Oddiy takrorlash usuli, ya'ni ketma-ket yaqinlashish usuli deb ham ataladi, noma'lum miqdorning qiymatini asta-sekin takomillashtirish orqali topishning matematik algoritmidir. Ushbu usulning mohiyati shundan iboratki, nomidan ko'rinib turibdiki, dastlabki yaqinlashuvdan keyingilarini asta-sekin ifodalab, tobora ko'proq aniq natijalar olinadi. Bu usul berilgan funksiyadagi o‘zgaruvchining qiymatini topishda, shuningdek chiziqli va chiziqli bo‘lmagan tenglamalar tizimini yechishda qo‘llaniladi.
Keling, SLAE ni hal qilishda ushbu usul qanday amalga oshirilishini ko'rib chiqaylik. Oddiy iteratsiya usuli quyidagi algoritmga ega:
1. Dastlabki matritsada yaqinlashish shartining bajarilishini tekshirish. Konvergentsiya teoremasi: agar tizimning dastlabki matritsasi diagonal ustunlikka ega bo'lsa (ya'ni, har bir qatorda asosiy diagonalning elementlari mutlaq qiymatdagi ikkilamchi diagonallar elementlarining yig'indisidan mutlaq qiymatda katta bo'lishi kerak), u holda oddiy iteratsiya usuli konvergent hisoblanadi.
2. Dastlabki sistemaning matritsasi har doim ham diagonal ustunlikka ega emas. Bunday hollarda tizim konvertatsiya qilinishi mumkin. Konvergentsiya shartini qanoatlantiradigan tenglamalar daxlsiz qoldiriladi va mos kelmaydiganlar bilan chiziqli birikmalar tuziladi, ya'ni. kerakli natija olinmaguncha ko'paytirish, ayirish, tenglamalarni bir-biriga qo'shish.
Agar olingan tizimda asosiy diagonalda noqulay koeffitsientlar mavjud bo'lsa, u holda bunday tenglamaning ikkala tomoniga i * x i bilan shaklning shartlari qo'shiladi, ularning belgilari diagonal elementlarning belgilariga to'g'ri kelishi kerak.
3. Hosil bo`lgan sistemani normal shaklga o`tkazish:
x - =b - +a*x -
Buni ko'p usullar bilan amalga oshirish mumkin, masalan: birinchi tenglamadan x 1 ni boshqa noma'lumlar bilan ifodalang, ikkinchidan - x 2, uchinchidan - x 3 va hokazo. Bunday holda biz quyidagi formulalardan foydalanamiz:
a ij = -(a ij / a ii)
i = b i /a ii
Olingan normal shakldagi tizim konvergentsiya shartiga javob berishiga yana bir bor ishonch hosil qilishingiz kerak:
∑ (j=1) |a ij |≤ 1, i= 1,2,...n esa
4. Biz, aslida, ketma-ket yaqinlashish usulining o'zini qo'llashni boshlaymiz.
x (0) - dastlabki yaqinlashish, u orqali x (1) ni ifodalaymiz, keyin x (2) ni x (1) ga ifodalaymiz. Matritsa ko'rinishidagi umumiy formula quyidagicha ko'rinadi:
x (n) = b - +a*x (n-1)
Biz kerakli aniqlikka erishgunimizcha hisoblaymiz:
max |x i (k)-x i (k+1) ≤ e
Shunday qilib, oddiy takrorlash usulini amalda qo'llaymiz. Misol:
SLAE ni hal qiling:
4,5x1-1,7x2+3,5x3=2
3,1x1+2,3x2-1,1x3=1
1,8x1+2,5x2+4,7x3=4, aniqlik bilan e=10 -3
Keling, diagonal elementlarning modulda ustunligini ko'rib chiqaylik.
