Oddiy trigonometrik tenglamalarni yechish.
Har qanday murakkablik darajasidagi trigonometrik tenglamalarni yechish oxir-oqibat eng oddiy trigonometrik tenglamalarni yechishga to‘g‘ri keladi. Va bunda eng yaxshi yordamchi yana trigonometrik doira bo'lib chiqadi.
Keling, kosinus va sinusning ta'riflarini eslaylik.
Burchakning kosinusu - bu birlik aylanadagi nuqtaning berilgan burchak orqali aylanishga mos keladigan abssissasi (ya'ni o'qi bo'ylab koordinatasi).
Burchakning sinusi - birlik doiradagi nuqtaning berilgan burchak orqali aylanishga mos keladigan ordinatasi (ya'ni o'qi bo'ylab koordinatasi).
Trigonometrik doiradagi harakatning ijobiy yo'nalishi soat sohasi farqli o'laroq. 0 daraja (yoki 0 radian) burilish koordinatalari (1;0) bo'lgan nuqtaga to'g'ri keladi.
Bu ta’riflardan oddiy trigonometrik tenglamalarni yechishda foydalanamiz.
1. Tenglamani yeching
Ushbu tenglama aylanadagi ordinatasi teng bo'lgan nuqtalarga mos keladigan aylanish burchagining barcha qiymatlari bilan qondiriladi.
Ordinat o'qida ordinatasi bo'lgan nuqtani belgilaymiz:
X o'qiga parallel gorizontal chiziqni aylana bilan kesishguncha o'tkazing. Biz aylanada yotgan va ordinataga ega bo'lgan ikkita nuqtani olamiz. Bu nuqtalar burilish burchaklariga va radianlarga mos keladi:
Agar biz radianga burilish burchagiga mos keladigan nuqtani qoldirib, to'liq aylana bo'ylab aylansak, u holda biz bir radianga aylanish burchagiga mos keladigan va bir xil ordinataga ega bo'lgan nuqtaga kelamiz. Ya'ni, bu aylanish burchagi ham bizning tenglamamizni qanoatlantiradi. Biz xohlagancha "bo'sh" inqiloblarni amalga oshirishimiz mumkin, xuddi shu nuqtaga qaytamiz va bu burchak qiymatlarining barchasi bizning tenglamamizni qondiradi. "Bo'sh" inqiloblar soni harf (yoki) bilan belgilanadi. Biz bu inqiloblarni ham ijobiy, ham salbiy yo'nalishda qilishimiz mumkinligi sababli (yoki) har qanday butun son qiymatlarini olishimiz mumkin.
Ya'ni, dastlabki tenglamaning birinchi qator yechimlari quyidagi ko'rinishga ega:
, , - butun sonlar to'plami (1)
Xuddi shunday, yechimlarning ikkinchi seriyasi quyidagi shaklga ega:
, Qayerda ,. (2)
Siz taxmin qilganingizdek, bu yechimlar qatori aylanadagi burilish burchagiga mos keladigan nuqtaga asoslangan.
Ushbu ikkita yechim seriyasini bitta yozuvga birlashtirish mumkin:
Agar biz ushbu yozuvda (ya'ni, hatto) qabul qilsak, biz yechimlarning birinchi qatorini olamiz.
Agar biz ushbu yozuvda (ya'ni, g'alati) qabul qilsak, biz ikkinchi qator echimlarni olamiz.
2. Endi tenglamani yechamiz
Bu burchak orqali aylanish natijasida olingan birlik doiradagi nuqtaning abscissasi bo'lgani uchun, biz nuqtani o'qdagi abscissa bilan belgilaymiz:
Doira bilan kesishmaguncha o'qga parallel ravishda vertikal chiziq torting. Biz aylanada yotgan va abscissaga ega bo'lgan ikkita ochko olamiz. Bu nuqtalar burilish burchaklariga va radianlarga mos keladi. Eslatib o'tamiz, soat yo'nalishi bo'yicha harakatlanayotganda biz salbiy burilish burchagini olamiz:
Keling, ikkita yechim seriyasini yozamiz:
,
,
(Biz asosiy to'liq doiradan o'tish orqali kerakli nuqtaga erishamiz, ya'ni.
Keling, ushbu ikkita seriyani bitta yozuvga birlashtiramiz:
3. Tenglamani yeching
Tangens chiziq OY o'qiga parallel bo'lgan birlik doirasining koordinatalari (1,0) bo'lgan nuqtadan o'tadi.
Undagi ordinatasi 1 ga teng nuqtani belgilaymiz (qaysi burchaklar 1 ga teng bo'lgan tangensini qidiramiz):
Bu nuqtani to‘g‘ri chiziq bilan koordinatalar boshiga bog‘laymiz va chiziqning birlik aylana bilan kesishgan nuqtalarini belgilaymiz. To'g'ri chiziq va aylananing kesishish nuqtalari burilish burchaklariga to'g'ri keladi va:
Tenglamamizni qanoatlantiradigan burilish burchaklariga mos keladigan nuqtalar bir-biridan radian masofada joylashganligi sababli, yechimni quyidagicha yozishimiz mumkin:
4. Tenglamani yeching
Kotangentlar chizig'i birlik doiraning koordinatalari o'qga parallel bo'lgan nuqtadan o'tadi.
