavsiflaydi. Ushbu qiymat formula bo'yicha aniqlanadi

bu erda butun o'rganilayotgan aholining umumiy arifmetik o'rtacha qiymati.

Guruh ichidagi o'rtacha farq har qanday hisobga olinmagan omillar ta'sirida paydo bo'lishi mumkin bo'lgan va guruhlash asosida yotgan atribut-omilga bog'liq bo'lmagan tasodifiy o'zgarishlarni ko'rsatadi. Bu dispersiya quyidagicha hisoblanadi: birinchi navbatda, alohida guruhlar uchun dispersiya () hisoblanadi, so‘ngra o‘rtacha guruh ichidagi dispersiya hisoblanadi:

Bu erda n i - guruhdagi birliklar soni

Guruhlararo tafovut(guruh vositalarining o'zgarishi) tizimli o'zgaruvchanlikni tavsiflaydi, ya'ni. guruhlashning asosi bo'lgan belgi-omil ta'sirida yuzaga keladigan o'rganilayotgan belgi hajmidagi farqlar.

bu erda alohida guruh uchun o'rtacha qiymat.

Barcha uch xil dispersiya bir-biri bilan bog'liq: umumiy dispersiya o'rtacha guruh ichidagi va guruhlararo dispersiyaning yig'indisiga teng:

Xususiyatlari:

25 Nisbiy o'zgarishlar darajasi

Koef. Osc. O atributning ekstremal qiymatlarining o'rtacha atrofida nisbiy tebranishlarini aks ettiradi. Rel. lin. o'chirilgan... o'rtacha qiymatdan mutlaq chetlanishlar belgisining o'rtacha qiymatining ulushini tavsiflaydi. Koef. Variatsiya - o'rtachalarning tipikligini baholash uchun ishlatiladigan o'zgaruvchanlikning eng keng tarqalgan o'lchovidir.

Statistikada o'zgaruvchanlik koeffitsienti 30-35% dan ortiq bo'lgan populyatsiyalar heterojen deb hisoblanadi.

Tarqatish seriyasining muntazamligi. Tarqatish momentlari. Tarqatish shakli ko'rsatkichlari

O'zgarishlar qatorida chastotalar va o'zgaruvchan xususiyatning qiymatlari o'rtasida bog'liqlik mavjud: xususiyatning oshishi bilan chastota qiymati avval ma'lum bir chegaraga ko'tariladi, keyin esa kamayadi. Bunday o'zgarishlar deyiladi tarqatish shakllari.

Tarqatish shakli assimetriya va kurtoz ko'rsatkichlari yordamida o'rganiladi. Ushbu ko'rsatkichlarni hisoblashda taqsimlash momentlari qo'llaniladi.

K-tartibning momenti atribut qiymatlari variantlarining ba'zi doimiy qiymatdan chetlanishlarining k darajalarining o'rtacha qiymatidir. Momentning tartibi k qiymati bilan belgilanadi. Variatsion qatorlarni tahlil qilishda ular dastlabki to'rtta tartibning momentlarini hisoblash bilan cheklanadi. Momentlarni hisoblashda chastotalar yoki chastotalar og'irlik sifatida ishlatilishi mumkin. Konstantani tanlashga qarab, boshlang'ich, shartli va markaziy momentlar mavjud.

Tarqatish shakli ko'rsatkichlari:

Asimmetriya(As) taqsimotning assimetriya darajasini tavsiflovchi ko'rsatkich .

Shuning uchun, (chap tomonlama) salbiy assimetriya bilan ... (O'ng tomonlama) ijobiy assimetriya bilan .

Asimmetriyani hisoblash uchun markaz momentlaridan foydalanish mumkin. Keyin:

,

qayerda m 3 Uchinchi tartibning markaziy momenti.

- kurtoz (E Kimga ) bir xil o'zgarish kuchida normal taqsimotga nisbatan funksiya grafigining qiyaligini tavsiflaydi:

,

bu erda m 4 - 4-tartibdagi markaziy moment.

Oddiy taqsimot qonuni

Oddiy taqsimot (Gauss taqsimoti) uchun taqsimot funktsiyasi quyidagi ko'rinishga ega:

Kutilayotgan qiymat - standart og'ish

Oddiy taqsimot simmetrik bo'lib, quyidagi munosabat bilan tavsiflanadi: Xav = Me = Mo

Oddiy taqsimotning kurtozisi 3 ga, egrilik koeffitsienti esa 0 ga teng.

