1

1. Bogolyubov A.N. Matematiklar. Mexanika: biografik ma'lumotnoma. - Kiev: Naukova Dumka, 1983 yil.

2. Gulay T.A., Dolgopolova A.F., Litvin D.B. Qishloq xo'jaligi universitetlarining iqtisodiy yo'nalishlari talabalari tomonidan o'rganiladigan matematika fanlari bo'limlari ustuvorligini tahlil qilish va baholash // Stavropol AIC axborotnomasi. – 2013. – 1-son (9). – B. 6-10.

3. Dolgopolova A.F., Gulay T.A., Litvin D.B. Iqtisodiy tadqiqotlarda matematik usullarni qo'llash istiqbollari // Qishloq xo'jaligi fani, ijodkorlik, o'sish. – 2013. – B. 255-257.

Matematikada bir xil shart, test yoki tajribaning ko'p sonli takrorlanishi mavjud bo'lgan muammolarga duch kelish odatiy holdir. Har bir test natijasi avvalgisidan butunlay boshqacha natija sifatida qabul qilinadi. Natijalarda ham bog'liqlik bo'lmaydi. Sinov natijasida elementar oqibatlarning bir nechta imkoniyatlarini ajratish mumkin: hodisaning paydo bo'lishi (A) yoki A ni to'ldiradigan hodisaning paydo bo'lishi.

Keyin P(A) hodisasining yuzaga kelish ehtimoli muntazam va p(0) ga teng deb faraz qilishga harakat qilaylik.<р<1).

Bunday testga misollar, masalan, tanga tashlash, qorong'u sumkadan qora va oq to'plarni chizish yoki qora va oq quyonlarni tug'ish kabi ko'plab vazifalar bo'lishi mumkin.

Ushbu tajriba takroriy mustaqil sinovlar dizayni yoki Bernoulli dizayni deb ataladi.

Jeykob Bernulli farmatsevt oilasida tug'ilgan. Ota o‘g‘lini tibbiyot yo‘liga solib qo‘ymoqchi bo‘ldi, biroq J. Bernulli o‘z-o‘zidan matematikaga qiziqib qoldi va keyinchalik bu uning kasbiga aylandi. U ehtimollar va sonlar nazariyasi, qatorlar va differensial hisoblash mavzularidagi ishlarda turli sovrinlarga ega. Gyuygensning "Qimor o'yinlaridagi hisob-kitoblar to'g'risida" asaridan birining ehtimollik nazariyasini o'rganib, Jeykob unga qiziqib qoldi. Ushbu kitobda "ehtimollik" tushunchasining aniq ta'rifi ham yo'q edi. Aynan J. Bernulli ehtimollar nazariyasining zamonaviy tushunchalarini matematikaga kiritgan. Bernulli ham birinchi bo'lib katta sonlar qonunining o'z versiyasini ifodalagan. Turli ishlar, teorema va sxemalar Yakob nomi bilan ataladi: "Bernulli raqamlari", "Bernulli ko'p a'zosi", "Bernulli differentsial tenglamasi", "Bernulli taqsimoti" va "Bernulli tenglamasi".

Keling, takrorlashlarga qaytaylik. Yuqorida aytib o'tilganidek, turli xil testlar natijasida ikkita natija bo'lishi mumkin: yoki A hodisasi paydo bo'ladi yoki bu hodisaning aksi. Bernulli sxemasining o'zi tipik erkin tajribalarning n-sonini ishlab chiqarishni bildiradi va bu tajribalarning har birida bizga kerak bo'lgan A hodisasi paydo bo'lishi mumkin (bu hodisaning ehtimolligi ma'lum: P(A) = p), ehtimollik A hodisaga qarama-qarshi hodisa q = P( A)=1-p sifatida belgilanadi. Noma'lum miqdorni sinashda A hodisaning aynan k marta paydo bo'lish ehtimolini aniqlash talab qilinadi.

Bernoulli sxemasidan foydalangan holda muammolarni hal qilishda asosiy shartni esga olish muhimdir - bu doimiylik. Busiz sxema barcha ma'nosini yo'qotadi.

Ushbu sxema turli darajadagi murakkablikdagi muammolarni hal qilish uchun ishlatilishi mumkin: oddiy (bir xil tanga) dan murakkab (qiziqishlar). Biroq, ko'pincha Bernoulli sxemasi turli xil mahsulotlarning xususiyatlarini kuzatish va turli mexanizmlarga ishonchni o'z ichiga olgan muammolarni hal qilishda qo'llaniladi. Faqatgina muammoni hal qilish uchun ishni boshlashdan oldin barcha shartlar va qadriyatlarni oldindan bilish kerak.