Kotangens to‘g‘rida abscissa -1 bo‘lgan nuqtani belgilaymiz:
Bu nuqtani to‘g‘ri chiziqning boshiga bog‘laymiz va uni aylana bilan kesishguncha davom ettiramiz. Ushbu to'g'ri chiziq aylanani burilish burchaklariga va radianlarga mos keladigan nuqtalarda kesib o'tadi:
Bu nuqtalar bir-biridan teng masofa bilan ajratilganligi uchun bu tenglamaning umumiy yechimini quyidagicha yozishimiz mumkin:
Eng oddiy trigonometrik tenglamalarning yechimini ko'rsatadigan misollarda trigonometrik funktsiyalarning jadval qiymatlari ishlatilgan.
Biroq, agar tenglamaning o'ng tomonida jadval bo'lmagan qiymat bo'lsa, biz qiymatni tenglamaning umumiy yechimiga almashtiramiz:
MAXSUS ECHIMLAR:
Doiradagi ordinatasi 0 ga teng nuqtalarni belgilaymiz:
Aylanada ordinatasi 1 ga teng bitta nuqtani belgilaymiz:
Aylanada ordinatasi -1 ga teng bo'lgan bitta nuqtani belgilaymiz:
Nolga yaqin qiymatlarni ko'rsatish odatiy hol bo'lganligi sababli, biz yechimni quyidagicha yozamiz:
Doira ustidagi abtsissasi 0 ga teng nuqtalarni belgilaymiz:
5.
Aylanada abtsissasi 1 ga teng bo‘lgan bitta nuqtani belgilaymiz:
Aylanada abtsissasi -1 ga teng bo'lgan bitta nuqtani belgilaymiz:
Va biroz murakkabroq misollar:
1.
Argument teng bo'lsa, sinus birga teng bo'ladi
Sinusimizning argumenti teng, shuning uchun biz olamiz:
Tenglikning ikkala tomonini 3 ga bo'ling:
Javob:
2.
Kosinus nolga teng, agar kosinus argumenti teng bo'lsa
Bizning kosinus argumenti ga teng, shuning uchun biz quyidagilarni olamiz:
Keling, buni amalga oshirish uchun avval qarama-qarshi belgi bilan o'ngga harakat qilamiz:
Keling, o'ng tomonni soddalashtiramiz:
Ikkala tomonni -2 ga bo'ling:
E'tibor bering, atama oldidagi belgi o'zgarmaydi, chunki k har qanday butun qiymatni qabul qilishi mumkin.
Javob:
Va nihoyat, "Trigonometrik aylana yordamida trigonometrik tenglamada ildizlarni tanlash" video darsini tomosha qiling.
Shu bilan oddiy trigonometrik tenglamalarni yechish haqidagi suhbatimiz yakunlanadi. Keyingi safar qanday qaror qabul qilish haqida gaplashamiz.
Ko'pchilikni hal qilganda matematik muammolar, ayniqsa, 10-sinfdan oldin sodir bo'lganlar, maqsadga olib keladigan harakatlar tartibi aniq belgilangan. Bunday muammolarga, masalan, chiziqli va kvadrat tenglamalar, chiziqli va kvadrat tengsizliklar, kasr tenglamalar va kvadratik tenglamalar. Yuqorida aytib o'tilgan muammolarning har birini muvaffaqiyatli hal qilish printsipi quyidagilardan iborat: muammoning qaysi turi hal qilinayotganini aniqlash kerak, kerakli natijaga olib keladigan kerakli harakatlar ketma-ketligini esga olish kerak, ya'ni. javob bering va ushbu bosqichlarni bajaring.
Ko'rinib turibdiki, muayyan masalani hal qilishda muvaffaqiyat yoki muvaffaqiyatsizlik, asosan, echilayotgan tenglama turi qanchalik to'g'ri aniqlanganiga, uni hal qilishning barcha bosqichlari ketma-ketligi qanchalik to'g'ri takrorlanganiga bog'liq. Albatta, bu holda bir xil o'zgartirish va hisob-kitoblarni bajarish ko'nikmalariga ega bo'lish kerak.
bilan vaziyat boshqacha trigonometrik tenglamalar. Tenglamaning trigonometrik ekanligini aniqlash unchalik qiyin emas. To'g'ri javobga olib keladigan harakatlar ketma-ketligini aniqlashda qiyinchiliklar paydo bo'ladi.
tomonidan ko'rinish tenglama, uning turini aniqlash ba'zan qiyin. Va tenglama turini bilmasdan, bir necha o'nlab trigonometrik formulalardan to'g'risini tanlash deyarli mumkin emas.
Qaror qabul qilish uchun trigonometrik tenglama, siz sinashingiz kerak:
1. tenglamaga kiritilgan barcha funksiyalarni “bir xil burchaklarga” keltiring;
2. tenglamani “bir xil funksiyalar”ga keltiring;
3. tenglamaning chap tomonini ko‘paytiring va hokazo.
Keling, ko'rib chiqaylik trigonometrik tenglamalarni yechishning asosiy usullari.
I. Eng oddiy trigonometrik tenglamalarga keltirish
Yechim diagrammasi
1-qadam. Trigonometrik funktsiyani ma'lum komponentlar bilan ifodalang.
2-qadam. Funktsiya argumentini formulalar yordamida toping:
cos x = a; x = ±arccos a + 2pn, n ЄZ.
sin x = a; x = (-1) n arcsin a + pn, n Ê Z.
tan x = a; x = arktan a + pn, n Ê Z.
ctg x = a; x = arcctg a + pn, n Ê Z.
3-qadam. Noma'lum o'zgaruvchini toping.
Misol.
2 cos(3x – p/4) = -√2.
Yechim.
1) cos(3x – p/4) = -√2/2.
2) 3x – p/4 = ±(p – p/4) + 2pn, n Ê Z;
3x – p/4 = ±3p/4 + 2pn, n Ê Z.