Qo'ng'iroq chizig'i ko'pburchak (simmetrik qo'ng'iroq shaklidagi to'g'ri chiziq)

Dispersiya turlari. Variantlarni qo'shish qoidasi. Determinatsiyaning empirik koeffitsientining mohiyati.

Agar boshlang'ich populyatsiya qandaydir muhim xususiyatga ko'ra guruhlarga bo'lingan bo'lsa, u holda dispersiyalarning quyidagi turlari hisoblanadi:

Dastlabki populyatsiyaning umumiy farqi:

bu yerda asl populyatsiyaning umumiy o'rtacha qiymati; f - dastlabki populyatsiyaning chastotalari. Umumiy dispersiya belgining individual qiymatlarining asl populyatsiyaning umumiy o'rtacha qiymatidan og'ishini tavsiflaydi.

Guruh ichidagi farqlar:

Bu erda j - guruhning soni; har bir j-guruhdagi o'rtacha qiymat; - j-guruhning chastotalari. Guruh ichidagi dispersiya har bir guruhdagi belgining individual qiymatining guruh o'rtacha qiymatidan chetlanishini tavsiflaydi. Guruh ichidagi barcha dispersiyalardan o'rtacha quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:, bu erda har bir j-guruhdagi birliklar soni.

Guruhlararo tafovut:

Guruhlararo dispersiya guruh o'rtachalarining dastlabki populyatsiyaning umumiy o'rtacha qiymatidan chetlanishini tavsiflaydi.

Variantlarni qo'shish qoidasi Dastlabki populyatsiyaning umumiy dispersiyasi guruhlararo va guruh ichidagi dispersiyalarning o'rtacha yig'indisiga teng bo'lishi kerakligidan kelib chiqadi:

Determinatsiyaning empirik koeffitsienti guruhlash xususiyatining oʻzgarishiga qarab oʻrganilayotgan belgining oʻzgarish nisbatini koʻrsatadi va quyidagi formula boʻyicha hisoblanadi:

O'rtacha va dispersiyani hisoblash uchun shartli noldan hisoblash usuli (momentlar usuli)

Momentlar usuli bilan dispersiyani hisoblash formulalar va 3 va 4 dispersiya xususiyatlaridan foydalanishga asoslangan.

(3.Agar atributning (variantlarning) barcha qiymatlari qandaydir doimiy A soniga ko'paysa (kamaysa), yangi populyatsiyaning dispersiyasi o'zgarmaydi.

4. Agar atributning (variantlarning) barcha qiymatlari K marta koʻpaytirilsa (koʻpaytirilsa), bu yerda K doimiy son boʻlsa, u holda yangi populyatsiyaning dispersiyasi K 2 marta ortadi (kamayadi).)

Momentlar usulida teng intervalli variatsion qatorlardagi dispersiyani hisoblash formulasini olamiz:

A - shartli nol, maksimal chastotali variantga teng (maksimal chastotali intervalning o'rtasi)

Momentlar usuli bilan o'rtachani hisoblash ham o'rtachaning xususiyatlaridan foydalanishga asoslanadi.

Tanlangan kuzatish tushunchasi. Iqtisodiy hodisalarni tanlab olish usuli bilan o'rganish bosqichlari

Namuna olish - bu kuzatish, bunda dastlabki populyatsiyaning barcha birliklari tekshirilmaydi va o'rganiladi, balki faqat birliklarning bir qismigina o'rganiladi, populyatsiyaning bir qismini so'rov natijalari esa butun boshlang'ich populyatsiyaga taalluqlidir. Keyingi tekshirish va o'rganish uchun birliklar tanlab olinadigan to'plam deyiladi umumiy va bu to'plamni tavsiflovchi barcha ko'rsatkichlar deyiladi umumiy.

Tanlangan o'rtachaning umumiy o'rtacha qiymatdan chetlanishining mumkin bo'lgan chegaralari deyiladi namuna olish xatosi.

Tanlangan birliklar to'plami chaqiriladi selektiv va bu to'plamni tavsiflovchi barcha ko'rsatkichlar deyiladi selektiv.

Namuna tadqiqoti quyidagi bosqichlarni o'z ichiga oladi:

Tadqiqot ob'ektining xarakteristikasi (ommaviy iqtisodiy hodisalar). Agar umumiy populyatsiya kichik bo'lsa, unda namuna olish tavsiya etilmaydi, doimiy so'rov o'tkazish kerak;

Namuna hajmini hisoblash. Qabul qilinadigan diapazonda tanlab olish xatosini eng kam xarajat bilan olishga imkon beradigan optimal hajmni aniqlash muhim;

Tasodifiylik, mutanosiblik talablarini hisobga olgan holda kuzatish birliklarini tanlash.

