Turli xil prizmalar bir-biridan farq qiladi. Shu bilan birga, ularning umumiy jihatlari juda ko'p. Prizma poydevorining maydonini topish uchun siz uning qaysi turiga ega ekanligini tushunishingiz kerak.
Umumiy nazariya
Prizma - tomonlari parallelogramm shakliga ega bo'lgan har qanday ko'pburchak. Bundan tashqari, uning asosi har qanday ko'pburchak bo'lishi mumkin - uchburchakdan n-burchakgacha. Bundan tashqari, prizmaning asoslari har doim bir-biriga teng. Yon yuzlarga taalluqli bo'lmagan narsa shundaki, ular kattaligi sezilarli darajada farq qilishi mumkin.
Muammolarni hal qilishda nafaqat prizma poydevorining maydoniga duch keladi. Bu lateral sirtni, ya'ni asos bo'lmagan barcha yuzlarni bilishni talab qilishi mumkin. To'liq sirt prizmani tashkil etuvchi barcha yuzlarning birlashuvi bo'ladi.
Ba'zida muammolar balandlik bilan bog'liq. U asoslarga perpendikulyar. Ko'pburchakning diagonali - bir yuzga tegishli bo'lmagan har qanday ikkita cho'qqini juft qilib bog'laydigan segment.
Shuni ta'kidlash kerakki, to'g'ridan-to'g'ri yoki eğimli prizmaning asosiy maydoni ular va yon tomonlar orasidagi burchakka bog'liq emas. Agar ularning yuqori va pastki yuzlarida bir xil raqamlar bo'lsa, unda ularning maydonlari teng bo'ladi.
Uchburchak prizma
Uning tagida uchta uchli figura, ya'ni uchburchak bor. Ma'lumki, u boshqacha bo'lishi mumkin. Agar shunday bo'lsa, uning maydoni oyoqlarning yarmi mahsuloti bilan aniqlanganligini esga olish kifoya.
Matematik yozuv quyidagicha ko'rinadi: S = ½ av.
Baza maydonini bilish uchun umumiy ko'rinish, formulalar foydali bo'ladi: Heron va yon tomonning yarmi unga chizilgan balandlikka olinadi.
Birinchi formulani quyidagicha yozish kerak: S = √(r (r-a) (r-v) (r-s)). Bu belgi yarim perimetrni (p) o'z ichiga oladi, ya'ni uch tomonning yig'indisi ikkiga bo'linadi.
Ikkinchidan: S = ½ n a * a.
Agar siz muntazam bo'lgan uchburchak prizma poydevorining maydonini bilmoqchi bo'lsangiz, u holda uchburchak teng tomonli bo'lib chiqadi. Buning uchun formula mavjud: S = ¼ a 2 * √3.
To'rtburchak prizma
Uning asosi har qanday ma'lum to'rtburchaklardir. Bu to'rtburchaklar yoki kvadrat, parallelepiped yoki romb bo'lishi mumkin. Har bir holatda, prizma poydevorining maydonini hisoblash uchun sizga o'zingizning formulangiz kerak bo'ladi.
Agar asos to'rtburchak bo'lsa, u holda uning maydoni quyidagicha aniqlanadi: S = ab, bu erda a, b to'rtburchakning tomonlari.
Qachon haqida gapiramiz to'rtburchak prizma haqida, keyin asosning maydoni to'g'ri prizma kvadrat uchun formuladan foydalanib hisoblangan. Chunki poydevorda aynan o'zi yotadi. S = a 2.
Agar asos parallelepiped bo'lsa, quyidagi tenglik kerak bo'ladi: S = a * n a. Shunday bo'ladiki, parallelepipedning yon tomoni va burchaklaridan biri berilgan. Keyin, balandlikni hisoblash uchun siz qo'shimcha formuladan foydalanishingiz kerak bo'ladi: n a = b * sin A. Bundan tashqari, A burchagi "b" tomoniga ulashgan va n balandligi bu burchakka qarama-qarshidir.