3) 3x = ±3p/4 + p/4 + 2pn, n Ê Z;
x = ±3p/12 + p/12 + 2pn/3, n Ê Z;
x = ±p/4 + p/12 + 2pn/3, n Ê Z.
Javob: ±p/4 + p/12 + 2pn/3, n Ê Z.
II. O'zgaruvchan almashtirish
Yechim diagrammasi
1-qadam. Trigonometrik funksiyalardan biriga nisbatan tenglamani algebraik shaklga keltiring.
2-qadam. Hosil bo‘lgan funksiyani t o‘zgaruvchisi bilan belgilang (agar kerak bo‘lsa, t ga cheklovlar kiriting).
3-qadam. Olingan algebraik tenglamani yozing va yeching.
4-qadam. Teskari almashtirishni amalga oshiring.
5-qadam. Eng oddiy trigonometrik tenglamani yeching.
Misol.
2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.
Yechim.
1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;
2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.
2) Sin (x/2) = t bo'lsin, bu erda |t| ≤ 1.
3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;
t = 1 yoki e = -3/2, |t| shartini qanoatlantirmaydi ≤ 1.
4) sin(x/2) = 1.
5) x/2 = p/2 + 2pn, n Ê Z;
x = p + 4pn, n Ê Z.
Javob: x = p + 4pn, n Ê Z.
III. Tenglama tartibini qisqartirish usuli
Yechim diagrammasi
1-qadam. Darajani kamaytirish formulasidan foydalanib, ushbu tenglamani chiziqli bilan almashtiring:
sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);
cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);
tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).
2-qadam. Olingan tenglamani I va II usullar yordamida yeching.
Misol.
cos 2x + cos 2 x = 5/4.
Yechim.
1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.
2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;
3/2 cos 2x = 3/4;
2x = ±p/3 + 2pn, n Ê Z;
x = ±p/6 + pn, n Ê Z.
Javob: x = ±p/6 + pn, n Ê Z.
IV. Bir jinsli tenglamalar
Yechim diagrammasi
1-qadam. Ushbu tenglamani shaklga qisqartiring
a) sin x + b cos x = 0 (birinchi darajali bir hil tenglama)
yoki ko'rinishga
b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (ikkinchi darajali bir jinsli tenglama).
2-qadam. Tenglamaning ikkala tomonini ga bo'ling
a) cos x ≠ 0;
b) cos 2 x ≠ 0;
va tan x uchun tenglamani oling:
a) tan x + b = 0;
b) a tan 2 x + b arktan x + c = 0.
3-qadam. Tenglamani ma'lum usullar yordamida yeching.
Misol.
5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.
Yechim.
1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;
5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;
sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.
2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.
3) U holda tg x = t bo'lsin
t 2 + 3t – 4 = 0;
t = 1 yoki t = -4, bu degani
tg x = 1 yoki tg x = -4.
Birinchi tenglamadan x = p/4 + pn, n Ê Z; ikkinchi tenglamadan x = -arctg 4 + pk, k Є Z.
Javob: x = p/4 + pn, n Ê Z; x = -arctg 4 + pk, k Є Z.
V. Trigonometrik formulalar yordamida tenglamani o'zgartirish usuli
Yechim diagrammasi
1-qadam. Barcha mumkin bo'lgan trigonometrik formulalardan foydalanib, bu tenglamani I, II, III, IV usullar bilan yechilgan tenglamaga keltiring.
2-qadam. Hosil boʻlgan tenglamani maʼlum usullar yordamida yeching.
Misol.
sin x + gunoh 2x + gunoh 3x = 0.
Yechim.
1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;
2sin 2x cos x + sin 2x = 0.
2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;
sin 2x = 0 yoki 2cos x + 1 = 0;
Birinchi tenglamadan 2x = p/2 + pn, n Ê Z; ikkinchi tenglamadan cos x = -1/2.
Bizda x = p/4 + pn/2, n Ê Z; ikkinchi tenglamadan x = ±(p – p/3) + 2pk, k Ê Z.
Natijada, x = p/4 + pn/2, n Ê Z; x = ±2p/3 + 2pk, k Ê Z.
Javob: x = p/4 + pn/2, n Ê Z; x = ±2p/3 + 2pk, k Ê Z.
Trigonometrik tenglamalarni yechish qobiliyati va mahorati juda katta 
muhim, ularning rivojlanishi talaba tomonidan ham, o'qituvchi tomonidan ham katta kuch talab qiladi.
Stereometriya, fizika va boshqalarning ko'pgina masalalari trigonometrik tenglamalarni yechish bilan bog'liq.
Trigonometrik tenglamalar matematikani o'rganish va umuman shaxsiy rivojlanish jarayonida muhim o'rin tutadi.
Hali ham savollaringiz bormi? Trigonometrik tenglamalarni yechishni bilmayapsizmi?
Repetitordan yordam olish uchun ro'yxatdan o'ting.
Birinchi dars bepul!
veb-sayt, materialni to'liq yoki qisman nusxalashda manbaga havola talab qilinadi.
Trigonometrik tenglamalarni yechish usullari
Kirish 2
Trigonometrik tenglamalarni yechish usullari 5
Algebraik 5
Xuddi shu nomdagi trigonometrik funksiyalarning tenglik shartidan foydalanib tenglamalarni yechish 7
Faktorizatsiya 8
Bir jinsli tenglamaga keltirish 10
Yordamchi burchakning kiritilishi 11
Mahsulotni 14 summaga aylantiring
Universal almashtirish 14
Xulosa 17
Kirish
O'ninchi sinfga qadar maqsadga olib keladigan ko'plab mashqlarning harakatlar tartibi, qoida tariqasida, aniq belgilangan. Masalan, chiziqli va kvadrat tenglamalar va tengsizliklar, kasr tenglamalar va kvadratik tenglamalar va boshqalar. Yuqorida keltirilgan misollarning har birini hal qilish tamoyilini batafsil ko'rib chiqmasdan, biz ularni muvaffaqiyatli hal qilish uchun zarur bo'lgan umumiy narsalarni ta'kidlaymiz.