Ehtimollar nazariyasidagi barcha muammolar sharoitlarda doimiylikka kamaymaydi. Misol tariqasida qora va oq rangli to'plarni qorong'i sumkada olsak ham: bitta to'p chizilganda, sumkadagi sharlar soni va ranglarining nisbati o'zgaradi, ya'ni ehtimolning o'zi ham o'zgaradi.

Ammo, agar bizning shartlarimiz o'zgarmas bo'lsa, u holda biz A hodisasining n tadan to'liq k marta sodir bo'lish ehtimolini aniq aniqlashimiz mumkin.

Jeykob Bernulli bu faktni keyinchalik uning nomi bilan atala boshlagan teoremaga aylantirdi. «Bernulli teoremasi» ehtimollar nazariyasining asosiy teoremalaridan biridir. U birinchi marta J. Bernoullining "Taxminlar san'ati" asarida nashr etilgan. Bu teorema nima? «Agar har bir sinovda A hodisaning ro‘y berish ehtimoli p o‘zgarmas bo‘lsa, u holda bir-biriga bog‘liq bo‘lmagan n ta sinovda hodisaning k marta sodir bo‘lish ehtimoli Pk,n quyidagicha bo‘ladi: , bu yerda q=1-p. ”.

Formulaning samaradorligini isbotlash uchun muammolarni keltirish mumkin.

№1 vazifa:

n shisha idishdan, bir oy saqlash vaqtida k sinadi. Biz tasodifiy m banka oldik. Bu bankalar orasida l buzilmasligi ehtimolini toping. n=250, k=10, m=8, l=4.

Yechim: Bizda qiymatlarga ega Bernulli sxemasi mavjud:

p=10/250=0,04 (idishlarning sinishi ehtimoli);

n=8 (sinovlar soni);

k=8-4=4 (singan bankalar soni).

Biz Bernulli formulasidan foydalanamiz

Qabul qilingan:

Javob: 0,0141

Vazifa №2:

Ishlab chiqarishda nosoz mahsulot ishlab chiqarish ehtimoli 0,2 ga teng. Ushbu ishlab chiqarish maydonchasida ishlab chiqarilgan 10 ta mahsulotdan aynan k mahsulotning yaxshi holatda bo'lishi ehtimolini toping. k = 0, 1, 10 ni yeching.

Bizni A hodisasi qiziqtiradi - p=1-0,2=0,8 ehtimollik bilan soatiga bir marta sodir bo'ladigan xizmat ko'rsatadigan qismlarni ishlab chiqarish. Ushbu hodisaning k marta sodir bo'lish ehtimolini topishimiz kerak. A hodisaning qarama-qarshi tomoni "A emas" hodisasi, ya'ni. nuqsonli mahsulot ishlab chiqarish.

Shuning uchun bizda: n=10; p=0,8; q=0,2.

Natijada ishlab chiqarilgan 10 ta mahsulotdan barcha mahsulotlar nosoz (k=0), bitta mahsulot ishlayotgan (k=1), nosozlari umuman yo‘qligi (k=10) ehtimolini topamiz:

Xulosa o‘rnida shuni ta’kidlashni istardimki, hozirgi zamonda ko‘plab olimlar “Bernulli formulasi” tabiat qonunlariga to‘g‘ri kelmasligini va uni qo‘llamasdan muammolarni hal qilish mumkinligini isbotlashga harakat qilmoqda. Albatta, bu mumkin, ehtimollik nazariyasidagi ko'pgina muammolarni Bernulli formulasisiz bajarish mumkin, asosiysi katta hajmdagi raqamlarda chalkashmaslikdir.

Bibliografik havola

Xomutova E.A., Kalinichenko V.A. EHTIMOLLAR NAZARIYASIDA BERNOULLI FORMULA // Xalqaro talabalar ilmiy byulleteni. – 2015. – No3-4.;
URL: http://eduherald.ru/ru/article/view?id=14141 (kirish sanasi: 03/12/2019). "Tabiiy fanlar akademiyasi" nashriyoti tomonidan chop etilgan jurnallarni e'tiboringizga havola etamiz.

Ushbu darsda biz sinovlarni takrorlashda mustaqil sinovlarda sodir bo'lish ehtimolini topamiz . Sinovlar mustaqil deb ataladi, agar har bir sinovning u yoki bu natijasining ehtimoli boshqa sinovlarning natijalariga bog'liq bo'lmasa. . Mustaqil testlar bir xil sharoitlarda ham, turli sharoitlarda ham amalga oshirilishi mumkin. Birinchi holda, qandaydir hodisaning yuzaga kelish ehtimoli barcha sud jarayonlarida bir xil bo'lsa, ikkinchi holatda u suddan sudgacha farq qiladi.