Agar prizma tagida romb mavjud bo'lsa, uning maydonini aniqlash uchun parallelogramm bilan bir xil formula kerak bo'ladi (chunki bu uning alohida holati). Ammo siz buni ham ishlatishingiz mumkin: S = ½ d 1 d 2. Bu erda d 1 va d 2 rombning ikkita diagonali.
Muntazam beshburchak prizma
Bu holat ko'pburchakni uchburchaklarga bo'lishni o'z ichiga oladi, ularning maydonlarini aniqlash osonroq. Garchi raqamlar turli xil sonli uchlarga ega bo'lishi mumkin bo'lsa-da.
Prizma asosi muntazam beshburchak boʻlgani uchun uni beshta teng yonli uchburchakka boʻlish mumkin. Keyin prizma poydevorining maydoni bitta uchburchakning maydoniga teng (formulani yuqorida ko'rish mumkin), beshga ko'paytiriladi.
Muntazam olti burchakli prizma
Beshburchak prizma uchun tavsiflangan printsipga ko'ra, poydevorning olti burchakli qismini 6 ta teng yonli uchburchakka bo'lish mumkin. Bunday prizmaning asos maydonining formulasi avvalgisiga o'xshaydi. Faqat uni oltiga ko'paytirish kerak.
Formula quyidagicha ko'rinadi: S = 3/2 a 2 * √3.
Vazifalar
№ 1. Muntazam to'g'ri chiziq berilgan bo'lsa, uning diagonali 22 sm, ko'pburchakning balandligi 14 sm prizma poydevori va butun sirtini hisoblang.
Yechim. Prizmaning asosi kvadratdir, lekin uning tomoni noma'lum. Uning qiymatini prizma diagonali (d) va balandligi (h) bilan bog'liq bo'lgan kvadrat (x) diagonalidan topishingiz mumkin. x 2 = d 2 - n 2. Boshqa tomondan, bu "x" segmenti oyoqlari kvadrat tomoniga teng bo'lgan uchburchakdagi gipotenuzadir. Ya'ni, x 2 = a 2 + a 2. Shunday qilib, a 2 = (d 2 - n 2)/2 ekanligi ma'lum bo'ladi.
d o'rniga 22 raqamini qo'ying va "n" ni uning qiymati bilan almashtiring - 14, kvadratning tomoni 12 sm ekanligi ma'lum bo'ldi, endi faqat taglikning maydonini toping: 12 * 12 = 144 sm 2.
Butun sirtning maydonini bilish uchun siz taglik maydonini ikki barobarga qo'shishingiz va yon maydonni to'rt barobar oshirishingiz kerak. Ikkinchisini to'rtburchaklar formulasi yordamida osongina topish mumkin: ko'pburchakning balandligi va poydevorning yon tomonini ko'paytiring. Ya'ni, 14 va 12, bu raqam 168 sm 2 ga teng bo'ladi. umumiy maydoni Prizma yuzasi 960 sm 2 ga teng.
Javob. Prizma asosining maydoni 144 sm 2. Butun sirt 960 sm 2 ni tashkil qiladi.
No 2. Berilgan Bazada tomoni 6 sm bo'lgan uchburchak mavjud bo'lib, bu holda yon yuzning diagonali 10 sm bo'ladi: tayanch va yon sirt.
Yechim. Prizma muntazam bo'lgani uchun uning asosi teng tomonli uchburchakdir. Shuning uchun uning maydoni 6 kvadratga, ¼ ga ko'paytiriladi va kvadrat ildiz 3 ga aylanadi. Oddiy hisoblash natijaga olib keladi: 9√3 sm 2. Bu prizmaning bir asosining maydoni.
Hammasi yon yuzlar bir xil bo'lib, tomonlari 6 va 10 sm bo'lgan to'rtburchaklardir, ularning maydonlarini hisoblash uchun bu raqamlarni ko'paytirish kifoya. Keyin ularni uchga ko'paytiring, chunki prizma aynan shuncha yon yuzga ega. Keyin yaraning lateral yuzasi maydoni 180 sm 2 ga aylanadi.