Ko'pgina hollarda, siz vazifaning qaysi turini belgilashingiz, maqsadga olib keladigan harakatlar ketma-ketligini eslab qolishingiz va bu harakatlarni bajarishingiz kerak. Shubhasiz, talabaning tenglamalarni yechish usullarini o'zlashtirishdagi muvaffaqiyati yoki muvaffaqiyatsizligi, asosan, uning tenglama turini qanchalik to'g'ri aniqlay olishi va uni yechishning barcha bosqichlari ketma-ketligini eslab qolishiga bog'liq. Albatta, talabaning bir xil o'zgartirish va hisob-kitoblarni bajarish qobiliyati borligi taxmin qilinadi.
Maktab o'quvchisi trigonometrik tenglamalarga duch kelganda butunlay boshqacha vaziyat yuzaga keladi. Bundan tashqari, tenglamaning trigonometrik ekanligini aniqlash qiyin emas. Ijobiy natijaga olib keladigan harakat yo'nalishini topishda qiyinchiliklar paydo bo'ladi. Va bu erda talaba ikkita muammoga duch keladi. Tenglamaning ko'rinishi bo'yicha turni aniqlash qiyin. Va turini bilmasdan, mavjud bo'lgan o'nlab formulalardan kerakli formulani tanlash deyarli mumkin emas.
Talabalarga topishga yordam berish to'g'ri yo'l trigonometrik tenglamalarning murakkab labirintida ular birinchi navbatda yangi o'zgaruvchi kiritilgandan keyin kvadrat tenglamalarga keltiriladigan tenglamalar bilan tanishadilar. Keyin ular bir hil tenglamalarni va ularga qaytariladigan tenglamalarni echadilar. Hamma narsa, qoida tariqasida, tenglamalar bilan tugaydi, uni hal qilish uchun chap tomonni koeffitsient qilish kerak, keyin esa har bir omilni nolga tenglashtirish kerak.
Darslarda muhokama qilingan o'nlab, bir yarim tenglamalar talabani trigonometrik "dengiz" bo'ylab mustaqil sayohatga chiqarish uchun etarli emasligini tushunib, o'qituvchi yana bir nechta tavsiyalar qo'shadi.
Trigonometrik tenglamani yechish uchun siz quyidagilarni sinab ko'rishingiz kerak:
Tenglamaga kiritilgan barcha funktsiyalarni "bir xil burchaklarga" keltiring;
Tenglamani "bir xil funktsiyalar" ga qisqartiring;
Tenglamaning chap tomonini koeffitsientga kiriting va hokazo.
Ammo trigonometrik tenglamalarning asosiy turlarini va ularning yechimlarini topishning bir qancha tamoyillarini bilishiga qaramay, ko‘pchilik o‘quvchilar avvalgilaridan bir oz farq qiladigan har bir tenglamadan qotib qolishadi. U yoki bu tenglamaga ega bo'lganda nimaga intilish kerakligi, nima uchun bir holatda ikki burchakli formulalardan, boshqasida - yarim burchakdan, uchinchisida - qo'shimcha formulalardan foydalanish kerakligi noma'lumligicha qolmoqda.
Ta'rif 1. Trigonometrik tenglama - bu trigonometrik funksiyalar belgisi ostida noma'lum bo'lgan tenglama.
Ta'rif 2. Trigonometrik tenglama, agar unga kiritilgan barcha trigonometrik funktsiyalar teng argumentlarga ega bo'lsa, u teng burchaklarga ega deyiladi. Trigonometrik tenglama, agar u trigonometrik funktsiyalardan faqat bittasini o'z ichiga olsa, bir xil funktsiyalarga ega deyiladi.
Ta'rif 3. Trigonometrik funktsiyalarni o'z ichiga olgan monomialning kuchi unga kiritilgan trigonometrik funktsiyalarning darajalari yig'indisidir.
Ta'rif 4. Agar unga kiritilgan barcha monomlar bir xil darajaga ega bo'lsa, tenglama bir jinsli deb ataladi. Bu daraja tenglamaning tartibi deb ataladi.
Ta'rif 5. Faqat funktsiyalarni o'z ichiga olgan trigonometrik tenglama gunoh Va cos, agar trigonometrik funktsiyalarga nisbatan barcha monomlar bir xil darajaga ega bo'lsa va trigonometrik funktsiyalarning o'zi teng burchaklarga ega bo'lsa va monomlar soni tenglama tartibidan 1 ga ko'p bo'lsa, bir jinsli deyiladi.
Trigonometrik tenglamalarni yechish usullari.
Trigonometrik tenglamalarni yechish ikki bosqichdan iborat: tenglamani eng oddiy shaklini olish uchun aylantirish va natijada olingan eng oddiy trigonometrik tenglamani yechish. Trigonometrik tenglamalarni yechishning ettita asosiy usuli mavjud.
I. Algebraik usul. Bu usul algebradan yaxshi ma'lum. (O'zgaruvchini almashtirish va almashtirish usuli).
Tenglamalarni yechish.