Biz faqat uchinchi tenglama yaqinlashuv shartini qanoatlantirishini ko'ramiz. Keling, birinchi va ikkinchisini aylantiramiz va birinchi tenglamaga ikkinchisini qo'shamiz:
7,6x1+0,6x2+2,4x3=3
Uchinchidan birinchisini ayiramiz:
2,7x1+4,2x2+1,2x3=2
Biz asl tizimni ekvivalentiga aylantirdik:
7,6x1+0,6x2+2,4x3=3
-2,7x1+4,2x2+1,2x3=2
1,8x1+2,5x2+4,7x3=4
Endi tizimni normal holatga keltiramiz:
x1=0,3947-0,0789x2-0,3158x3
x2=0,4762+0,6429x1-0,2857x3
x3= 0,8511-0,383x1-0,5319x2
Biz iterativ jarayonning yaqinlashuvini tekshiramiz:
0.0789+0.3158=0,3947 ≤ 1
0.6429+0.2857=0.9286 ≤ 1
0,383+ 0,5319= 0,9149 ≤ 1, ya’ni. shart bajariladi.
0,3947
Dastlabki taxmin x(0) = 0,4762
0,8511
Ushbu qiymatlarni oddiy shakl tenglamasiga almashtirib, biz quyidagi qiymatlarni olamiz:
0,08835
x(1) = 0,486793
0,446639
Yangi qiymatlarni almashtirib, biz quyidagilarni olamiz:
0,215243
x(2) = 0,405396
0,558336
Biz berilgan shartni qondiradigan qiymatlarga yaqinlashgunimizcha hisob-kitoblarni davom ettiramiz.
x (7) = 0,441091
Keling, olingan natijalarning to'g'riligini tekshiramiz:
4,5*0,1880 -1.7*0,441+3.5*0,544=2,0003
3,1*0,1880+2,3*0,441-1,1x*0,544=0,9987
1.8*0,1880+2.5*0,441+4.7*0,544=3,9977
Topilgan qiymatlarni dastlabki tenglamalarga almashtirish natijasida olingan natijalar tenglama shartlarini to'liq qondiradi.
Ko'rib turganimizdek, oddiy takrorlash usuli juda aniq natijalar beradi, ammo bu tenglamani hal qilish uchun biz ko'p vaqt sarflashimiz va mashaqqatli hisob-kitoblarni bajarishimiz kerak edi.
3-mavzu. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemalarini iterativ usullar yordamida yechish.
Yuqorida tavsiflangan SLAE ni hal qilishning to'g'ridan-to'g'ri usullari katta o'lchamli tizimlarni echishda unchalik samarali emas (ya'ni, qiymat n etarlicha katta). Bunday hollarda iterativ usullar SLAE ni hal qilish uchun ko'proq mos keladi.
SLAE ni hal qilishning iterativ usullari(ularning ikkinchi nomi - bu yechimga ketma-ket yaqinlashish usullari) SLAE ning aniq yechimini bermaydi, faqat yechimga yaqinlashadi va har bir keyingi yaqinlashish avvalgisidan olinadi va oldingisiga qaraganda aniqroqdir ( sharti bilan konvergentsiya iteratsiyalar). Dastlabki (yoki nol deb ataladigan) yaqinlashish kutilgan yechim yaqinida yoki o'zboshimchalik bilan tanlanadi (tizimning o'ng tomonining vektorini u sifatida qabul qilish mumkin). Aniq yechim bunday yaqinlashishlarning chegarasi sifatida topiladi, chunki ularning soni cheksizlikka intiladi. Qoidaga ko'ra, bu chegara cheklangan miqdordagi bosqichlarda (ya'ni iteratsiyalar) erishilmaydi. Shuning uchun amaliyotda kontseptsiya kiritiladi yechimning aniqligi, ya'ni qandaydir ijobiy va yetarlicha kichik son berilgan e hisob-kitoblar (iteratsiyalar) jarayoni esa munosabat qanoatlanguncha amalga oshiriladi .