Javob. Maydonlari: asosi - 9√3 sm 2, prizmaning lateral yuzasi - 180 sm 2.
Ko'p yuzli
Stereometriyaning asosiy tadqiqot ob'ekti fazoviy jismlardir. Tana ma'lum bir sirt bilan chegaralangan makon qismini ifodalaydi.
Ko'p yuzli sirti chekli sonli tekis ko'pburchaklardan tashkil topgan jismdir. Ko'pburchak o'z yuzasidagi har bir tekis ko'pburchak tekisligining bir tomonida joylashgan bo'lsa, u qavariq deyiladi. Bunday tekislikning umumiy qismi va ko'pburchak yuzasi deyiladi chekka. Qavariq ko'pburchakning yuzlari tekis qavariq ko'pburchaklardir. Yuzlarning yon tomonlari deyiladi ko'pburchakning qirralari, va uchlari ko'pburchakning uchlari.
Masalan, kub oltita kvadratdan iborat bo'lib, uning yuzlari. U 12 ta chekka (kvadratlarning yon tomonlari) va 8 ta cho'qqilarni (kvadratlarning tepalari) o'z ichiga oladi.
Eng oddiy ko'pburchaklar prizmalar va piramidalar bo'lib, biz ularni batafsilroq o'rganamiz.
Prizma
Prizmaning ta'rifi va xossalari
Prizma parallel koʻchirish yoʻli bilan birlashtirilgan parallel tekisliklarda yotgan ikkita yassi koʻpburchak va bu koʻpburchaklarning mos nuqtalarini bogʻlovchi barcha segmentlardan iborat koʻpburchakdir. Ko'pburchaklar deyiladi prizma asoslari, va ko'pburchaklarning mos keladigan uchlarini bog'laydigan segmentlar prizmaning lateral qirralari.
Prizma balandligi uning asoslari tekisliklari orasidagi masofa () deyiladi. Prizmaning bir yuzga tegishli bo'lmagan ikkita uchini bog'lovchi segment deyiladi prizma diagonali(). Prizma deyiladi n-uglerod, agar uning asosida n-gon bo'lsa.
Har qanday prizma prizma asoslari parallel translatsiya orqali birlashtirilganligidan kelib chiqadigan quyidagi xususiyatlarga ega:
1. Prizmaning asoslari teng.
2. Prizmaning yon qirralari parallel va teng.
Prizmaning sirti asoslardan iborat va lateral yuzasi. Prizmaning yon yuzasi parallelogrammalardan iborat (bu prizmaning xususiyatlaridan kelib chiqadi). Prizmaning lateral yuzasining maydoni lateral yuzlar maydonlarining yig'indisidir.
To'g'ri prizma
Prizma deyiladi Streyt, uning lateral qirralari asoslarga perpendikulyar bo'lsa. Aks holda prizma deyiladi moyil.
To'g'ri prizmaning yuzlari to'rtburchaklardir. To'g'ri prizmaning balandligi uning yon yuzlariga teng.
To'liq prizma yuzasi lateral sirt maydoni va asoslar maydonlarining yig'indisi deyiladi.
To'g'ri prizma bilan asosida muntazam ko'pburchak bo'lgan to'g'ri prizma deyiladi.
13.1 teorema. To'g'ri prizmaning lateral yuzasining maydoni perimetri va prizma balandligining mahsulotiga teng (yoki bir xil bo'lsa, lateral qirra bilan).
Isbot. To'g'ri prizmaning lateral yuzlari to'rtburchaklar bo'lib, ularning asoslari prizma asoslaridagi ko'pburchaklarning tomonlari, balandliklari esa prizmaning lateral qirralaridir. Keyin, ta'rifga ko'ra, lateral sirt maydoni:
,
to'g'ri prizma asosining perimetri qayerda.