1)
Keling, belgi bilan tanishtiramiz x=2 gunoh3 t, olamiz
Ushbu tenglamani yechish orqali biz quyidagilarni olamiz: 
yoki 
bular. yozib olish mumkin
Belgilar mavjudligi sababli olingan eritmani yozib olishda 
daraja 
uni yozishdan foyda yo'q.
Javob: 
belgilaylik 
Biz kvadrat tenglamani olamiz 
. Uning ildizlari raqamlardir 
Va 
. Shuning uchun bu tenglama eng oddiy trigonometrik tenglamalarga kamayadi 
Va 
. Ularni hal qilib, biz buni topamiz 
yoki 
.
Javob: 
; 
.
belgilaylik 
shartni qoniqtirmaydi 
anglatadi 
Javob: 
Tenglamaning chap tomonini aylantiramiz:
Shunday qilib, bu boshlang'ich tenglamani quyidagicha yozish mumkin:
, ya'ni.
Belgilangan holda 
, olamiz 
Ushbu kvadrat tenglamani yechishda biz quyidagilarga ega bo'lamiz:
shartni qoniqtirmaydi 
Asl tenglamaning yechimini yozamiz:
Javob: 
O'zgartirish 
bu tenglamani kvadrat tenglamaga keltiradi 
. Uning ildizlari raqamlardir 
Va 
. Chunki 
, u holda berilgan tenglamaning ildizlari yo'q.
Javob: ildiz yo'q.
II. Xuddi shu nomdagi trigonometrik funksiyalarning tenglik sharti yordamida tenglamalarni yechish.
A) 
, Agar
b) 
, Agar
V) 
, Agar 
Ushbu shartlardan foydalanib, quyidagi tenglamalarni echishni ko'rib chiqing:
6) 
a) qismida aytilganlardan foydalanib, biz tenglamaning yechimi borligini aniqlaymiz, agar va faqat 
.
Ushbu tenglamani yechib, topamiz 
.
Bizda ikkita yechim guruhi mavjud: 
.
7) tenglamani yeching: 
.
b) bandining shartidan foydalanib, shuni xulosa qilamiz 
.
Ushbu kvadrat tenglamalarni yechish orqali biz quyidagilarni olamiz:
.
8) Tenglamani yeching 
.
Bu tenglamadan biz shunday xulosa chiqaramiz. Ushbu kvadrat tenglamani yechish, biz buni topamiz 
.
III. Faktorizatsiya.
Biz ushbu usulni misollar bilan ko'rib chiqamiz.
9) Tenglamani yeching 
.
Yechim. Tenglamaning barcha shartlarini chapga siljiymiz: .
Tenglamaning chap tomonidagi ifodani o‘zgartiramiz va faktorlarga ajratamiz: 
.
.
.
1)
2) 
Chunki 
Va 
nol qiymatini qabul qilmang
bir vaqtning o'zida, keyin ikkala qismni ham ajratamiz
uchun tenglamalar 
, 
Javob: 
10) tenglamani yeching:
Yechim.
yoki 
Javob: 
11) Tenglamani yeching
Yechim:
1)
2)
3)
, 
Javob: 
IV. Bir jinsli tenglamaga keltirish.
Bir hil tenglamani yechish uchun sizga kerak bo'ladi:
Uning barcha a'zolarini chap tomonga siljiting;
Qavslar ichidan barcha umumiy omillarni joylashtiring;
Barcha omillar va qavslarni nolga tenglashtiring;
Nolga teng qavslar kichikroq darajadagi bir hil tenglamani beradi, uni quyidagilarga bo'lish kerak. 
(yoki 
) oliy o'quv yurtlarida;
uchun olingan algebraik tenglamani yeching 
.
Keling, misollarni ko'rib chiqaylik:
12) tenglamani yeching:
Yechim.
Tenglamaning ikkala tomonini ga ajratamiz 
, 
Belgilar bilan tanishtirish 
, ism
Bu tenglamaning ildizlari: 
shuning uchun 1) 
2) 
Javob: 
13) Tenglamani yeching:
Yechim. Ikki burchakli formulalar va asosiy trigonometrik identifikatsiyadan foydalanib, biz ushbu tenglamani yarim argumentga qisqartiramiz:
Shunga o'xshash shartlarni qisqartirganimizdan so'ng bizda:
Bir hil oxirgi tenglamani ga bo'lish 
, olamiz
ishora qilaman 
, kvadrat tenglamani olamiz 
, ularning ildizlari raqamlardir 
Shunday qilib 
Ifoda 
da nolga tushadi 
, ya'ni. da 
, 
.
Olingan tenglamaning yechimiga bu raqamlar kirmaydi.
Javob: 
, .
V. Yordamchi burchakning kiritilishi.
Shaklning tenglamasini ko'rib chiqing
Qayerda a, b, c- koeffitsientlar, x- noma'lum.
Keling, bu tenglamaning ikkala tomonini ga ajratamiz 
Endi tenglamaning koeffitsientlari sinus va kosinus xususiyatlariga ega, ya'ni: ularning har birining moduli bittadan oshmaydi va ularning kvadratlari yig'indisi 1 ga teng.
Keyin ularni mos ravishda belgilashimiz mumkin 
(Bu yerga 
- yordamchi burchak) va tenglamamiz quyidagi shaklni oladi: .
Keyin 
Va uning qarori
E'tibor bering, kiritilgan belgilar o'zaro almashtirilishi mumkin.
14) Tenglamani yeching: 
Yechim. Bu yerga 
, shuning uchun tenglamaning ikkala tomonini ga ajratamiz 
Javob: 
15) Tenglamani yeching
Yechim. Chunki 
, u holda bu tenglama tenglamaga ekvivalent bo'ladi
Chunki 
, keyin shunday burchak bor 
, 
(bular. 
