Метод простой итерации, называемый также методом последовательного приближения, - это математический алгоритм нахождения значения неизвестной величины путем постепенного ее уточнения. Суть этого метода в том, что, как видно из названия, постепенно выражая из начального приближения последующие, получают все более уточненные результаты. Этот метод используется для поиска значения переменной в заданной функции, а также при решении систем уравнений, как линейных, так и нелинейных.
Рассмотрим, как данный метод реализуется при решении СЛАУ. Метод простой итерации имеет следующий алгоритм:
1. Проверка выполнения условия сходимости в исходной матрице. Теорема о сходимости: если исходная матрица системы имеет диагональное преобладание (т.е, в каждой строке элементы главной диагонали должны быть больше по модулю, чем сумма элементов побочных диагоналей по модулю), то метод простых итераций - сходящийся.
2. Матрица исходной системы не всегда имеет диагональное преобладание. В таких случаях систему можно преобразовать. Уравнения, удовлетворяющие условию сходимости, оставляют нетронутыми, а с неудовлетворяющими составляют линейные комбинации, т.е. умножают, вычитают, складывают уравнения между собой до получения нужного результата.
Если в полученной системе на главной диагонали находятся неудобные коэффициенты, то к обеим частям такого уравнения прибавляют слагаемые вида с i *x i, знаки которых должны совпадать со знаками диагональных элементов.
3. Преобразование полученной системы к нормальному виду:
x - =β - +α*x -
Это можно сделать множеством способов, например, так: из первого уравнения выразить х 1 через другие неизвестные, из второго- х 2 , из третьего- х 3 и т.д. При этом используем формулы:
α ij = -(a ij / a ii)
i = b i /a ii
Следует снова убедиться, что полученная система нормального вида соответствует условию сходимости:
∑ (j=1) |α ij |≤ 1, при этом i= 1,2,...n
4. Начинаем применять, собственно, сам метод последовательных приближений.
x (0) - начальное приближение, выразим через него х (1) , далее через х (1) выразим х (2) . Общая формула а матричном виде выглядит так:
x (n) = β - +α*x (n-1)
Вычисляем, пока не достигнем требуемой точности:
max |x i (k)-x i (k+1) ≤ ε
Итак, давайте разберем на практике метод простой итерации. Пример:
Решить СЛАУ:
4,5x1-1.7x2+3.5x3=2
3.1x1+2.3x2-1.1x3=1
1.8x1+2.5x2+4.7x3=4 с точностью ε=10 -3
Посмотрим, преобладают ли по модулю диагональные элементы.
Мы видим что условию сходимости удовлетворяет лишь третье уравнение. Первое и второе преобразуем, к первому уравнению прибавим второе:
7,6x1+0.6x2+2.4x3=3
Из третьего вычтем первое:
2,7x1+4.2x2+1.2x3=2
Мы преобразовали исходную систему в равноценную:
7,6x1+0.6x2+2.4x3=3
-2,7x1+4.2x2+1.2x3=2
1.8x1+2.5x2+4.7x3=4
Теперь приведем систему к нормальному виду:
x1=0.3947-0.0789x2-0.3158x3
x2=0.4762+0.6429x1-0.2857x3
x3= 0.8511-0.383x1-0.5319x2
Проверяем сходимость итерационного процесса:
0.0789+0.3158=0,3947 ≤ 1
0.6429+0.2857=0.9286 ≤ 1
0.383+ 0.5319= 0.9149 ≤ 1 , т.е. условие выполняется.
0,3947
Начальное приближение х (0) = 0,4762
0,8511
Подставляем данные значения в уравнение нормального вида, получаем следующие значения:
0,08835
x (1) = 0,486793
0,446639
Подставляем новые значения, получаем:
0,215243
x (2) = 0,405396
0,558336
Продолжаем вычисления до того момента, пока не приблизимся к значениям, удовлетворяющим заданному условию.
x (7) = 0,441091
Проверим правильность полученных результатов:
4,5*0,1880 -1.7*0,441+3.5*0,544=2,0003
3.1*0,1880+2.3*0,441-1.1x*0,544=0,9987
1.8*0,1880+2.5*0,441+4.7*0,544=3,9977
Результаты, полученные при подстановке найденных значений в исходные уравнения, полностью удовлетворяют условиям уравнения.