Parallelepiped
Agar parallelogrammalar prizma asoslarida yotsa, u deyiladi parallelepiped. Parallelepipedning barcha yuzlari parallelogrammdir. Bunda parallelepipedning qarama-qarshi yuzlari parallel va tengdir.
13.2 teorema. Parallelepipedning diagonallari bir nuqtada kesishadi va kesishish nuqtasi bilan yarmiga bo'linadi.
Isbot. Masalan, ikkita ixtiyoriy diagonalni ko'rib chiqing va . Chunki parallelepipedning yuzlari parallelogrammlar, keyin va , ya'ni To ga ko'ra uchinchisiga parallel ikkita to'g'ri chiziq mavjud. Bundan tashqari, bu to'g'ri chiziqlar va bir xil tekislikda (tekislikda) yotishini anglatadi. Bu tekislik parallel tekisliklarni va parallel chiziqlar bo'ylab va . Shunday qilib, to'rtburchak parallelogramm bo'lib, parallelogrammning xususiyatiga ko'ra, uning diagonallari kesishadi va kesishish nuqtasi bilan yarmiga bo'linadi, bu isbotlanishi kerak edi.
Poydevori to'rtburchak bo'lgan to'g'ri parallelepiped deyiladi to'rtburchaklar parallelepiped. To'rtburchaklar parallelepipedning barcha yuzlari to'rtburchaklardir. To'g'ri burchakli parallelepipedning parallel bo'lmagan qirralarining uzunliklari uning chiziqli o'lchamlari (o'lchamlari) deb ataladi. Bunday uchta o'lcham mavjud (kenglik, balandlik, uzunlik).
13.3 teorema. To'rtburchaklar parallelepipedda har qanday diagonalning kvadrati uning uch o'lchamining kvadratlari yig'indisiga teng. 
(Pifagor T ni ikki marta qo'llash orqali isbotlangan).
Barcha qirralari teng bo'lgan to'rtburchaklar parallelepiped deyiladi kub.
Vazifalar
13.1 Uning nechta diagonali bor? n-uglerod prizmasi
13.2 Nishabli uchburchak prizmada yon qirralarning orasidagi masofalar 37, 13 va 40 ga teng. Kattaroq yon qirra bilan qarama-qarshi tomon orasidagi masofani toping.
13.3 Muntazam uchburchak prizmaning pastki poydevorining yon tomoni orqali yon yuzlarini ular orasidagi burchakka ega bo'lgan segmentlar bo'ylab kesib o'tadigan tekislik o'tkaziladi. Bu tekislikning prizma asosiga qiyalik burchagini toping.
Ta'rif. Prizma ko'pburchak bo'lib, uning barcha uchlari ikkita parallel tekislikda joylashgan va shu ikki tekislikda prizmaning ikkita yuzi yotadi, ular mos ravishda parallel tomonlari bo'lgan teng ko'pburchaklar va bu tekisliklarda yotmaydigan barcha qirralar paralleldir.
Ikki teng yuzlar deyiladi prizma asoslari(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).
Prizmaning boshqa barcha yuzlari deyiladi yon yuzlar(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).
Barcha yon yuzlar hosil bo'ladi prizmaning lateral yuzasi .
Prizmaning barcha lateral yuzlari parallelogrammdir .
Poydevorda yotmaydigan qirralar prizmaning lateral qirralari deyiladi ( AA 1, BB 1, CC 1, DD 1, EE 1).
Prizma diagonali uchlari prizmaning bir yuzida yotmaydigan ikkita uchi boʻlgan segment (AD 1).
Prizma asoslarini bir vaqtning o'zida tutashtiruvchi va ikkala asosga perpendikulyar bo'lgan segment uzunligi deyiladi. prizma balandligi .