).
Bizda ... bor 
Chunki 
, keyin biz nihoyat olamiz:
.
E'tibor bering, shakldagi tenglamalar, agar va faqat bo'lsa, yechimga ega 
16) Tenglamani yeching:
Bu tenglamani yechish uchun trigonometrik funksiyalarni bir xil argumentlar bilan guruhlaymiz
Tenglamaning ikkala tomonini ikkiga bo'ling
Trigonometrik funksiyalar yig‘indisini mahsulotga aylantiramiz:
Javob: 
VI. Mahsulotni summaga aylantirish.
Bu erda tegishli formulalar qo'llaniladi.
17) Tenglamani yeching:
Yechim. Keling, chap tomonni yig'indiga aylantiramiz:
VII.Universal almashtirish.
, 
bu formulalar hamma uchun to'g'ri 
O'zgartirish 
universal deb ataladi.
18) Tenglamani yeching: 
Yechim: almashtiring va 
orqali ifodalash 
va belgilang 
.
olamiz ratsional tenglama 
, bu kvadratga aylanadi 
.
Ushbu tenglamaning ildizlari raqamlardir 
.
Shuning uchun muammo ikkita tenglamani echishga qisqartirildi 
.
Biz buni topamiz 
.
Qiymatni ko'rish 
dastlabki tenglamani qanoatlantirmaydi, bu tekshirish orqali tekshiriladi - berilgan qiymatni almashtirish t asl tenglamaga kiriting.
Javob: 
.
Izoh. 18- tenglamani boshqa yo‘l bilan yechish mumkin edi.
Keling, ushbu tenglamaning ikkala tomonini 5 ga (ya'ni 
): 
.
Chunki 
, unda bunday raqam mavjud 
, Nima 
Va 
. Shuning uchun tenglama quyidagi shaklni oladi: 
yoki 
. Bu erdan biz buni topamiz 
Qayerda 
.
19) Tenglamani yeching 
.
Yechim. Funktsiyalardan beri 
Va 
eng katta qiymat 1 ga teng bo'lsa, ularning yig'indisi 2 ga teng bo'lsa 
Va 
, bir vaqtning o'zida, ya'ni 
.
Javob: 
.
Bu tenglamani yechishda va funksiyalarining chegaralanganligidan foydalanilgan.
Xulosa.
“Trigonometrik tenglamalarni yechish” mavzusi ustida ishlashda har bir o‘qituvchi quyidagi tavsiyalarga amal qilishi foydalidir:
Trigonometrik tenglamalarni yechish usullarini tizimlashtirish.
Tenglamani tahlil qilish bosqichlarini va muayyan yechim usulidan foydalanish maqsadga muvofiqligi belgilarini o'zingiz uchun tanlang.
Usulni amalga oshirishda o'z faoliyatingizni o'z-o'zini nazorat qilish usullarini o'ylab ko'ring.
O'rganilayotgan usullarning har biri uchun "o'z" tenglamalarini tuzishni o'rganing.
1-ilova
Bir jinsli yoki qaytariladigan tenglamalarni yeching.
1. | Rep. |
Rep. |
|
Rep. |
|
5. | Rep. |
Rep. |
|
7. | Rep. |
Rep. |
|
Trigonometriyaning asosiy formulalari - sinus va kosinus kvadratlari yig'indisi, sinus va kosinus orqali tangensni ifodalash va boshqalarni bilishni talab qiladi. Ularni unutgan yoki bilmaganlar uchun "" maqolasini o'qishni tavsiya qilamiz.
Shunday qilib, biz asosiy trigonometrik formulalarni bilamiz, ularni amalda qo'llash vaqti keldi. Trigonometrik tenglamalarni yechish da to'g'ri yondashuv- juda qiziqarli mashg'ulot, masalan, Rubik kubini yechish.
Nomning o'ziga asoslanib, trigonometrik tenglama noma'lum trigonometrik funktsiya belgisi ostida bo'lgan tenglama ekanligi aniq.
Eng oddiy deb ataladigan trigonometrik tenglamalar mavjud. Ular qanday ko'rinishga ega: sinx = a, cos x = a, tan x = a. Keling, ko'rib chiqaylik bunday trigonometrik tenglamalarni qanday yechish mumkin, aniqlik uchun biz allaqachon tanish bo'lgan trigonometrik doiradan foydalanamiz.
sinx = a
cos x = a
tan x = a
krovat x = a
Har qanday trigonometrik tenglama ikki bosqichda yechiladi: biz tenglamani eng oddiy ko'rinishga keltiramiz va keyin uni oddiy trigonometrik tenglama sifatida yechamiz.
Trigonometrik tenglamalarni yechishning 7 ta asosiy usuli mavjud.
O'zgaruvchan almashtirish va almashtirish usuli
Trigonometrik tenglamalarni faktorlarga ajratish orqali yechish
Bir jinsli tenglamaga keltirish
Yarim burchakka o'tish orqali tenglamalarni yechish
Yordamchi burchakning kiritilishi
2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0 tenglamani yeching.
Kamaytirish formulalaridan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:
2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0
Oddiy kvadrat tenglamani soddalashtirish va olish uchun cos(x + /6) ni y bilan almashtiring:
2y 2 – 3y + 1 + 0
Ildizlari y 1 = 1, y 2 = 1/2
Endi teskari tartibda boramiz
Topilgan y qiymatlarini almashtiramiz va ikkita javob variantini olamiz:
sin x + cos x = 1 tenglama qanday echiladi?