Mustaqil qayta sinovlarga misollar :

  • qurilma tugunlaridan biri yoki ikki yoki uchta tugun ishlamay qoladi va har bir tugunning ishdan chiqishi boshqa tugunga bog'liq emas va bir tugunning ishdan chiqish ehtimoli barcha testlarda doimiydir;
  • ma'lum bir doimiy texnologik sharoitlarda ishlab chiqarilgan qism yoki uch, to'rt, besh qism nostandart bo'lib chiqishi va bir qismi boshqa qismdan va uning aylanish ehtimolidan qat'i nazar, nostandart bo'lib chiqishi mumkin. nostandart bo'lishi barcha testlarda doimiydir;
  • nishonga bir necha marta o'q otishdan bir, uch yoki to'rtta o'q boshqa zarbalar natijasidan qat'iy nazar nishonga tegadi va nishonga tegish ehtimoli barcha sinovlarda doimiy bo'ladi;
  • tanga tushganda, boshqa tanga tushishi natijasidan qat'iy nazar, mashina bir, ikki yoki boshqa marta to'g'ri ishlaydi va mashinaning to'g'ri ishlashi ehtimoli barcha sinovlarda doimiy bo'ladi.

Ushbu hodisalarni bitta diagrammada tasvirlash mumkin. Har bir hodisa har bir sinovda bir xil ehtimollik bilan sodir bo'ladi, agar oldingi sinovlar natijalari ma'lum bo'lsa, bu o'zgarmaydi. Bunday testlar mustaqil deb ataladi va sxema deyiladi Bernoulli sxemasi . Taxminlarga ko'ra, bunday testlar istalgancha takrorlanishi mumkin.

Agar ehtimollik p hodisaning yuzaga kelishi A Har bir sinovda doimiy bo'lsa, unda ehtimollik n mustaqil test hodisasi A keladi m marta, tomonidan joylashgan Bernulli formulasi :

(Qaerda q= 1 – p- voqea sodir bo'lmasligi ehtimoli)

Keling, vazifani qo'yaylik - bu turdagi voqea sodir bo'lish ehtimolini topamiz n mustaqil testlar keladi m bir marta.

Bernulli formulasi: masalani yechish misollari

1-misol. Tasodifiy olingan besh qismdan ikkitasi standart bo'lish ehtimolini toping, agar har bir qismning standart bo'lish ehtimoli 0,9 bo'lsa.

Yechim. Hodisa ehtimoli A, Tasodifiy olingan qismi standart ekanligidan iborat, mavjud p=0,9 va uning nostandart bo'lish ehtimoli q=1–p=0,1. Muammo bayonida belgilangan hodisa (biz uni belgilaymiz IN), masalan, dastlabki ikki qism standart bo'lib chiqsa va keyingi uchtasi nostandart bo'lsa paydo bo'ladi. Ammo voqea IN birinchi va uchinchi qismlar standart bo'lib chiqsa va qolganlari nostandart bo'lsa yoki ikkinchi va beshinchi qismlar standart bo'lsa va qolganlari nostandart bo'lsa ham sodir bo'ladi. Voqea sodir bo'lishi uchun boshqa imkoniyatlar ham mavjud IN. Ularning har biri olingan besh qismdan ikkitasi, beshdan istalgan o'rinni egallagani standart bo'lib chiqishi bilan tavsiflanadi. Shuning uchun, hodisaning yuzaga kelishi uchun turli xil imkoniyatlarning umumiy soni IN ikkita standart qismni beshta joyga joylashtirish imkoniyatlari soniga teng, ya'ni. besh elementning birikmalari soniga ikkiga teng va .

Ehtimollarni ko'paytirish teoremasiga ko'ra har bir imkoniyatning ehtimoli besh omilning ko'paytmasiga teng bo'lib, ulardan ikkitasi standart qismlarning ko'rinishiga mos keladigan 0,9 ga, qolgan uchtasi esa nostandart ko'rinishga mos keladi. qismlar, 0,1 ga teng, ya'ni. bu ehtimollik. Ushbu o'nta imkoniyat mos kelmaydigan hodisa bo'lgani uchun, qo'shish teoremasi bo'yicha hodisaning ehtimolligi IN, biz belgilaymiz

2-misol. Mashinaning bir soat ichida ishchi e'tiborini talab qilish ehtimoli 0,6 ga teng. Mashinalardagi muammolarni mustaqil deb hisoblab, bir soat ichida ishchining diqqatini u ishlaydigan to'rtta mashinadan bittasi talab qilish ehtimolini toping.

Yechim. Foydalanish Bernulli formulasi da n=4 , m=1 , p=0,6 va q=1–p= 0,4, biz olamiz

3-misol. Avtoulovning normal ishlashi uchun chiziqda kamida sakkizta transport vositasi bo'lishi kerak va ularning o'ntasi bor. Har bir avtomobilning chiziqqa kirmasligi ehtimoli 0,1 ga teng. Keyingi sutkada avtobazaning normal ishlashi ehtimolini toping.