Belgilanishi:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Avval o'tish tartibida bir asosning uchlari, so'ngra xuddi shu tartibda boshqasining uchlari ko'rsatiladi; har birining uchlari. lateral qovurg'a bir xil harflar bilan belgilanadi, faqat bitta asosda yotgan tepaliklar indekssiz harflar bilan, ikkinchisida esa indeks bilan belgilanadi)
Prizma nomi uning asosida yotgan shakldagi burchaklar soni bilan bog'liq, masalan, 1-rasmda asosda beshburchak bor, shuning uchun prizma deyiladi. beshburchak prizma. Lekin chunki bunday prizmaning 7 ta yuzi bor, keyin u yettitaedr(2 yuz - prizma asoslari, 5 yuz - parallelogrammalar, - uning yon yuzlari)
To'g'ri prizmalar orasida u ajralib turadi shaxsiy ko'rinish: to'g'ri prizmalar.
To'g'ri prizma deyiladi to'g'ri, agar uning asoslari muntazam ko'pburchaklar bo'lsa.
Parallelepiped
Parallelepiped toʻrtburchak prizma boʻlib, uning poydevorida parallelogramma (qiyalik parallelepiped) joylashgan. To'g'ri parallelepiped- lateral qirralari asos tekisliklariga perpendikulyar bo'lgan parallelepiped.To'rtburchak parallelepiped- asosi to'rtburchak bo'lgan to'g'ri parallelepiped.
Xususiyatlar va teoremalar:
Parallelepipedning ba'zi xossalari o'xshash ma'lum xususiyatlar O'lchamlari teng bo'lgan to'rtburchaklar parallelepiped deyiladi kub
.Kubning barcha yuzlari teng kvadratlar diagonalning kvadrati uning uch o'lchamining kvadratlari yig'indisiga teng 
,
bu erda d - kvadratning diagonali;
a - kvadratning tomoni.
Prizma g'oyasi quyidagicha ifodalanadi:
- turli me'moriy tuzilmalar;
- Bolalar o'yinchoqlari;
- qadoqlash qutilari;
- dizayner buyumlari va boshqalar.
Prizmaning umumiy va lateral yuzasining maydoni
Prizmaning umumiy sirt maydoni uning barcha yuzlari maydonlarining yig'indisidir Yanal sirt maydoni uning lateral yuzlari maydonlarining yig'indisi deyiladi. Prizmaning asoslari teng ko'pburchaklar, keyin ularning maydonlari tengdir. Shunung uchunS to'liq = S tomoni + 2S asosiy,
Qayerda S to'la- umumiy sirt maydoni, S tomoni- lateral sirt maydoni, S asosi- tayanch maydoni
To'g'ri prizmaning yon yuzasi maydoni poydevor perimetri va prizma balandligining mahsulotiga teng..
S tomoni= P asosiy * h,
Qayerda S tomoni-to'g'ri prizmaning lateral yuzasining maydoni;
P asosiy - to'g'ri prizma asosining perimetri,
h - to'g'ri prizmaning balandligi, yon chetiga teng.
Prizma hajmi
Prizmaning hajmi poydevor maydoni va balandligi ko'paytmasiga teng.
Ta'rif 1. Prizmatik sirt
Teorema 1. Prizmatik sirtning parallel kesmalari haqida
Ta'rif 2. Prizmatik sirtning perpendikulyar kesimi
Ta'rif 3. Prizma
Ta'rif 4. Prizma balandligi
Ta'rif 5. To'g'ri prizma
Teorema 2. Prizmaning lateral yuzasi
Parallelepiped:
Ta'rif 6. Parallelepiped
Teorema 3. Paralelepiped diagonallarining kesishishi haqida
Ta'rif 7. To'g'ri parallelepiped
Ta'rif 8. To'rtburchaklar parallelepiped
Ta'rif 9. Parallelepipedning o'lchovlari
Ta'rif 10. Kub
Ta'rif 11. Rombedr
Teorema 4. To'g'ri burchakli parallelepipedning diagonallari haqida
Teorema 5. Prizma hajmi
Teorema 6. To'g'ri prizmaning hajmi
Teorema 7. To'g'ri burchakli parallelepipedning hajmi
Prizma ikki yuzi (asoslari) parallel tekisliklarda yotgan va bu yuzlarda yotmaydigan qirralari bir-biriga parallel boʻlgan koʻpburchakdir.