Bu erda takrorlash sonidan keyin olingan yechimning taxminiyligi n , a - SLAE ning aniq yechimi (oldindan noma'lum). Takrorlashlar soni n = n (e ) , muayyan usullar uchun berilgan aniqlikka erishish uchun zarur bo'lgan, nazariy mulohazalardan olinishi mumkin (ya'ni, buning uchun hisoblash formulalari mavjud). Turli iteratsion usullarning sifatini bir xil aniqlikka erishish uchun zarur bo'lgan takrorlashlar soni bilan solishtirish mumkin.
Iterativ usullarni o'rganish konvergentsiya matritsalar normalarini hisoblay bilishingiz kerak. Matritsa normasi- bu mutlaq qiymatdagi matritsa elementlarining hajmini tavsiflovchi ma'lum bir raqamli qiymat. Oliy matematikada bir nechtasi bor har xil turlari odatda ekvivalent bo'lgan matritsalar normalari. Kursimizda ulardan faqat bittasidan foydalanamiz. Ya'ni, ostida matritsa normasi tushunamiz matritsaning alohida satrlari elementlarining mutlaq qiymatlari yig'indisi orasidagi maksimal qiymat. Matritsaning me'yorini ko'rsatish uchun uning nomi ikki juft vertikal chiziq bilan o'ralgan. Shunday qilib, matritsa uchun A uning normasi deganda miqdorni tushunamiz
. (3.1)
Shunday qilib, masalan, 1-misoldagi A matritsaning normasi quyidagicha topiladi:
SLAE ni hal qilish uchun uchta iterativ usul eng ko'p qo'llaniladi:
Oddiy takrorlash usuli
Yakobi usuli
Guass-Zeydel usuli.
Oddiy takrorlash usuli SLAEni asl shaklida yozishdan (2.1) shaklda yozishga o'tishni o'z ichiga oladi
(3.2)
yoki, bu ham bir xil, matritsa shaklida,
x = BILAN × x + D , (3.3)
C - o'zgartirilgan o'lchovlar tizimining koeffitsientlari matritsasi n ´ n
x - dan tashkil topgan noma'lumlar vektori n komponent
D - dan iborat o'zgartirilgan tizimning o'ng qismlari vektori n komponent.
(3.2) ko'rinishdagi tizim kichraytirilgan shaklda ifodalanishi mumkin
Ushbu ko'rinishga asoslanib oddiy takrorlash formulasi kabi ko'rinadi
Qayerda m - takrorlash raqami va - qiymat x j yoqilgan m - takrorlash bosqichi. Keyin, agar iteratsiya jarayoni yaqinlashsa, iteratsiyalar sonining ortishi bilan u kuzatiladi
Bu isbotlangan iteratsiya jarayoni birlashadi, Agar norma matritsalar D bo'ladi kamroq birliklars.
Agar boshlang'ich (nol) yaqinlashish sifatida erkin atamalar vektorini olsak, ya'ni. x (0) = D , Bu xatoning kattaligi o'xshaydi
(3.5)
bu erda ostida x * tizimning aniq yechimi tushuniladi. Demak,
Agar 
, keyin ko'ra belgilangan aniqlike
oldindan hisoblash mumkin kerakli iteratsiyalar soni. Ya'ni, munosabatdan
kichik o'zgarishlardan keyin biz olamiz
. (3.6)
Bunday qator takrorlashlarni amalga oshirishda tizimga yechim topishning belgilangan aniqligi kafolatlanadi. Bu nazariy taxmin kerakli miqdor iteratsiya bosqichlari biroz oshirib yuborilgan. Amalda talab qilinadigan aniqlikka kamroq takrorlashda erishish mumkin.