Как мы видим, метод простой итерации дает довольно точные результаты, однако для решения этого уравнения нам пришлось потратить много времени и проделать громоздкие вычисления.
Тема 3. Решение систем линейных алгебраических уравнений итерационными методами.
Описанные выше прямые методы решения СЛАУ не очень эффективны при решении систем большой размерности (т.е. когдо значение n достаточно велико). Для решения СЛАУ в таких случаях больше подходят итерационные методы
Итерационные методы решения СЛАУ (их второе название - методы последовательного приближения к решению) не дают точного решения СЛАУ, а дают только приближение к решению, причем каждое следующее приближение получается из предыдущего и является более точным, чем предыдущее (при условии, что обеспечена сходимость итераций). Начальное (или, так называемое, нулевое) приближение выбирается вблизи предполагаемого решения или произвольно (в качестве его можно взять вектор правой части системы). Точное решение находится как предел таких приближений при стремлении их количества к бесконечности. Как правило, за конечное число шагов (т.е. итераций) этот предел не достигается. Поэтому, на практике, вводится понятие точности решения , а именно задается некоторое положительное и достаточно малое число e и процесс вычислений (итераций) проводят до тех пор, пока не будет выполнено соотношение .
Здесь - приближение к решению, полученное после итерации номер n , а - точное решение СЛАУ (которое заранее неизвестно). Число итераций n = n (e ) , необходимое для достижения заданной точности для конкретных методов можно получить из теоретических рассмотрений (т. е. для этого имеются расчетные формулы). Качество различных итерационных методов можно сравнить по необходимому числу итераций для достижения одной и той же точности.
Для исследования итерационных методов на сходимость необходимо уметь вычислять нормы матриц. Норма матрицы - это некая числовая величина, характеризующая величину элементов матрицы по абсолютной величине. В высшей математике имеется несколько различных видов норм матриц, которые, как правило, являются эквивалентными. В нашем курсе мы будем пользоваться только одной из них. А именно, под нормой матрицы мы будем понимать максимальную величину среди сумм абсолютных величин элементов отдельных строк матрицы . Для обозначения нормы матрицы - ее название заключается в две пары вертикальных черточек. Так, для матрицы A под ее нормой будем понимать величину
. (3.1)
Так, к примеру, норма матрицы А из примера 1 находится следующим образом:
Наиболее широкое применение для решения СЛАУ получили три итерационных метода
Метод простой итерации
Метод Якоби
Метод Гуасса-Зейделя.
Метод простой итерации предполагает переход от записи СЛАУ в исходном виде (2.1) к записи ее в виде
(3.2)
или, что тоже, в матричном виде,
x = С × x + D , (3.3)
C - матрица коэффициентов преобразованной системы размерности n ´ n
x - вектор неизвестных, состоящий из n компонент
D - вектор правых частей преобразованной системы, состоящий из n компонент.
Система в виде (3.2) может быть представлена в сокращенном виде
Исходя из этого представления формула простой итерации будет иметь вид
где m - номер итерации, а - значение x j на m -ом шаге итерации. Тогда, если процесс итераций сходится, с увеличением количества итераций будет наблюдаться
Доказано, что процесс итераций сходится, если норма матрицы D будет меньше единиц ы .
Если за начальное (нулевое) приближение взять вектор свободных членов, т.е. x (0) = D , то величина погрешности имеет вид
(3.5)
здесь под x * понимается точное решение системы. Следовательно,
если 
, то по заданной точности
e
можно заранее расчитать необходимое количество итераций
. А именно, из соотношения
после небольших преобразований получим
. (3.6)
При выполнении такого количества итераций гарантировано будет обеспечена заданная точность нахождения решения системы. Эта теоретическая оценка необходимого количества шагов итерации несколько завышена. На практике необходимая точность может быть достигнута за меньшее количество итераций.
Поиск решений заданной СЛАУ методом простой итерации удобно производить с занесением полученных результатов в таблицу следующего вида:
| x 1 | x 2 | x n |
||
Следует особо отметить, что в решении СЛАУ этим методом наиболее сложным и трудоемким является выполнение преобразования системы из вида (2.1) к виду (3.2). Эти преобразования должны быть эквивалентными, т.е. не меняющими решения исходной системы, и обеспечивающие величину нормы матрицы C (после выполнения их) меньшей единицы. Единого рецепта для выполнения таких преобразований не существует. Здесь в каждом конкретном случае необходимо проявлять творчество. Рассмотрим примеры , в которых будут приведены некоторые способы преобразования системы к необходимому виду.