Yechim. Avtoulov normal ishlaydi (hodisa F), agar sakkiz yoki sakkiztasi (voqea A), yoki to'qqiz (hodisa IN) yoki barcha o'nta avtomobil hodisasi (voqea C). Ehtimollarni qo'shish teoremasiga ko'ra,

Biz har bir atamani topamiz Bernulli formulasiga muvofiq. Bu yerga n=10 , m=8; 10 va p=1-0,1=0,9, chunki p avtomobilning chiziqqa kirish ehtimolini ko'rsatishi kerak; Keyin q=0,1. Natijada biz olamiz

4-misol. Xaridorga 41 o'lchamdagi erkaklar poyabzali kerak bo'lishi ehtimoli 0,25 ga teng bo'lsin. Oltita xaridordan kamida ikkitasiga 41 o'lchamdagi poyabzal kerak bo'lishi ehtimolini toping.

Uzoq vaqt davomida yuksak narsalar haqida o'ylamaylik - keling, darhol ta'rifdan boshlaylik.

Bernulli sxemasi - bir xil turdagi n ta mustaqil tajriba o'tkazilganda, ularning har birida bizni qiziqtirgan hodisa A ko'rinishi mumkin va bu hodisaning ehtimoli P (A) = p ma'lum. Biz n ta sinovdan so'ng A hodisaning aynan k marta sodir bo'lish ehtimolini aniqlashimiz kerak.

Bernulli sxemasi yordamida hal qilinishi mumkin bo'lgan muammolar juda xilma-xildir: oddiylardan (masalan, "otuvchining 10 dan 1 marta urish ehtimolini toping") juda og'ir (masalan, foizlar yoki o'yin kartalari bilan bog'liq muammolar) ). Aslida, ushbu sxema ko'pincha mahsulot sifati va turli mexanizmlarning ishonchliligini nazorat qilish bilan bog'liq muammolarni hal qilish uchun ishlatiladi, ularning barcha xususiyatlari ish boshlashdan oldin ma'lum bo'lishi kerak.

Keling, ta'rifga qaytaylik. Biz mustaqil sinovlar haqida gapirayotganimiz uchun va har bir sinovda A hodisasining ehtimoli bir xil bo'lganligi sababli, faqat ikkita natijaga erishish mumkin:

  1. A - p ehtimollik bilan A hodisaning sodir bo'lishi;
  2. "A emas" - A hodisasi paydo bo'lmadi, bu q = 1 - p ehtimollik bilan sodir bo'ladi.

Bernulli sxemasi o'z ma'nosini yo'qotadigan eng muhim shart - bu doimiylik. Qanchalik ko'p tajribalar o'tkazmaylik, bizni bir xil p ehtimollik bilan sodir bo'ladigan bir xil A hodisasi qiziqtiradi.

Aytgancha, ehtimollik nazariyasidagi barcha muammolar doimiy shartlarga qisqartirilmaydi. Bu haqda har qanday malakali oliy matematika o'qituvchisi aytib beradi. Hatto qutidan rangli to'plarni olish kabi oddiy narsa ham doimiy sharoitlar bilan tajriba emas. Ular yana bir to'pni chiqarib olishdi - qutidagi ranglar nisbati o'zgardi. Natijada, ehtimolliklar ham o'zgardi.

Agar shartlar o'zgarmas bo'lsa, biz A hodisasining n tadan to'liq k marta sodir bo'lish ehtimolini aniq aniqlashimiz mumkin. Keling, bu faktni teorema shaklida tuzamiz:

Bernulli teoremasi. Har bir tajribada A hodisaning yuzaga kelish ehtimoli doimiy va p ga teng bo'lsin. U holda n ta mustaqil sinovda A hodisasining aynan k marta paydo bo'lish ehtimoli quyidagi formula bilan hisoblanadi:

Bu erda C n k - kombinatsiyalar soni, q = 1 - p.

Bu formula Bernulli formulasi deb ataladi. Qizig'i shundaki, quyida keltirilgan muammolarni ushbu formuladan foydalanmasdan to'liq hal qilish mumkin. Masalan, ehtimollarni qo'shish uchun formulalarni qo'llashingiz mumkin. Biroq, hisoblash miqdori shunchaki real bo'lmaydi.

Vazifa. Mashinada nuqsonli mahsulot ishlab chiqarish ehtimoli 0,2 ga teng. Ushbu mashinada ishlab chiqarilgan o'n qismli partiyada aynan k qism nuqsonsiz bo'lish ehtimolini aniqlang. k = 0, 1, 10 uchun masalani yeching.

Shartga ko'ra, biz har safar p = 1 - 0,2 = 0,8 ehtimollik bilan sodir bo'ladigan nuqsonlarsiz mahsulotlarni chiqarish A hodisasi bilan qiziqamiz. Ushbu hodisaning k marta sodir bo'lish ehtimolini aniqlashimiz kerak. A hodisasi "A emas" hodisasiga qarama-qarshi qo'yilgan, ya'ni. nuqsonli mahsulotni chiqarish.