Asoslardan boshqa yuzlar deyiladi lateral.
Yon yuzalar va tayanchlarning yon tomonlari deyiladi prizma qovurg'alari, qirralarning uchlari deyiladi prizmaning uchlari. Yanal qovurg'alar asoslarga tegishli bo'lmagan qirralar deyiladi. Yanal yuzlarning birlashishi deyiladi prizmaning lateral yuzasi, va barcha yuzlarning birlashishi deyiladi prizmaning to'liq yuzasi. Prizma balandligi Yuqori asos nuqtasidan pastki poydevor tekisligiga tushirilgan perpendikulyar yoki bu perpendikulyarning uzunligi deyiladi. 
To'g'ridan-to'g'ri prizma yon qovurg'alari asoslar tekisliklariga perpendikulyar bo'lgan prizma deyiladi. 
To'g'ri to'g'ri prizma deb ataladi (3-rasm), uning asosida muntazam ko'pburchak yotadi.
Belgilar:
l - yon qovurg'a;
P - asosiy perimetri;
S o - tayanch maydoni;
H - balandlik;
P^ - perpendikulyar kesma perimetri;
S b - lateral sirt maydoni;
V - hajm;
S p - prizmaning umumiy sirtining maydoni.
|
V=SH |
*Har ikki ketma-ket tekislik kesishadi va oxirgi tekislik birinchisini kesishadi deb taxmin qilinadi
Teorema 1 . Prizmatik sirtning bir-biriga parallel bo'lgan (lekin uning chetlariga parallel bo'lmagan) tekisliklardagi kesmalari teng ko'pburchaklardir.
ABCDE va A"B"C"D"E" prizmatik sirtning ikkita parallel tekislik kesmalari bo'lsin.Bu ikki ko'pburchak teng ekanligiga ishonch hosil qilish uchun ABC va A"B"C" uchburchaklar ekanligini ko'rsatish kifoya. teng va bir xil aylanish yo'nalishiga ega bo'lishi va bir xil narsa ABD va A"B"D, ABE va A"B"E" uchburchaklari uchun ham amal qiladi. Lekin bu uchburchaklarning mos tomonlari parallel (masalan, AC AC ga parallel) ma'lum bir tekislikning ikkita parallel tekislik bilan kesishish chizig'i kabi; shundan kelib chiqadiki, bu tomonlar parallelogrammning qarama-qarshi tomonlari kabi teng (masalan, AC A «C» ga teng), bu tomonlar hosil qilgan burchaklar teng va bir xil yo'nalishga ega.
Ta'rif 2 . Prizmatik sirtning perpendikulyar kesimi bu sirtning qirralariga perpendikulyar tekislik bilan kesilgan qismidir. Oldingi teoremaga asoslanib, bir xil prizmatik sirtning barcha perpendikulyar kesimlari teng ko'pburchaklar bo'ladi.
Ta'rif 3
. Prizma - bu prizmatik sirt va bir-biriga parallel bo'lgan ikkita tekislik bilan chegaralangan ko'pburchak (lekin prizmatik yuzaning chetlariga parallel emas)
Ushbu oxirgi tekisliklarda yotgan yuzlar deyiladi prizma asoslari; prizmatik sirtga tegishli yuzlar - yon yuzlar; prizmatik yuzaning qirralari - prizmaning yon qovurg'alari. Oldingi teoremaga ko'ra, prizmaning asosi teng ko'pburchaklar. Prizmaning barcha lateral yuzlari - parallelogrammalar; barcha yon qovurg'alar bir-biriga teng.
Ko'rinib turibdiki, agar ABCDE prizmasining asosi va qirralarning biri AA" o'lchami va yo'nalishi berilgan bo'lsa, u holda BB", CC", ... AA chetiga teng va parallel" qirralarini chizish orqali prizma qurish mumkin. .
Ta'rif 4 . Prizma balandligi - bu uning asoslari tekisliklari orasidagi masofa (HH").