Пример 1. Найдем решение системы линейных алгебраических уравнений методом простой итерации (с точностью e = 0.001)
Эта система приводится к необходимому виду простейшим способом. Перенесем все слагаемые из левой части в правую, а затем к обоим частям каждого уравнения прибавим по x i (i =1, 2, 3, 4). Получим преобразованную систему следующего вида
.
Матрица C и вектор D в этом случае будут следующими
C
=
,
D
=
.
Вычислим норму матрицы C . Получим
Так как норма оказалась меньшей единицы - сходимость метода простой итерации обеспечена. В качестве начального (нулевого) приближения примем компоненты вектора D . Получим
, 
, 
, 
.
По формуле (3.6) вычислим необходимое число шагов итерации. Определим сначала норму вектора D . Получим
.
Следовательно, для достижения заданной точности необходимо выполнить не менее 17 итераций. Выполним первую итерацию. Получим
Выполнив все арифметические операции, получим
.
Продолжая аналогично, выполним дальнейшие шаги итераций. Результаты их сведем в следующую таблицу (D - наибольшая величина изменения компонент решения между текущим и предыдущим шагами)
| M | |||||
Так как уже после десятого шага разность между значениями на двух последних итерациях стала меньше заданной точности - процесс итераций прекратим. В качестве найденного решения примем значения, полученные на последнем шаге.
Пример 2.
Поступим сначала аналогично предыдущему примеру. Получим
Матрица C такой системы будет
C
=
.
Вычислим ее норму. Получим
Очевидно, что итерационный процесс для такой матрицы сходящимся не будет. Необходимо найти иной способ преобразования заданной системы уравнений.
Переставим в исходной системе уравнений отдельные ее уравнения так, чтобы третья строка стала первой, первая - второй, вторая - третьей. Тогда, преобразуя ее тем же способом, получим
Матрица C такой системы будет
C
=
.
Вычислим ее норму. Получим
Так как норма матрицы C оказалась меньшей единицы, преобразованная таким образом система пригодна для решения методом простой итерации.
Пример 3. Преобразуем систему уравнений
к виду, который позволил бы использовать при ее решении метод простой итерации.
Поступим сначала аналогично примеру 1. Получим
Матрица C такой системы будет
C
=
.
Вычислим ее норму. Получим
Очевидно, что итерационный процесс для такой матрицы сходящимся не будет.
Для преобразования исходной матрицы к виду, удобному для применения метода простой итерации поступим следующим образом. Сначала образуем “промежуточную” систему уравнений, в которой
- первое уравнение является суммой первого и второго уравнений исходной системы
- второе уравнение - суммой удвоенного третьего уравнения со вторым за вычетом первого
- третье уравнение - разность третьего и второго уравнений исходной системы.
В результате получим эквивалентную исходной “промежуточную” систему уравнений
Из нее несложно получить еще одну систему “промежуточную” систему
,
а из нее преобразованную
.
Матрица C такой системы будет
C
=
.
Вычислим ее норму. Получим
Итерационный процесс для такой матрицы будет сходящимся.
Метод Якоби предполагает, что все диагональные элементы матрицы A исходной системы (2.2) не равны нулю. Тогда исходную систему можно переписать в виде
(3.7)
Из такой записи системы образована итерационная формула метода Якоби
Условием сходимости итерационного процесса метода Якоби является так называемое условие доминирования диагонали в исходной системе (вида (2,1)). Аналитически это условие записывается в виде
. (3.9)
Следует отметить, что если в заданной системе уравнений условие сходимости метода Якоби (т.е. условие доминирования диагонали) не выполняется, во многих случаях можно путем эквивалентных преобразований исходной СЛАУ привести ее решение к решению эквивалентной СЛАУ, в которой это условие выполняется.
Пример 4. Преобразуем систему уравнений
к виду, который позволил бы использовать при ее решении метод Якоби.