Shunday qilib, bizda: n = 10; p = 0,8; q = 0,2.

Shunday qilib, biz partiyadagi barcha qismlar nuqsonli (k = 0), nuqsonsiz faqat bitta qism (k = 1) va umuman nuqsonli qismlar yo'qligi (k = 10) ehtimolini topamiz:

Vazifa. Tanga 6 marta tashlanadi. Gerb va boshning qo'nish ehtimoli bir xil. Buning ehtimolini toping:

  1. gerb uch marta paydo bo'ladi;
  2. gerb bir marta paydo bo'ladi;
  3. gerb kamida ikki marta paydo bo'ladi.

Demak, bizni gerb tushib qolgan A hodisasi qiziqtiradi. Ushbu hodisaning ehtimoli p = 0,5 ga teng. A hodisasi q = 1 - 0,5 = 0,5 ehtimollik bilan sodir bo'lgan natija bosh bo'lganda, "A emas" hodisasiga qarama-qarshi qo'yiladi. Gerbning k marta paydo bo'lish ehtimolini aniqlashimiz kerak.

Shunday qilib, bizda: n = 6; p = 0,5; q = 0,5.

Gerbning uch marta chizilganligi ehtimolini aniqlaylik, ya'ni. k = 3:

Endi gerbning faqat bir marta chizilganligi ehtimolini aniqlaylik, ya'ni. k = 1:

Gerbning kamida ikki marta paydo bo'lishini aniqlash uchun qoladi. Asosiy narsa "kam emas" iborasida. Ma'lum bo'lishicha, biz 0 va 1 dan tashqari har qanday k bilan qanoatlanamiz, ya'ni. X = P 6 (2) + P 6 (3) + ... + P 6 (6) yig'indisining qiymatini topishimiz kerak.

E'tibor bering, bu summa ham (1 - P 6 (0) - P 6 (1)) ga teng, ya'ni. Gerb bir marta tushib ketgan (k = 1) yoki umuman paydo bo'lmagan (k = 0) barcha mumkin bo'lgan variantlardan "kesib qo'yish" kifoya. P 6 (1) ni allaqachon bilganimiz sababli, P 6 (0) ni topish kerak:

Vazifa. Televizorda yashirin nuqsonlar mavjudligi ehtimoli 0,2 ga teng. Omborga 20 ta televizor keldi. Qaysi hodisa ehtimoli ko'proq: bu partiyada yashirin nuqsonli ikkita televizor yoki uchtasi bormi?

Qiziqish hodisasi A - yashirin nuqsonning mavjudligi. Hammasi bo'lib n = 20 ta televizor mavjud, yashirin nuqson ehtimoli p = 0,2. Shunga ko'ra, televizorni yashirin nuqsonsiz qabul qilish ehtimoli q = 1 - 0,2 = 0,8.

Bernulli sxemasi uchun boshlang'ich shartlarni olamiz: n = 20; p = 0,2; q = 0,8.

Ikkita "nuqson" televizor (k = 2) va uchta (k = 3) olish ehtimolini topamiz:

\[\begin(massiv)(l)(P_(20))\left(2 \o'ng) = C_(20)^2(p^2)(q^(18)) = \frac((20)}{{2!18!}} \cdot {0,2^2} \cdot {0,8^{18}} \approx 0,137\\{P_{20}}\left(3 \right) = C_{20}^3{p^3}{q^{17}} = \frac{{20!}}{{3!17!}} \cdot {0,2^3} \cdot {0,8^{17}} \approx 0,41\end{array}\]!}

Shubhasiz, P 20 (3) > P 20 (2), ya'ni. yashirin nuqsonlari bo'lgan uchta televizorni olish ehtimoli faqat ikkita bunday televizorni olish ehtimolidan kattaroqdir. Bundan tashqari, farq zaif emas.

Faktoriallar haqida qisqacha ma'lumot. Ko'p odamlar "0!" yozuvini ko'rganlarida noaniq noqulaylik hissini boshdan kechirishadi. ("nol faktorial" ni o'qing). Shunday qilib, 0! ta'rifi bo'yicha = 1.

P. S. Va oxirgi vazifada eng katta ehtimollik yashirin nuqsonlari bo'lgan to'rtta televizorni olishdir. O'zingiz hisoblang va o'zingiz ko'ring.