Namuna olish xatosini baholashga asoslangan reprezentativlikni isbotlash. Tasodifiy namuna uchun xato formulalar yordamida hisoblanadi. Maqsadli tanlama uchun reprezentativlik sifat usullari (taqqoslash, tajriba) yordamida baholanadi;

Namuna tahlili. Agar shakllangan namuna reprezentativlik talablariga javob bersa, u holda tahliliy ko'rsatkichlar (o'rtacha, nisbiy va boshqalar) yordamida tahlil qilinadi.

Ehtimollar nazariyasi matematikaning maxsus bo'limi bo'lib, uni faqat universitet talabalari o'rganadilar. Sizga hisob-kitoblar va formulalar yoqadimi? Diskret tasodifiy miqdorning normal taqsimoti, ansambl entropiyasi, matematik kutilishi va dispersiyasi bilan tanishish istiqbolidan qo'rqmaysizmi? Shunda bu mavzu siz uchun juda qiziq bo'ladi. Keling, ushbu fan sohasidagi eng muhim asosiy tushunchalar bilan tanishaylik.

Keling, asosiy narsalarni eslaylik

Ehtimollar nazariyasining eng oddiy tushunchalarini eslab qolsangiz ham, maqolaning birinchi xatboshilarini e'tiborsiz qoldirmang. Gap shundaki, asoslarni aniq tushunmasdan, siz quyida muhokama qilingan formulalar bilan ishlay olmaysiz.

Shunday qilib, qandaydir tasodifiy voqea sodir bo'ladi, qandaydir tajriba. Amalga oshirilgan harakatlar natijasida biz bir nechta natijalarni olishimiz mumkin - ulardan ba'zilari tez-tez uchraydi, boshqalari kamroq. Hodisa ehtimoli - bu bir turdagi haqiqatda olingan natijalar sonining mumkin bo'lgan natijalarning umumiy soniga nisbati. Faqatgina ushbu kontseptsiyaning klassik ta'rifini bilib, siz uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilarning matematik kutilishi va dispersiyasini o'rganishni boshlashingiz mumkin.

O'rta arifmetik

Maktabda, matematika darslarida siz o'rtacha arifmetik bilan ishlay boshladingiz. Bu tushuncha ehtimollar nazariyasida keng qo'llaniladi va shuning uchun uni e'tiborsiz qoldirib bo'lmaydi. Hozir biz uchun asosiy narsa shundaki, biz buni tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi va dispersiyasi formulalarida uchratamiz.

Bizda raqamlar ketma-ketligi bor va o'rtacha arifmetikni topmoqchimiz. Bizdan talab qilinadigan narsa - mavjud bo'lgan barcha narsalarni jamlash va ketma-ketlikdagi elementlar soniga bo'lish. Faraz qilaylik, bizda 1 dan 9 gacha raqamlar bor. Elementlar yig'indisi 45 ga teng bo'ladi va bu qiymatni 9 ga bo'lamiz. Javob: - 5.

Dispersiya

Ilmiy nuqtai nazardan, dispersiya - bu xususiyatning olingan qiymatlarining o'rtacha arifmetik qiymatdan chetlanishining o'rtacha kvadrati. Biri bosh lotin harfi D bilan belgilanadi. Uni hisoblash uchun nima kerak? Ketma-ketlikning har bir elementi uchun mavjud son va o'rtacha arifmetik o'rtasidagi farqni hisoblang va uning kvadratiga aylantiring. Biz ko'rib chiqayotgan voqea uchun qancha natijalar bo'lishi mumkin bo'lsa, shuncha ko'p qiymatlar bo'ladi. Keyinchalik, biz olingan hamma narsani umumlashtiramiz va ketma-ketlikdagi elementlar soniga bo'linadi. Agar bizda beshta mumkin bo'lgan natija bo'lsa, biz beshga bo'lamiz.

Variatsiya ham muammolarni hal qilishda qo'llash uchun eslab qolish kerak bo'lgan xususiyatlarga ega. Masalan, tasodifiy miqdor X marta ko'paytirilsa, dispersiya X marta kvadratga ko'payadi (ya'ni X * X). U hech qachon noldan kam emas va qiymatlarning teng qiymatga yuqoriga yoki pastga siljishiga bog'liq emas. Bundan tashqari, mustaqil testlar uchun yig'indining dispersiyasi dispersiyalarning yig'indisiga tengdir.