Эту систему мы уже рассматривали в примере 3, поэтому перейдем от нее к полученной там “промежуточной” системе уравнений. Легко установить, что у нее условие доминирования диагонали выполняется, поэтому преобразуем ее к виду, необходимому для применения метода Якоби. Получим
Из нее получаем формулу для выполнения вычислений по методу Якоби для заданной СЛАУ
Взяв за начальное, т.е. нулевое, приближение вектор свободных членов выполним все необходимые вычисления. Результаты сведем в таблицу
| m | D |
||||
Довольно высокая точность полученного решения достигнута за шесть итераций.
Метод Гаусса-Зейделя является усовершенствованием метода Якоби и также предполагает, что все диагональные элементы матрицы A исходной системы (2.2) не равны нулю. Тогда исходную систему можно переписать в виде аналогичном методу Якоби, но несколько отличном от него
Здесь важно помнить, что если в знаке суммирования верхний индекс меньше нижнего, то никакого суммирования не производится.
Идея метода Гаусса-Зейделя заключается в том, что авторы метода усмотрели возможность ускорить процесс вычислений по отношению к методу Якоби за счет того, что в процессе очередной итерации найдя новое значение x 1 можно сразу же использовать это новое значение в этой же итерации для вычисления остальных переменных. Аналогично этому, дальше, найдя новое значение x 2 можно его также сразу использовать в этой же итерации и т.д.
Исходя из этого, формула итераций для метода Гаусса-Зейделя имеет следующий вид
Достаточным у словием сходимости итерационного процесса метода Гаусса-Зейделя является все то же условие доминирования диагонали (3.9). Скорость сходимости этого метода несколько выше, чем в метода Якоби.
Пример 5. Решим методом Гаусса-Зейделя систему уравнений
Эту систему мы уже рассматривали в примерах 3 и 4, поэтому сразу перейдем от нее к преобразованой системе уравнений (см. пример 4), в которой условие доминирования диагонали выполняется. Из нее получаем формулу для выполнения вычислений по методу Гаусса-Зейделя
Взяв за начальное (т.е. нулевое) приближение вектор свободных членов, выполним все необходимые вычисления. Результаты сведем в таблицу
| m | ||||
Довольно высокая точность полученного решения достигнута за пять итераций.
ВВЕДЕНИЕ
1.РЕШЕНИЕ СЛАУ МЕТОДОМ ПРОСТОЙ ИТЕРАЦИИ
1.1 Описание метода решения
1.2 Исходные данные
1.3 Алгоритм
1.4 Программа на языке QBasic
1.5 Результат работы программы
1.6 Проверка результата работы программы
2. УТОЧНЕНИЕ КОРНЯ МЕТОДОМ КАСАТЕЛЬНЫХ
2.1 Описание метода решения
2.2 Исходные данные
2.3 Алгоритм
2.4 Программа на языке QBasic
2.5 Результат работы программы
2.6 Проверка результата работы программы
3.ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ПРАВИЛУ ПРЯМОУГОЛЬНИКА
3.1 Описание метода решения
3.2 Исходные данные
3.3 Алгоритм
3.4 Программа на языке QBasic
3.5 Проверка результата работы программы
4.1 Общие сведения о программе
4.1.1 Назначение и отличительные особенности
4.1.2 Ограничения WinRAR
4.1.3 Системные требования WinRAR
4.2 Интерфейс WinRAR
4.3 Режимы управления файлами и архивами
4.4 Использование контекстных меню
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
ВВЕДЕНИЕ
Целью данной курсовой работы является разработка алгоритмов и программ для решения системы линейных алгебраических уравнений с помощью метода Гаусса; нелинейного уравнения с помощью метода хорд; для численного интегрирования по правилу трапеций.
Алгебраическими уравнениями называют уравнения, содержащие только алгебраические функции (целые, рациональные, иррациональные). В частности, многочлен является целой алгебраической функцией. Уравнения, содержащие другие функции (тригонометрические, показательные, логарифмические и другие) называются трансцендентными.
Способы решения систем линейных алгебраических уравнений делятся на две группы:
· точные методы, представляющие собой конечные алгоритмы для вычисления корней системы (решение систем с помощью обратной матрицы, правило Крамера, метод Гаусса и др.),
· итерационные методы, позволяющие получить решение системы с заданной точностью путем сходящихся итерационных процессов (метод итерации, метод Зейделя и др.).