Qisqacha nazariya

Ehtimollar nazariyasi cheksiz ko'p marta takrorlanishi mumkin bo'lgan (hech bo'lmaganda nazariy jihatdan) tajribalar bilan shug'ullanadi. Ba'zi bir tajriba bir marta takrorlansin va har bir takrorlash natijalari oldingi takrorlash natijalariga bog'liq emas. Bunday takrorlashlar ketma-ketligi mustaqil sinovlar deb ataladi. Bunday testlarning alohida holati mustaqil Bernoulli testlari, ular ikkita shart bilan tavsiflanadi:

1) har bir test natijasi mos ravishda "muvaffaqiyat" yoki "qobiliyatsizlik" deb ataladigan ikkita mumkin bo'lgan natijalardan biri.

2) har bir keyingi testda "muvaffaqiyat" ehtimoli oldingi testlar natijalariga bog'liq emas va doimiy bo'lib qoladi.

Bernulli teoremasi

Agar Bernulli bo'yicha bir qator mustaqil sinovlar o'tkazilsa, ularning har birida "muvaffaqiyat" ehtimollik bilan paydo bo'ladi, u holda sinovlarda "muvaffaqiyat" aynan bir marta paydo bo'lish ehtimoli quyidagi formula bilan ifodalanadi:

"muvaffaqiyatsizlik" ehtimoli qayerda.

- elementlarning kombinatsiyasi soni (asosiy kombinatorik formulalarga qarang)

Bu formula deyiladi Bernulli formulasi.

Bernoulli formulasi etarlicha ko'p sonli testlar bilan ko'p sonli hisob-kitoblardan - ehtimollarni qo'shish va ko'paytirishdan xalos bo'lishga imkon beradi.

Bernulli test sxemasi binomial sxema deb ham ataladi va mos keladigan ehtimollar binomial deb ataladi, bu binomial koeffitsientlardan foydalanish bilan bog'liq.

Bernulli sxemasi bo'yicha taqsimlash, xususan, voqea sodir bo'lishining eng ehtimoliy sonini topishga imkon beradi.

Agar testlar soni bo'lsa n katta, keyin foydalaning:

Muammoni hal qilish misoli

Muammoli holat

Ba'zi o'simlik urug'larining unib chiqish darajasi 70% ni tashkil qiladi. Ekilgan 10 ta urug‘dan: 8 ta, kamida 8 ta urug‘ bo‘lish ehtimoli qancha; kamida 8?

Muammoni hal qilish

Bernulli formulasidan foydalanamiz:

Bizning holatda

Hodisa shunday bo'lsinki, 10 ta urug'dan 8 tasi unib chiqadi:

Voqea kamida 8 bo'lsin (ya'ni 8, 9 yoki 10)

Hodisa kamida 8 ga ko'tarilsin (bu 8,9 yoki 10 degan ma'noni anglatadi)

Javob

O'rtacha testni hal qilish narxi 700 - 1200 rubl (lekin butun buyurtma uchun kamida 300 rubl). Narxga qarorning shoshilinchligi (bir kundan bir necha soatgacha) katta ta'sir ko'rsatadi. Imtihon/test uchun onlayn yordam narxi 1000 rubldan. chiptani hal qilish uchun.

Siz so'rovni to'g'ridan-to'g'ri chatda qoldirishingiz mumkin, avvalroq topshiriqlar shartlarini yuborganingiz va sizga kerak bo'lgan yechimning muddatlari haqida xabar bergansiz. Javob vaqti bir necha daqiqa.

Keling, binom taqsimotini ko'rib chiqamiz, uning matematik kutilishi, dispersiyasi va rejimini hisoblaymiz. MS EXCEL ning BINOM.DIST() funksiyasidan foydalanib, taqsimot funksiyasi va ehtimollik zichligi grafiklarini tuzamiz. Keling, taqsimot parametri p, taqsimotning matematik kutilishi va standart og'ishni taxmin qilaylik. Keling, Bernulli taqsimotini ham ko'rib chiqaylik.

Ta'rif. Ular amalga oshsin n sinovlar, ularning har birida faqat 2 ta hodisa ro'y berishi mumkin: hodisa "muvaffaqiyatli" ehtimollik bilan p yoki ehtimollik bilan "qobiliyatsiz" hodisa q =1-p (deb ataladi Bernoulli sxemasi,Bernullisinovlar).

Aniq qabul qilish ehtimoli x bularda muvaffaqiyat n testlar quyidagilarga teng:

Namunadagi muvaffaqiyatlar soni x ega bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchidir Binomiy taqsimot(inglizcha) binomtarqatish) p Va n– bu taqsimotning parametrlari.

Iltimos, foydalanishni unutmang Bernoulli sxemalari va shunga ko'ra binom taqsimoti, quyidagi shartlar bajarilishi kerak:

  • Har bir test an'anaviy ravishda "muvaffaqiyat" va "muvaffaqiyatsizlik" deb ataladigan ikkita natijaga ega bo'lishi kerak.
  • har bir test natijasi oldingi testlar natijalariga bog'liq bo'lmasligi kerak (test mustaqilligi).
  • muvaffaqiyat ehtimoli p barcha testlar uchun doimiy bo'lishi kerak.