Olingan natijalarni quyidagi shakldagi jadvalga kiritish orqali oddiy iteratsiya usuli yordamida berilgan SLAE yechimlarini izlash qulay:
| x 1 | x 2 | x n |
||
Shuni alohida ta'kidlash kerakki, SLAE ni hal qilishda ushbu usul yordamida eng murakkab va vaqt talab qiluvchi sistemani (2.1) shakldan (3.2) shaklga aylantirishdan iborat. Ushbu o'zgarishlar ekvivalent bo'lishi kerak, ya'ni. dastlabki tizimning yechimini o'zgartirmaslik va matritsa normasining qiymatini ta'minlash C (ularni tugatgandan so'ng) kichikroq birlik. Bunday o'zgarishlarni amalga oshirish uchun yagona retsept yo'q. Bu erda, har bir aniq holatda, ijodiy bo'lish kerak. Keling, ko'rib chiqaylik misollar, bu tizimni aylantirishning ba'zi usullarini taqdim etadi talab qilinadigan tur.
1-misol. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasining yechimini oddiy takrorlash usuli yordamida (aniqlik bilan) topamiz. e= 0.001)
Bu tizim eng sodda tarzda kerakli shaklga keltiriladi. Keling, barcha shartlarni chap tomondan o'ngga siljitamiz, so'ngra har bir tenglamaning ikkala tomoniga qo'shamiz x i (i =1, 2, 3, 4). Biz quyidagi shakldagi o'zgartirilgan tizimni olamiz
.
Matritsa C va vektor D bu holda quyidagicha bo'ladi
C
=
,
D
=
.
Matritsaning normasini hisoblaymiz C . olamiz
Norm birlikdan kamroq bo'lganligi sababli, oddiy iteratsiya usulining yaqinlashishi ta'minlanadi. Dastlabki (nol) yaqinlashish sifatida biz vektorning komponentlarini olamiz D . olamiz
, 
, 
, 
.
Formuladan (3.6) foydalanib, biz iteratsiya bosqichlarining kerakli sonini hisoblaymiz. Avval vektor normasini aniqlaymiz D . olamiz
.
Shuning uchun, belgilangan aniqlikka erishish uchun kamida 17 marta takrorlash kerak. Keling, birinchi iteratsiyani qilaylik. olamiz
Barcha arifmetik amallarni bajarib, biz olamiz
.
Xuddi shunday davom etib, biz keyingi iteratsiya bosqichlarini bajaramiz. Biz ularning natijalarini quyidagi jadvalda umumlashtiramiz ( D- joriy va oldingi bosqichlar o'rtasidagi yechim komponentlarining eng katta o'zgarishi)
| M | |||||
O'ninchi bosqichdan so'ng oxirgi ikki iteratsiyadagi qiymatlar orasidagi farq belgilangan aniqlikdan kamroq bo'lganligi sababli, biz iteratsiya jarayonini to'xtatamiz. Yechim topilganidek, biz olingan qiymatlarni qabul qilamiz oxirgi qadam.
2-misol.
Keling, oldingi misol bilan bir xil ishni qilaylik. olamiz
Matritsa C shunday tizim bo'ladi
C
=
.
Keling, uning normasini hisoblaylik. olamiz
Shubhasiz, bunday matritsa uchun iteratsiya jarayoni konvergent bo'lmaydi. Berilgan tenglamalar tizimini o'zgartirishning boshqa usulini topish kerak.
Keling, uning individual tenglamalarini dastlabki tenglamalar tizimida shunday joylashtiramizki, uchinchi qator birinchi, birinchi - ikkinchi, ikkinchi - uchinchi bo'ladi. Keyin uni xuddi shu tarzda o'zgartirib, biz olamiz
Matritsa C shunday tizim bo'ladi
C
=
.
Keling, uning normasini hisoblaylik. olamiz
Matritsaning normasidan boshlab C birlikdan kamroq bo'lib chiqdi, bu tarzda o'zgartirilgan tizim oddiy iteratsiya usuli bilan hal qilish uchun mos keladi.