Вследствие неизбежных округлений результаты даже точных методов являются приближенными. При использовании итерационных методов, сверх того, добавляется погрешность метода.
Решение систем линейных алгебраических уравнений – одна из основных задач вычислительной линейной алгебры. Хотя задача решения системы линейных уравнений сравнительно редко представляет самостоятельный интерес для приложений, от умения эффективно решать такие системы часто зависит сама возможность математического моделирования самых разнообразных процессов с применением ЭВМ. Значительная часть численных методов решения различных (в особенности – нелинейных) задач включает в себя решение систем линейных уравнений как элементарный шаг соответствующего алгоритма.
Для того чтобы система линейных алгебраических уравнений имела решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы был равен рангу расширенной матрицы. Если ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы и равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение. Если ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы, но меньший числа неизвестных, то система имеет бесконечное число решений.
Одним из самых распространенных методов решения систем линейных уравнений является метод Гаусса. Этот метод известен в различных вариантах уже более 2000 лет. Метод Гаусса - классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.
Строго говоря, описываемый выше метод правильно называть методом "Гаусса-Жордана" (Gauss-Jordan elimination), поскольку он является вариацией метода Гаусса, описанной геодезистом Вильгельмом Жорданом в 1887 г.). Также интересно заметить, что одновременно с Жорданом (а по некоторым данным даже раньше него) этот алгоритм придумал Класен (B.-I. Clasen).
Под нелинейными уравнениями понимаются алгебраические и трансцендентные уравнения вида , где х - действительное число, а – нелинейная функция. Для решения этих уравнений применяется метод хорд – итерационный численный метод приближенного нахождения корней. Как известно, многие уравнения и системы уравнений не имеют аналитических решений. В первую очередь это относится к большинству трансцендентных уравнений. Доказано также, что нельзя построить формулу, по которой можно было бы решить произвольное алгебраическое уравнение степени выше четвертой. Кроме того, в некоторых случаях уравнение содержит коэффициенты, известные лишь приблизительно, и, следовательно, сама задача о точном определении корней уравнения теряет смысл. Для их решения используются итерационные методы с заданной степенью точности. Решить уравнение итерационным методом значит установить, имеет ли оно корни, сколько корней и найти значения корней с нужной точностью.
Задача нахождения корня уравнения f(x) = 0 итерационным методом состоит из двух этапов:
· отделение корней - отыскание приближенного значения корня или содержащего его отрезка;
· уточнение приближенных корней - доведение их до заданной степени точности.
Определенным интегралом функции f(x), взятом в интервале от a
до b
, называется предел, к которому стремится интегральная сумма при стремлении всех промежутков ∆x i к нулю. Согласно правилу трапеций, необходимо заменить график функции F(x) прямой, проходящей через две точки (х 0 ,у 0) и (х 0 +h,у 1), и вычислить значение элемента интегральной суммы как площадь трапеции: 
.
РЕШЕНИЕ СЛАУ МЕТОДОМ ПРОСТОЙ ИТЕРАЦИИ
1.1 Описание метода постой итерации
Системы алгебраических уравнений (СЛАУ) имеют вид:
или, при записи в матричной форме:
В практике используют два типа методов численного решения СЛАУ – прямые и косвенные. При использовании прямых методов СЛАУ приводится к одной из специальных форм (диагональной, треугольной) позволяющих точно получить искомое решение (если таковое существует). Наиболее распространенным прямым методом решения СЛАУ является метод Гаусса. Итерационные методы служат для поиска приближенного решения СЛАУ с заданной точностью. Следует отметить, что итерационный процесс не всегда сходится к решению системы, а только тогда, когда последовательность получаемых при расчетах приближений стремиться к точному решению. При решении СЛАУ методом простой итерации ее преобразуют к виду, когда в левой части находится только одна из искомых переменных:
Задав некоторые исходные приближения xi, i=1,2,…,n , подставляют их в правую часть выражений и вычисляют новые значения x . Процесс повторяют до тех пор, пока максимальная из невязок, определяемых по выражению:
не станет меньше заданной точности ε. Если максимальная невязка при k -ой итерации окажется больше максимальной невязки при k-1 -ой итерации, то процесс аварийно завершают, т.к. итерационный процесс расходится. Для минимизации количества итераций новые значения x можно вычислять с использованием значением невязок на предыдущей итерации.