Ta'rif 5
. Prizma to'g'ri deb ataladi, agar uning asoslari prizmatik sirtning perpendikulyar kesimlari bo'lsa. Bunday holda, prizmaning balandligi, albatta, uning yon qovurg'a; yon qirralari bo'ladi to'rtburchaklar.
Prizmalarni uning asosi bo'lib xizmat qiladigan ko'pburchak tomonlari soniga teng bo'lgan lateral yuzlar soniga ko'ra tasniflash mumkin. Shunday qilib, prizmalar uchburchak, to'rtburchak, beshburchak va boshqalar bo'lishi mumkin.
Teorema 2
. Prizmaning lateral yuzasining maydoni lateral qirrasi va perpendikulyar kesimning perimetri mahsulotiga teng.
ABCDEA"B"C"D"E" berilgan prizma bo'lsin va uning perpendikulyar kesmasi abcde bo'lsin, shunda ab, bc, .. segmentlari uning lateral qirralariga perpendikulyar bo'lsin. ABA"B" yuzi parallelogramm; uning maydoni AA asosining "ab"ga to'g'ri keladigan balandlikka ko'paytmasiga teng; VSV "S" yuzining maydoni miloddan avvalgi balandlik bo'yicha "VV" asosining mahsulotiga teng va hokazo. Shunday qilib, yon yuzasi(ya'ni, yon yuzlar maydonlarining yig'indisi) yon chetining ko'paytmasiga, boshqacha aytganda, AA", BB", .. segmentlarining umumiy uzunligi ab+bc+cd yig'indisiga teng. +de+ea.
Prizmaning lateral yuzasi maydoni. Salom! Ushbu nashrda biz stereometriyadagi bir guruh muammolarni tahlil qilamiz. Keling, jismlarning kombinatsiyasini ko'rib chiqaylik - prizma va silindr. Hozirgi vaqtda ushbu maqola stereometriyadagi vazifalar turlarini ko'rib chiqish bilan bog'liq barcha maqolalar seriyasini to'ldiradi.
Agar vazifalar bankida yangilari paydo bo'lsa, unda, albatta, kelajakda blogga qo'shimchalar bo'ladi. Ammo imtihonning bir qismi sifatida qisqa javob bilan barcha muammolarni qanday hal qilishni o'rganishingiz uchun allaqachon mavjud bo'lgan narsa etarli. Kelgusi yillar uchun etarli material bo'ladi (matematika dasturi statik).
Taqdim etilgan vazifalar prizma maydonini hisoblashni o'z ichiga oladi. Shuni ta'kidlaymanki, biz quyida to'g'ri prizmani (va shunga mos ravishda to'g'ri silindrni) ko'rib chiqamiz.
Hech qanday formulani bilmasdan, biz prizmaning lateral yuzasi uning barcha lateral yuzlari ekanligini tushunamiz. To'g'ri prizma to'rtburchaklar yon yuzlariga ega.
Bunday prizmaning lateral yuzasining maydoni uning barcha lateral yuzlari (ya'ni to'rtburchaklar) maydonlarining yig'indisiga teng. Agar silindr yozilgan oddiy prizma haqida gapiradigan bo'lsak, bu prizmaning barcha yuzlari TENG to'rtburchaklar ekanligi aniq.
Rasmiy ravishda, muntazam prizmaning lateral sirt maydoni quyidagicha aks ettirilishi mumkin:
27064. Baza radiusi va balandligi 1 ga teng bo‘lgan silindr atrofida muntazam to‘rtburchak prizma chizilgan. Prizmaning yon sirtini toping.
Ushbu prizmaning lateral yuzasi teng maydonga ega to'rtta to'rtburchakdan iborat. Yuzning balandligi 1 ga, prizma poydevorining cheti 2 ga teng (bular silindrning ikkita radiusi), shuning uchun yon yuzning maydoni teng:
Yon sirt maydoni:
73023. Baza radiusi √0,12 va balandligi 3 ga teng bo‘lgan silindr atrofida aylana chizilgan muntazam uchburchak prizmaning lateral sirt maydonini toping.