3-misol. Keling, tenglamalar tizimini o'zgartiramiz
uni hal qilishda oddiy takrorlash usulidan foydalanishga imkon beradigan shaklga.
Avval 1-misolga o'xshash tarzda harakat qilaylik. Biz qo'lga kiritamiz
Matritsa C shunday tizim bo'ladi
C
=
.
Keling, uning normasini hisoblaylik. olamiz
Shubhasiz, bunday matritsa uchun iteratsiya jarayoni konvergent bo'lmaydi.
Asl matritsani oddiy takrorlash usulini qo'llash uchun qulay shaklga aylantirish uchun biz quyidagi amallarni bajaramiz. Birinchidan, biz tenglamalarning "oraliq" tizimini yaratamiz
- birinchi tenglama dastlabki sistemaning birinchi va ikkinchi tenglamalarining yig‘indisidir
- ikkinchi tenglama- uchinchi tenglamaning ikki barobarining yig'indisi, ikkinchisi minus birinchisi
- uchinchi tenglama- dastlabki tizimning uchinchi va ikkinchi tenglamalari orasidagi farq.
Natijada, biz asl tenglamaga teng bo'lgan "oraliq" tenglamalar tizimini olamiz
Undan boshqa tizimni, "oraliq" tizimni olish oson
,
va undan aylantirildi
.
Matritsa C shunday tizim bo'ladi
C
=
.
Keling, uning normasini hisoblaylik. olamiz
Bunday matritsa uchun iteratsiya jarayoni konvergent bo'ladi.
Yakobi usuli matritsaning barcha diagonal elementlarini nazarda tutadi A Dastlabki tizimning (2.2) nolga teng emas. Keyin asl tizim sifatida qayta yozilishi mumkin
(3.7)
Bunday yozuvdan tizim shakllanadi Yakobi usulining iteratsiya formulasi
Yakobi usulining iteratsion jarayonining yaqinlashishi sharti shart deb ataladi diagonalning ustunligi asl tizimda (turi (2,1)). Analitik jihatdan bu shart shaklda yoziladi
. (3.9)
Shuni ta'kidlash kerakki, agar in berilgan tizim Tenglamalarda Yakobi usulining yaqinlashish sharti (ya'ni diagonalning ustunlik sharti) qoniqtirilmaydi, ko'p hollarda dastlabki SLAE ning ekvivalent o'zgarishlari yordamida uning yechimini bir yechimga olib kelish mumkin. bu shart qondiriladigan ekvivalent SLAE.
4-misol. Keling, tenglamalar tizimini o'zgartiramiz
uni yechishda Yakobi usulidan foydalanishga imkon beradigan shaklga.
Biz ushbu tizimni 3-misolda ko'rib chiqdik, shuning uchun undan u erda olingan "oraliq" tenglamalar tizimiga o'tamiz. Uning diagonal ustunlik sharti qanoatlantirilganligini aniqlash oson, shuning uchun uni Yakobi usulini qo'llash uchun zarur bo'lgan shaklga aylantiramiz. olamiz
Undan berilgan SLAE uchun Yakobi usuli yordamida hisob-kitoblarni bajarish formulasini olamiz
Uni boshlang'ich sifatida qabul qilish, ya'ni. nol, erkin atamalarning taxminiy vektori, biz barcha kerakli hisob-kitoblarni bajaramiz. Keling, natijalarni jadval shaklida umumlashtiramiz.
| m | D |
||||
Olingan eritmaning juda yuqori aniqligiga oltita takrorlashda erishildi.
Gauss-Zaydel usuli Yakobi usulining takomillashuvi bo'lib, shuningdek, matritsaning barcha diagonal elementlarini nazarda tutadi A Dastlabki tizimning (2.2) nolga teng emas. Keyin asl tizimni Yakobi usuliga o'xshash shaklda qayta yozish mumkin, lekin undan biroz farq qiladi
Bu erda shuni esda tutish kerakki, agar yig'ish belgisida yuqori indeks pastki indeksdan kichik bo'lsa, unda yig'ish amalga oshirilmaydi.