MS EXCEL da binomial taqsimot

MS EXCEL da, 2010 versiyasidan boshlab, uchun Binomiy taqsimot BINOM.DIST() funksiyasi mavjud bo'lib, inglizcha nomi BINOM.DIST() bo'lib, aniq bo'lish ehtimolini hisoblash imkonini beradi. X"muvaffaqiyat" (ya'ni. ehtimollik zichligi funksiyasi p(x), yuqoridagi formulaga qarang) va kümülatif taqsimot funksiyasi(namuna bo'lish ehtimoli x yoki kamroq "muvaffaqiyatlar", shu jumladan 0).

MS EXCEL 2010 dan oldin EXCELda BINOMDIST() funksiyasi mavjud edi, u ham hisoblash imkonini beradi. tarqatish funktsiyasi Va ehtimollik zichligi p(x). BINOMIST() moslik uchun MS EXCEL 2010 da qoldirilgan.

Misol fayli grafiklarni o'z ichiga oladi ehtimollik zichligi taqsimoti Va .

Binomiy taqsimot belgiga ega B(n; p) .

Eslatma: Qurilish uchun kümülatif taqsimot funksiyasi mukammal turdagi diagramma Jadval, uchun tarqatish zichligi – Guruhlash bilan gistogramma. Diagrammalarni yaratish haqida ko'proq ma'lumot olish uchun Grafiklarning asosiy turlari maqolasini o'qing.

Eslatma: Formulalarni yozish qulayligi uchun misol faylida parametrlar uchun nomlar yaratilgan Binomiy taqsimot: n va p.

Misol faylida MS EXCEL funksiyalaridan foydalangan holda turli ehtimollik hisoblari ko'rsatilgan:

Yuqoridagi rasmda ko'rib turganingizdek, taxmin qilinadi:

  • Namuna olinadigan cheksiz populyatsiyada 10% (yoki 0,1) haqiqiy elementlar (parametr) mavjud. p, uchinchi funktsiya argumenti = BINOM.DIST() )
  • 10 ta elementdan iborat namunada bo'lish ehtimolini hisoblash uchun (parametr n, funktsiyaning ikkinchi argumenti) aniq 5 ta haqiqiy element bo'ladi (birinchi argument), siz formulani yozishingiz kerak: =BINOM.DIST(5, 10, 0,1, FALSE)
  • Oxirgi, to'rtinchi element o'rnatilgan = FALSE, ya'ni. funktsiya qiymati qaytariladi tarqatish zichligi.

Agar to'rtinchi argumentning qiymati = TRUE bo'lsa, BINOM.DIST() funksiyasi qiymatni qaytaradi. kümülatif taqsimot funksiyasi yoki shunchaki Tarqatish funksiyasi. Bunday holda, siz namunadagi yaxshi elementlarning soni ma'lum bir diapazondan, masalan, 2 yoki undan kam (shu jumladan 0) bo'lish ehtimolini hisoblashingiz mumkin.

Buning uchun formulani yozish kerak:
= BINOM.DIST(2; 10; 0,1; TRUE)

Eslatma: X ning butun bo'lmagan qiymati uchun, . Masalan, quyidagi formulalar bir xil qiymatni qaytaradi:
=BINOM.DIST( 2 ; 10; 0,1; TO'G'RI)
=BINOM.DIST( 2,9 ; 10; 0,1; TO'G'RI)

Eslatma: Misol faylida ehtimollik zichligi Va tarqatish funktsiyasi NUMBERCOMB() ta'rifi va funksiyasi yordamida ham hisoblangan.

Tarqatish ko'rsatkichlari

IN Ish varag'idagi namuna fayli Misol Ba'zi taqsimlash ko'rsatkichlarini hisoblash uchun formulalar mavjud:

  • =n*p;
  • (standart og'ish kvadrat) = n * p * (1-p);
  • = (n+1)*p;
  • =(1-2*p)*ROOT(n*p*(1-p)).

Keling, formulani chiqaramiz matematik kutish Binomiy taqsimot foydalanish Bernoulli sxemasi.

Ta'rifga ko'ra, tasodifiy o'zgaruvchi X in Bernoulli sxemasi(Bernulli tasodifiy o'zgaruvchisi) ega tarqatish funktsiyasi:

Ushbu tarqatish deyiladi Bernoulli taqsimoti.

Eslatma: Bernoulli taqsimoti- alohida holat Binomiy taqsimot n=1 parametr bilan.