Berilgan prizmaning lateral yuzasining maydoni uchta lateral yuzlarning (to'rtburchaklar) maydonlarining yig'indisiga teng. Yon yuzning maydonini topish uchun siz uning balandligini va taglik chetining uzunligini bilishingiz kerak. Balandligi uch. Asosiy chetining uzunligini topamiz. Proyeksiyani ko'rib chiqing (yuqori ko'rinish):
Bizda radiusi √0,12 bo'lgan doira chizilgan muntazam uchburchak bor. AOC to'g'ri burchakli uchburchakdan AC ni topishimiz mumkin. Va keyin AD (AD = 2AC). Tangensning ta'rifi bo'yicha:
Bu AD = 2AC = 1,2 degan ma'noni anglatadi, shuning uchun lateral sirt maydoni tengdir:
27066. Baza radiusi √75 va balandligi 1 bo‘lgan silindr atrofida aylanib o‘tilgan muntazam olti burchakli prizmaning lateral sirt maydonini toping.
Kerakli maydon barcha yon yuzlarning maydonlarining yig'indisiga teng. Muntazam olti burchakli prizma teng to'rtburchaklar bo'lgan lateral yuzlarga ega.
Yuzning maydonini topish uchun siz uning balandligini va taglik chetining uzunligini bilishingiz kerak. Balandligi ma'lum, u 1 ga teng.
Asosiy chetining uzunligini topamiz. Proyeksiyani ko'rib chiqing (yuqori ko'rinish):
Bizda muntazam olti burchakli radiusi √75 doira chizilgan.
ABO to'g'ri burchakli uchburchakni ko'rib chiqing. Biz OB oyog'ini bilamiz (bu silindrning radiusi). AOB burchagini ham aniqlashimiz mumkin, u 300 ga teng (AOC uchburchak teng yonli, OB bissektrisa).
To'g'ri burchakli uchburchakda tangens ta'rifidan foydalanamiz:
AC = 2AB, chunki OB medianadir, ya'ni AC ni ikkiga bo'ladi, bu AC = 10 degan ma'noni anglatadi.
Shunday qilib, yon yuzaning maydoni 1∙10=10 va yon yuzaning maydoni:
76485. Baza radiusi 8√3 va balandligi 6 ga teng silindrga chizilgan muntazam uchburchak prizmaning yon sirtini toping.
Uchta teng o'lchamdagi yuzlarning (to'rtburchaklar) ko'rsatilgan prizmasining lateral yuzasining maydoni. Maydonni topish uchun siz prizma poydevorining chetining uzunligini bilishingiz kerak (biz balandlikni bilamiz). Agar biz proyeksiyani (yuqori ko'rinish) ko'rib chiqsak, bizda aylana ichiga yozilgan muntazam uchburchak bor. Bu uchburchakning yon tomoni radiusda quyidagicha ifodalanadi:
Ushbu munosabatlarning tafsilotlari. Shunday qilib, teng bo'ladi
Keyin yon yuzning maydoni: 24∙6=144. Va kerakli maydon:
245354. Baza radiusi 2 bo‘lgan silindr atrofida muntazam to‘rtburchak prizma chizilgan. Prizmaning lateral yuzasi 48 ga teng. Silindrning balandligini toping.
Hammasi oddiy. Bizda teng maydonning to'rtta yon yuzi bor, shuning uchun bitta yuzning maydoni 48: 4 = 12. Tsilindr asosining radiusi 2 bo'lganligi sababli, prizma asosining cheti erta 4 bo'ladi - bu silindrning diametriga teng (bu ikki radius). Biz yuzning va bir chetining maydonini bilamiz, ikkinchisi balandligi 12: 4 = 3 ga teng bo'ladi.
27065. Baza radiusi √3 va balandligi 2 bo‘lgan silindr atrofida aylanib o‘tilgan muntazam uchburchak prizmaning lateral sirt maydonini toping.
Hurmat bilan, Aleksandr.