Gauss-Zeydel usulining g'oyasi shundan iboratki, usul mualliflari keyingi iteratsiya jarayonida yangi qiymatni topganligi sababli, Yakobi usuliga nisbatan hisoblash jarayonini tezlashtirish imkoniyatini ko'rdilar. x 1 mumkin darhol ushbu yangi qiymatdan foydalaning xuddi shu iteratsiyada qolgan o'zgaruvchilarni hisoblash uchun. Xuddi shunday, bundan keyin ham yangi qiymat topib x 2 siz uni darhol xuddi shu iteratsiyada ishlatishingiz mumkin va hokazo.
Shunga asoslanib, Gauss-Zeydel usuli uchun iteratsiya formulasi ega keyingi ko'rinish
Yetarlikonvergentsiya bandi Gauss-Zaydel usulining iteratsiya jarayoni ham xuddi shunday shart diagonalning ustunligi (3.9). Konvergentsiya tezligi Bu usul Yakobi usulidan biroz yuqoriroq.
5-misol. Gauss-Zaydel usuli yordamida tenglamalar tizimini yechamiz
Biz ushbu tizimni 3 va 4-misollarda ko'rib chiqdik, shuning uchun biz darhol undan diagonalning ustunlik sharti qondiriladigan o'zgartirilgan tenglamalar tizimiga (4-misolga qarang) o'tamiz. Undan Gauss-Zeydel usuli yordamida hisob-kitoblarni bajarish formulasini olamiz
Erkin shartlar vektorini boshlang'ich (ya'ni nol) yaqinlashish sifatida olib, biz barcha kerakli hisob-kitoblarni bajaramiz. Keling, natijalarni jadval shaklida umumlashtiramiz.
| m | ||||
Olingan eritmaning juda yuqori aniqligiga beshta takrorlashda erishildi.
KIRISH
1.SLAUENI ODDIY ITERATSIYA USULI BILAN YECHISH
1.1 Yechim usulining tavsifi
1.2 Dastlabki ma'lumotlar
1.3 Algoritm
1.4 QBasic tilidagi dastur
1.5 Dastur natijasi
1.6 Dastur natijasini tekshirish
2. TANGENT USULI FOYDALANISH ILKNI TAKLIFLASH
2.1 Yechim usulining tavsifi
2.2 Dastlabki ma'lumotlar
2.3 Algoritm
2.4 QBasic tilidagi dastur
2.5 Dastur natijasi
2.6 Dastur natijasini tekshirish
3. TO‘RT TO‘RT burchak qoidasiga ko‘ra SONI INTEGRASYON.
3.1 Yechim usulining tavsifi
3.2 Dastlabki ma'lumotlar
3.3 Algoritm
3.4 QBasic tilidagi dastur
3.5 Dastur natijasini tekshirish
4.1 Umumiy ma'lumot dastur haqida
4.1.1 Maqsad va o'ziga xos xususiyatlar
4.1.2 WinRAR cheklovlari
4.1.3 WinRAR tizimi talablari
4.2 WinRAR interfeysi
4.3 Fayl va arxivlarni boshqarish rejimlari
4.4 Kontekst menyularidan foydalanish
XULOSA
ADABIYOTLAR
KIRISH
Buning maqsadi kurs ishi chiziqli algebraik tenglamalar tizimini Gauss usuli yordamida yechish algoritmlari va dasturlarini ishlab chiqish; akkord usuli yordamida chiziqli bo'lmagan tenglama; trapezoidal qoida yordamida raqamli integratsiya uchun.