Endi biz, albatta, diskret tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi va matematik kutish misollarini ko'rib chiqishimiz kerak.

Aytaylik, biz 21 ta tajriba o'tkazdik va 7 xil natijaga erishdik. Biz ularning har birini mos ravishda 1,2,2,3,4,4 va 5 marta kuzatdik. Farq nima?

Birinchidan, o'rtacha arifmetikni hisoblaylik: elementlarning yig'indisi, albatta, 21 ga teng. Uni 7 ga bo'ling, 3 ni oling. Endi asl ketma-ketlikdagi har bir raqamdan 3 ni ayirib, har bir qiymatni kvadratga aylantiring va qo'shing. natijalar birgalikda. Bu 12 bo'lib chiqadi. Endi biz uchun raqamni elementlar soniga bo'lish qoladi va shunday tuyuladi. Ammo bir yutuq bor! Keling, buni muhokama qilaylik.

Tajribalar soniga bog'liqlik

Ma'lum bo'lishicha, dispersiyani hisoblashda maxraj ikkita raqamdan biri bo'lishi mumkin: N yoki N-1. Bu erda N - bajarilgan tajribalar soni yoki ketma-ketlikdagi elementlar soni (ular asosan bir xil). Bu nimaga bog'liq?

Agar testlar soni yuzlab o'lchanadigan bo'lsa, unda biz N maxrajini qo'yishimiz kerak. Agar birliklarda bo'lsa, N-1. Olimlar chegarani juda ramziy ravishda chizishga qaror qilishdi: bugungi kunda u 30 raqamida ishlaydi. Agar biz 30 dan kam tajriba o'tkazgan bo'lsak, yig'indini N-1 ga, agar ko'p bo'lsa, N ga bo'lamiz.

Vazifa

Keling, dispersiya va kutish masalasini hal qilish misolimizga qaytaylik. Biz oraliq raqamni oldik 12, uni N yoki N-1 ga bo'lish kerak edi. Biz 30 dan kam bo'lgan 21 ta tajriba o'tkazganimiz uchun biz ikkinchi variantni tanlaymiz. Demak, javob: dispersiya 12/2 = 2.

Kutilgan qiymat

Keling, ushbu maqolada aniq ko'rib chiqishimiz kerak bo'lgan ikkinchi kontseptsiyaga o'tamiz. Kutilayotgan qiymat - barcha mumkin bo'lgan natijalar yig'indisi mos keladigan ehtimolliklarga ko'paytiriladi. Olingan qiymat, shuningdek, dispersiyani hisoblash natijasi, unda qancha natijalar ko'rib chiqilishidan qat'i nazar, butun muammo uchun faqat bir marta olinishini tushunish muhimdir.

Matematik kutish formulasi juda oddiy: biz natijani olamiz, uning ehtimoli bilan ko'paytiramiz, ikkinchi, uchinchi natija uchun bir xil qo'shamiz va hokazo. Ushbu kontseptsiyaga tegishli hamma narsani hisoblash oson. Masalan, kutish yig'indisi yig'indini kutishga teng. Xuddi shu narsa ish uchun ham amal qiladi. Ehtimollik nazariyasidagi har bir qiymat bunday oddiy operatsiyalarni o'zi bilan bajarishga imkon bermaydi. Keling, masalani olib, bir vaqtning o'zida o'rgangan ikkita tushunchaning ma'nosini hisoblaylik. Bundan tashqari, biz nazariya bilan chalg'idik - amaliyot vaqti keldi.

Yana bir misol

Biz 50 ta sinovni o'tkazdik va 10 turdagi natijalarni oldik - 0 dan 9 gacha raqamlar - har xil foizlarda. Bular mos ravishda: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Eslatib o'tamiz, ehtimolliklarni olish uchun siz qiymatlarni foizlarda 100 ga bo'lishingiz kerak. Shunday qilib, biz 0,02 ni olamiz; 0,1 va boshqalar. Tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi va matematik kutish masalasini yechish misolini keltiramiz.

Biz boshlang'ich maktabda eslab qolgan formuladan foydalanib, o'rtacha arifmetikni hisoblaymiz: 50/10 = 5.