0 o'ngda qolishi uchun hamma narsani chapga siljitamiz:
sin x + cos x – 1 = 0
Tenglamani soddalashtirish uchun yuqorida muhokama qilingan identifikatsiyalardan foydalanamiz:
sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0
Faktorlarga ajratamiz:
2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0
2sin(x/2) * = 0
Biz ikkita tenglamani olamiz
Tenglama sinus va kosinusga nisbatan bir jinsli bo'ladi, agar uning barcha a'zolari bir xil burchakdagi bir xil darajadagi sinus va kosinusga nisbatan bo'lsa. Bir jinsli tenglamani yechish uchun quyidagi amallarni bajaring:
a) barcha a'zolarini chap tomonga o'tkazish;
b) barcha umumiy omillarni qavs ichidan chiqarib oling;
v) barcha omillar va qavslarni 0 ga tenglashtiring;
d) qavs ichida past darajadagi bir jinsli tenglama olinadi, bu esa o'z navbatida yuqori darajadagi sinus yoki kosinusga bo'linadi;
e) tg uchun olingan tenglamani yeching.
3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2 tenglamani yeching.
Keling, sin 2 x + cos 2 x = 1 formulasidan foydalanamiz va o'ngdagi ochiq ikkitadan xalos bo'laylik:
3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x
sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0
cos x ga bo'linadi:
tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0
tan x ni y bilan almashtiring va kvadrat tenglamani oling:
y 2 + 4y +3 = 0, uning ildizlari y 1 =1, y 2 = 3
Bu yerdan biz asl tenglamaning ikkita yechimini topamiz:
x 2 = arktan 3 + k
3sin x – 5cos x = 7 tenglamani yeching
Keling, x/2 ga o'tamiz:
6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)
Keling, hamma narsani chapga siljitamiz:
2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0
cos(x/2) ga bo'linadi:
tg 2 (x/2) – 3tg (x/2) + 6 = 0
Ko'rib chiqish uchun quyidagi ko'rinishdagi tenglamani olaylik: a sin x + b cos x = c,
bu yerda a, b, c ba'zi ixtiyoriy koeffitsientlar, x esa noma'lum.
Tenglamaning ikkala tomonini quyidagilarga ajratamiz:
Endi tenglamaning koeffitsientlari, trigonometrik formulalarga ko'ra, sin va cos xossalariga ega, ya'ni: ularning moduli 1 dan ko'p emas va kvadratlar yig'indisi = 1. Ularni mos ravishda cos va sin deb belgilaymiz, bu erda - bu yordamchi burchak deb ataladigan burchak. Keyin tenglama quyidagi shaklni oladi:
cos * sin x + sin * cos x = C
yoki sin(x + ) = C
Bu eng oddiy trigonometrik tenglamaning yechimi
x = (-1) k * arcsin C - + k, bu erda
Shuni ta'kidlash kerakki, cos va sin yozuvlari bir-birini almashtiradi.
sin 3x – cos 3x = 1 tenglamasini yeching
Ushbu tenglamadagi koeffitsientlar:
a =, b = -1, shuning uchun ikkala tomonni = 2 ga bo'ling
Ko'pchilikni hal qilganda matematik muammolar, ayniqsa, 10-sinfdan oldin sodir bo'lganlar, maqsadga olib keladigan harakatlar tartibi aniq belgilangan. Bunday masalalarga, masalan, chiziqli va kvadrat tenglamalar, chiziqli va kvadrat tengsizliklar, kasr tenglamalar va kvadratik tenglamalar kiradi. Yuqorida aytib o'tilgan muammolarning har birini muvaffaqiyatli hal qilish printsipi quyidagilardan iborat: muammoning qaysi turi hal qilinayotganini aniqlash kerak, kerakli natijaga olib keladigan kerakli harakatlar ketma-ketligini esga olish kerak, ya'ni. javob bering va ushbu bosqichlarni bajaring.
Ko'rinib turibdiki, muayyan masalani hal qilishda muvaffaqiyat yoki muvaffaqiyatsizlik, asosan, echilayotgan tenglama turi qanchalik to'g'ri aniqlanganiga, uni hal qilishning barcha bosqichlari ketma-ketligi qanchalik to'g'ri takrorlanganiga bog'liq. Albatta, bu holda bir xil o'zgartirish va hisob-kitoblarni bajarish ko'nikmalariga ega bo'lish kerak.
bilan vaziyat boshqacha trigonometrik tenglamalar. Tenglamaning trigonometrik ekanligini aniqlash unchalik qiyin emas. To'g'ri javobga olib keladigan harakatlar ketma-ketligini aniqlashda qiyinchiliklar paydo bo'ladi.
Ba'zan tenglamaning ko'rinishiga qarab uning turini aniqlash qiyin. Va tenglama turini bilmasdan, bir necha o'nlab trigonometrik formulalardan to'g'risini tanlash deyarli mumkin emas.
Trigonometrik tenglamani yechish uchun siz quyidagilarni sinab ko'rishingiz kerak:
1. tenglamaga kiritilgan barcha funksiyalarni “bir xil burchaklarga” keltiring;
2. tenglamani “bir xil funksiyalar”ga keltiring;
3. tenglamaning chap tomonini ko‘paytiring va hokazo.
Keling, ko'rib chiqaylik trigonometrik tenglamalarni yechishning asosiy usullari.
I. Eng oddiy trigonometrik tenglamalarga keltirish
Yechim diagrammasi
1-qadam. Trigonometrik funktsiyani ma'lum komponentlar bilan ifodalang.