Algebraik tenglamalar faqat algebraik funktsiyalarni (butun, ratsional, irratsional) o'z ichiga olgan tenglamalardir. Xususan, polinom butun algebraik funktsiyadir. Boshqa funktsiyalarni (trigonometrik, eksponensial, logarifmik va boshqalar) o'z ichiga olgan tenglamalar transsendental deyiladi.
Chiziqli algebraik tenglamalar tizimini yechish usullari ikki guruhga bo'linadi:
· tizimning ildizlarini hisoblashning chekli algoritmlari bo'lgan aniq usullar (teskari matritsa yordamida tizimlarni echish, Kramer qoidasi, Gauss usuli va boshqalar),
· konvergent iterativ jarayonlar (iteratsiya usuli, Zaydel usuli va boshqalar) orqali berilgan aniqlikdagi tizim yechimini olish imkonini beruvchi iterativ usullar.
Muqarrar yaxlitlash tufayli hatto aniq usullarning natijalari taxminiydir. Iterativ usullardan foydalanganda, qo'shimcha ravishda, usul xatosi qo'shiladi.
Chiziqli algebraik tenglamalar tizimini yechish hisoblash chiziqli algebraning asosiy muammolaridan biridir. Garchi tizimni hal qilish muammosi chiziqli tenglamalar Ilovalar uchun nisbatan kamdan-kam hollarda turli xil jarayonlarni matematik modellashtirish imkoniyati ko'pincha bunday tizimlarni samarali hal qilish qobiliyatiga bog'liq. Turli xil (ayniqsa, chiziqli bo'lmagan) muammolarni hal qilishning raqamli usullarining muhim qismi tegishli algoritmning elementar bosqichi sifatida chiziqli tenglamalar tizimini echishni o'z ichiga oladi.
Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi yechimga ega bo'lishi uchun asosiy matritsaning darajasi kengaytirilgan matritsaning darajasiga teng bo'lishi zarur va etarlidir. Agar asosiy matritsaning darajasi kengaytirilgan matritsa darajasiga teng va noma'lumlar soniga teng bo'lsa, u holda tizim noyob echimga ega. Agar asosiy matritsaning darajasi kengaytirilgan matritsaning darajasiga teng bo'lsa, lekin noma'lumlar sonidan kam bo'lsa, u holda tizim cheksiz miqdordagi echimlarga ega.
Chiziqli tenglamalar tizimini yechishning eng keng tarqalgan usullaridan biri Gauss usulidir. Bu usul ma'lum turli xil variantlar 2000 yildan ortiq. Gauss usuli chiziqli algebraik tenglamalar tizimini (SLAE) yechishning klassik usuli hisoblanadi. Bu o'zgaruvchilarni ketma-ket yo'q qilish usuli bo'lib, elementar transformatsiyalar yordamida tenglamalar tizimi bosqichli (yoki uchburchak) ekvivalent tizimga tushirilganda, boshqa barcha o'zgaruvchilar oxirgidan boshlab ketma-ket topiladi. raqam) o'zgaruvchilar.
To'g'ri aytganda, yuqorida tavsiflangan usul to'g'ri Gauss-Jordan yo'q qilish usuli deb ataladi, chunki u 1887 yilda geodezik Vilgelm Jordan tomonidan tasvirlangan Gauss usulining o'zgarishi). Shunisi qiziqki, Iordaniya bilan bir vaqtda (ba'zi ma'lumotlarga ko'ra, undan oldin ham) bu algoritm B.-I.