Endi hisoblashni osonlashtirish uchun ehtimollarni natijalar soniga "bo'laklarga" aylantiramiz. Biz 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 va 9 ni olamiz. Olingan har bir qiymatdan o'rtacha arifmetikni ayiramiz, shundan so'ng olingan natijalarning har birini kvadratga aylantiramiz. Misol sifatida birinchi element yordamida buni qanday qilishni ko'ring: 1 - 5 = (-4). Keyingi: (-4) * (-4) = 16. Qolgan qiymatlar uchun ushbu operatsiyalarni o'zingiz bajaring. Agar siz hamma narsani to'g'ri bajargan bo'lsangiz, hamma narsani qo'shgandan so'ng siz 90 ball olasiz.

90 ni N ga bo'lish orqali dispersiya va o'rtachani hisoblashni davom ettiramiz. Nima uchun biz N-1 emas, N ni tanlaymiz? To'g'ri, chunki bajarilgan tajribalar soni 30 dan oshadi. Demak: 90/10 = 9. Biz dispersiyani oldik. Agar boshqa raqam olsangiz, umidsizlikka tushmang. Katta ehtimol bilan siz hisob-kitoblarda keng tarqalgan xatoga yo'l qo'ygansiz. Yozganlaringizni ikki marta tekshiring, shunda hamma narsa joyiga tushadi.

Va nihoyat, matematik kutish formulasini eslaylik. Biz barcha hisob-kitoblarni bermaymiz, biz faqat barcha kerakli tartib-qoidalarni bajarganingizdan so'ng tekshirishingiz mumkin bo'lgan javobni yozamiz. Kutish 5.48 bo'ladi. Birinchi elementlarning misolidan foydalanib, operatsiyalarni qanday bajarish kerakligini eslaylik: 0 * 0,02 + 1 * 0,1 ... va hokazo. Ko'rib turganingizdek, biz shunchaki natijaning qiymatini uning ehtimoli bilan ko'paytiramiz.

Burilish

Dispersiya va matematik kutish bilan chambarchas bog'liq bo'lgan yana bir tushuncha standart og'ishdir. U lotincha sd harflari yoki yunoncha kichik "sigma" bilan belgilanadi. Ushbu kontseptsiya o'rtacha qiymatlarning markaziy xususiyatdan qanchalik og'ishini ko'rsatadi. Uning qiymatini topish uchun dispersiyaning kvadrat ildizini hisoblash kerak.

Agar siz normal taqsimotni chizsangiz va to'g'ridan-to'g'ri standart og'ishni ko'rishni istasangiz, bu bir necha bosqichda amalga oshirilishi mumkin. Rasmning yarmini rejimning chap yoki o'ng tomoniga (markaziy qiymat) oling, gorizontal o'qga perpendikulyar chizib oling, natijada olingan shakllarning maydonlari teng bo'ladi. Tarqatishning o'rtasi va natijada gorizontal o'qga proyeksiyasi orasidagi segmentning qiymati standart og'ishni ifodalaydi.

Dasturiy ta'minot

Formulalarning tavsiflaridan va taqdim etilgan misollardan ko'rinib turibdiki, dispersiya va matematik kutishni hisoblash arifmetik nuqtai nazardan eng oddiy protsedura emas. Vaqtni behuda o'tkazmaslik uchun oliy ta'limda qo'llaniladigan dasturdan foydalanish mantiqan to'g'ri keladi - u "R" deb ataladi. U statistika va ehtimollar nazariyasidan ko'plab tushunchalar uchun qiymatlarni hisoblash imkonini beruvchi funktsiyalarga ega.

Masalan, siz qiymatlar vektorini aniqlayapsiz. Bu quyidagicha amalga oshiriladi: vektor<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

Nihoyat

Dispersiya va matematik kutish - ularsiz kelajakda biror narsani hisoblash qiyin. Universitetlardagi ma'ruzalarning asosiy kursida ular fanni o'rganishning birinchi oylaridayoq ko'rib chiqiladi. Aynan shu oddiy tushunchalarni tushunmaganligi va ularni hisoblab chiqa olmaganligi sababli ko‘plab talabalar dasturda darhol orqada qola boshlaydilar va keyinchalik sessiyada yomon baho oladilar, bu esa ularni stipendiyalardan mahrum qiladi.

Kamida bir hafta, kuniga yarim soat mashq qiling, ushbu maqolada keltirilganlarga o'xshash vazifalarni hal qiling. Keyin ehtimollik nazariyasi bo'yicha har qanday testda siz begona maslahatlar va nayranglarsiz misollar bilan kurashasiz.