Har birining muvaffaqiyat ehtimoli turlicha bo'lgan 100 ta raqamdan iborat 3 ta massiv hosil qilaylik: 0,1; 0,5 va 0,9. Buni oynada qilish uchun Tasodifiy raqamlarni yaratish Har bir p ehtimollik uchun quyidagi parametrlarni o'rnatamiz:

Eslatma: Agar siz parametrni o'rnatsangiz Tasodifiy tarqalish (Tasodifiy urug'), keyin siz yaratilgan raqamlarning ma'lum bir tasodifiy to'plamini tanlashingiz mumkin. Masalan, ushbu parametrni =25 o'rnatish orqali siz turli xil kompyuterlarda bir xil tasodifiy sonlar to'plamini yaratishingiz mumkin (agar, albatta, boshqa tarqatish parametrlari bir xil bo'lsa). Variant qiymati 1 dan 32,767 gacha bo'lgan butun qiymatlarni qabul qilishi mumkin Tasodifiy tarqalish chalkash bo'lishi mumkin. deb tarjima qilsak yaxshi bo'lardi Raqamni tasodifiy raqamlar bilan tering.

Natijada, biz 100 ta raqamdan iborat 3 ta ustunga ega bo'lamiz, ular asosida, masalan, muvaffaqiyat ehtimolini taxmin qilishimiz mumkin. p formula bo'yicha: Muvaffaqiyatlar soni/100(sm. GenerationBernoulli fayl varaqasi namunasi).

Eslatma: uchun Bernoulli taqsimoti p=0,5 bilan mos keladigan =RANDBETWEEN(0;1) formulasidan foydalanishingiz mumkin.

Tasodifiy raqamlarni yaratish. Binomiy taqsimot

Faraz qilaylik, namunada 7 ta nuqsonli mahsulot bor. Bu nuqsonli mahsulotlarning nisbati o'zgarganligi "juda ehtimol" ekanligini anglatadi p, bu bizning ishlab chiqarish jarayonimizga xos xususiyatdir. Garchi bunday vaziyat "juda ehtimol" bo'lsa-da, ehtimol (alfa xavfi, 1-toifa xato, "noto'g'ri signal") p o'zgarishsiz qoldi va nuqsonli mahsulotlar sonining ko'payishi tasodifiy tanlab olish bilan bog'liq.

Quyidagi rasmda ko'rinib turibdiki, 7 - bir xil qiymatda p=0,21 bo'lgan jarayon uchun maqbul bo'lgan nuqsonli mahsulotlar soni. Alfa. Bu shuni ko'rsatadiki, agar namunadagi nuqsonli elementlarning chegara qiymati oshib ketganda, p"ehtimol" ko'paygan. "Ehtimol" iborasi nuqsonli mahsulotlar foizining chegaradan yuqori bo'lishi faqat tasodifiy sabablarga ko'ra 10% ehtimollik (100% -90%) mavjudligini anglatadi.

Shunday qilib, namunadagi nuqsonli mahsulotlarning chegaradan oshib ketishi jarayon buzilganligi va ishlatilgan mahsulotlarni ishlab chiqarishni boshlaganligi haqida signal bo'lib xizmat qilishi mumkin. O nuqsonli mahsulotlarning yuqori foizi.

Eslatma: MS EXCEL 2010 dan oldin EXCELda BINOM.INV() ga teng bo'lgan CRITBINOM() funksiyasi mavjud edi. CRITBINOM() moslik uchun MS EXCEL 2010 va undan yuqori versiyalarida qoldirilgan.

Binom taqsimotining boshqa taqsimotlar bilan aloqasi

Agar parametr n Binomiy taqsimot cheksizlikka intiladi va p 0 ga intiladi, keyin bu holatda Binomiy taqsimot taxmin qilish mumkin.
Biz shartlarni taxmin qilishda shakllantirishimiz mumkin Puasson taqsimoti yaxshi ishlaydi:

  • p<0,1 (kamroq p va boshqalar n, taxminan qanchalik aniq bo'lsa);
  • p>0,9 (buni hisobga olgan holda q=1- p, bu holda hisob-kitoblar orqali amalga oshirilishi kerak q(A X bilan almashtirish kerak n- x). Shuning uchun, kamroq q va boshqalar n, yaqinlik qanchalik aniq bo'lsa).

0,1 da<=p<=0,9 и n*p>10 Binomiy taqsimot taxmin qilish mumkin.

Navbat bilan, Binomiy taqsimot Agar populyatsiya soni N bo'lsa, yaxshi taxminiy bo'lib xizmat qilishi mumkin Gipergeometrik taqsimot namuna hajmi n dan ancha katta (ya'ni, N>>n yoki n/N<<1).

Yuqoridagi taqsimotlar o'rtasidagi munosabatlar haqida batafsil ma'lumotni maqolada topishingiz mumkin. Bundan tashqari, yaqinlashtirish misollari va qachon mumkin bo'lganligi va qanday aniqlik bilan tushuntirish shartlari mavjud.

MASLAHAT: Boshqa MS EXCEL distributivlari haqida maqolada oʻqishingiz mumkin.