2-qadam. Funktsiya argumentini formulalar yordamida toping:
cos x = a; x = ±arccos a + 2pn, n ЄZ.
sin x = a; x = (-1) n arcsin a + pn, n Ê Z.
tan x = a; x = arktan a + pn, n Ê Z.
ctg x = a; x = arcctg a + pn, n Ê Z.
3-qadam. Noma'lum o'zgaruvchini toping.
Misol.
2 cos(3x – p/4) = -√2.
Yechim.
1) cos(3x – p/4) = -√2/2.
2) 3x – p/4 = ±(p – p/4) + 2pn, n Ê Z;
3x – p/4 = ±3p/4 + 2pn, n Ê Z.
3) 3x = ±3p/4 + p/4 + 2pn, n Ê Z;
x = ±3p/12 + p/12 + 2pn/3, n Ê Z;
x = ±p/4 + p/12 + 2pn/3, n Ê Z.
Javob: ±p/4 + p/12 + 2pn/3, n Ê Z.
II. O'zgaruvchan almashtirish
Yechim diagrammasi
1-qadam. Trigonometrik funksiyalardan biriga nisbatan tenglamani algebraik shaklga keltiring.
2-qadam. Hosil bo‘lgan funksiyani t o‘zgaruvchisi bilan belgilang (agar kerak bo‘lsa, t ga cheklovlar kiriting).
3-qadam. Olingan algebraik tenglamani yozing va yeching.
4-qadam. Teskari almashtirishni amalga oshiring.
5-qadam. Eng oddiy trigonometrik tenglamani yeching.
Misol.
2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.
Yechim.
1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;
2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.
2) Sin (x/2) = t bo'lsin, bu erda |t| ≤ 1.
3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;
t = 1 yoki e = -3/2, |t| shartini qanoatlantirmaydi ≤ 1.
4) sin(x/2) = 1.
5) x/2 = p/2 + 2pn, n Ê Z;
x = p + 4pn, n Ê Z.
Javob: x = p + 4pn, n Ê Z.
III. Tenglama tartibini qisqartirish usuli
Yechim diagrammasi
1-qadam. Darajani kamaytirish formulasidan foydalanib, ushbu tenglamani chiziqli bilan almashtiring:
sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);
cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);
tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).
2-qadam. Olingan tenglamani I va II usullar yordamida yeching.
Misol.
cos 2x + cos 2 x = 5/4.
Yechim.
1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.
2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;
3/2 cos 2x = 3/4;
2x = ±p/3 + 2pn, n Ê Z;
x = ±p/6 + pn, n Ê Z.
Javob: x = ±p/6 + pn, n Ê Z.
IV. Bir jinsli tenglamalar
Yechim diagrammasi
1-qadam. Ushbu tenglamani shaklga qisqartiring
a) sin x + b cos x = 0 (birinchi darajali bir hil tenglama)
yoki ko'rinishga
b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (ikkinchi darajali bir jinsli tenglama).
2-qadam. Tenglamaning ikkala tomonini ga bo'ling
a) cos x ≠ 0;
b) cos 2 x ≠ 0;
va tan x uchun tenglamani oling:
a) tan x + b = 0;
b) a tan 2 x + b arktan x + c = 0.
3-qadam. Tenglamani ma'lum usullar yordamida yeching.
Misol.
5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.
Yechim.
1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;
5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;
sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.
2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.
3) U holda tg x = t bo'lsin
t 2 + 3t – 4 = 0;
t = 1 yoki t = -4, bu degani
tg x = 1 yoki tg x = -4.
Birinchi tenglamadan x = p/4 + pn, n Ê Z; ikkinchi tenglamadan x = -arctg 4 + pk, k Є Z.
Javob: x = p/4 + pn, n Ê Z; x = -arctg 4 + pk, k Є Z.
V. Trigonometrik formulalar yordamida tenglamani o'zgartirish usuli
Yechim diagrammasi
1-qadam. Barcha mumkin bo'lgan trigonometrik formulalardan foydalanib, bu tenglamani I, II, III, IV usullar bilan yechilgan tenglamaga keltiring.
2-qadam. Hosil boʻlgan tenglamani maʼlum usullar yordamida yeching.
Misol.
sin x + gunoh 2x + gunoh 3x = 0.
Yechim.
1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;
2sin 2x cos x + sin 2x = 0.
2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;
sin 2x = 0 yoki 2cos x + 1 = 0;
Birinchi tenglamadan 2x = p/2 + pn, n Ê Z; ikkinchi tenglamadan cos x = -1/2.
Bizda x = p/4 + pn/2, n Ê Z; ikkinchi tenglamadan x = ±(p – p/3) + 2pk, k Ê Z.
Natijada, x = p/4 + pn/2, n Ê Z; x = ±2p/3 + 2pk, k Ê Z.
Javob: x = p/4 + pn/2, n Ê Z; x = ±2p/3 + 2pk, k Ê Z.
Trigonometrik tenglamalarni yechish qobiliyati va mahorati juda katta muhim, ularning rivojlanishi talaba tomonidan ham, o'qituvchi tomonidan ham katta kuch talab qiladi.
Stereometriya, fizika va boshqalarning ko'pgina masalalari trigonometrik tenglamalarni yechish bilan bog'liq.
Trigonometrik tenglamalar matematikani o'rganish va umuman shaxsiy rivojlanish jarayonida muhim o'rin tutadi.
Hali ham savollaringiz bormi? Trigonometrik tenglamalarni yechishni bilmayapsizmi?
Repetitordan yordam olish uchun -.
Birinchi dars bepul!
blog.site, materialni to'liq yoki qisman nusxalashda asl manbaga havola talab qilinadi.