Nochiziqli tenglamalar ko'rinishdagi algebraik va transsendental tenglamalar deb tushuniladi, bu erda x haqiqiy son va chiziqli bo'lmagan funktsiyadir. Ushbu tenglamalarni yechish uchun akkord usuli - ildizlarni taxminiy aniqlash uchun takrorlanuvchi raqamli usul qo'llaniladi. Ma'lumki, ko'pgina tenglamalar va tenglamalar tizimlarining analitik yechimlari mavjud emas. Bu, birinchi navbatda, ko'pchilik transsendental tenglamalarga tegishli. Bundan tashqari, to'rtdan yuqori darajali ixtiyoriy algebraik tenglamani yechish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan formulani qurish mumkin emasligi isbotlangan. Bundan tashqari, ba'zi hollarda tenglama faqat taxminan ma'lum bo'lgan koeffitsientlarni o'z ichiga oladi va shuning uchun muammoning o'zi aniq ta'rif tenglamaning ildizlari o'z ma'nosini yo'qotadi. Ularni hal qilish uchun ma'lum bir aniqlik darajasi bilan iterativ usullar qo'llaniladi. Tenglamani iterativ usul yordamida yechish uning ildizlari bor-yo‘qligini, nechta ildiz borligini aniqlash va kerakli aniqlikda ildizlarning qiymatlarini topishni anglatadi.
f(x) = 0 tenglamaning ildizini takroriy usul yordamida topish vazifasi ikki bosqichdan iborat:
· ildizlarni ajratish - ildiz yoki uni o'z ichiga olgan segmentning taxminiy qiymatini topish;
· taxminiy ildizlarni aniqlashtirish - ularni ma'lum bir aniqlik darajasiga etkazish.
dan oraliqda olingan f(x) funksiyaning aniq integrali bilan a uchun b, barcha ∆x i oraliqlari nolga moyil bo'lganligi sababli integral yig'indining moyillik chegarasi. Trapetsiya qoidasiga ko‘ra F(x) funksiya grafigini ikkita (x 0,y 0) va (x 0 +h,y 1) nuqtalardan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziqqa almashtirish va qiymatini hisoblash kerak. Trapezoidning maydoni sifatida integral yig'indi elementining: 
.
SLAUNI ODDIY ITERATSIYA USULI BILAN YECHISH
1.1 Uzluksiz takrorlash usulining tavsifi
Algebraik tenglamalar tizimlari (SLAE) quyidagi shaklga ega:
yoki matritsa shaklida yozilganda:
Amalda, SLAEni raqamli echishning ikki xil usuli qo'llaniladi - to'g'ridan-to'g'ri va bilvosita. To'g'ridan-to'g'ri usullardan foydalanganda, SLAE kerakli echimni (agar mavjud bo'lsa) aniq olish imkonini beruvchi maxsus shakllardan biriga (diagonal, uchburchak) qisqartiriladi. SLAE ni hal qilishning eng keng tarqalgan to'g'ridan-to'g'ri usuli Gauss usulidir. Berilgan aniqlik bilan SLAE ning taxminiy yechimini topish uchun iterativ usullardan foydalaniladi. Shuni ta'kidlash kerakki, iterativ jarayon har doim ham tizimning yechimiga yaqinlashmaydi, faqat hisob-kitoblar paytida olingan yaqinlashishlar ketma-ketligi aniq yechimga intilmayapti. Oddiy takrorlash usuli yordamida SLAE ni yechishda, u chap tomonda qidirilayotgan o'zgaruvchilardan faqat bittasi bo'lgan shaklga aylantiriladi:
Ba'zi bir dastlabki taxminlarni belgilab bo'lgach xi, i=1,2,…,n, ularni ifodalarning o'ng tomoniga almashtiring va yangi qiymatlarni hisoblang x. Jarayon quyidagi ifoda bilan aniqlangan qoldiqlarning maksimal soniga qadar takrorlanadi:
belgilangan aniqlikdan kam bo'lmaydi e. Agar maksimal nomuvofiqlik bo'lsa k th iteratsiya da maksimal nomuvofiqlikdan kattaroq bo'ladi k-1 th iteratsiya, keyin jarayon g'ayritabiiy tarzda tugatiladi, chunki iterativ jarayon farqlanadi. Takrorlashlar sonini kamaytirish uchun oldingi iteratsiyaning qoldiq qiymatlari yordamida yangi x qiymatlarini hisoblash mumkin.
