34 - juft son. Juft va toq raqamlar

Butun son 2 ga bo'linadigan bo'lsa ham deyiladi; aks holda u g'alati deyiladi. Shunday qilib, raqamlar juft

va toq raqamlar -

Juft sonlarning ikkiga bo'linishidan kelib chiqadiki, har bir juft sonni ko'rinishda yozish mumkin, bu erda belgi ixtiyoriy butun sonni bildiradi. Agar biron bir belgi (bizning holatimizda harf kabi) ba'zi bir belgilangan ob'ektlar to'plamining har qanday elementini (bizning holatlarimizda butun sonlar to'plamini) ifodalashi mumkin bo'lsa, biz ushbu belgining diapazoni belgilangan ob'ektlar to'plami deb aytamiz. Shunga ko'ra, ko'rib chiqilayotgan holatda biz aytamizki, har bir juft son shaklda yozilishi mumkin , bu erda belgi diapazoni butun sonlar to'plamiga to'g'ri keladi. Masalan, 18, 34, 12 va -62 juft raqamlari mos ravishda 9, 17, 6 va -31 ga teng. Xatni ishlatish uchun alohida sabab yo'q. Juft sonlar teng ko‘rinishdagi butun sonlar deyish o‘rniga, juft sonlar yoki yoki ko‘rinishda ekanligini aytish mumkin.

Ikki juft son qo'shilsa, natija ham juft son bo'ladi. Ushbu holat quyidagi misollar bilan ko'rsatilgan:

Biroq, juft sonlar to'plami qo'shish ostida yopiq degan umumiy fikrni isbotlash uchun bir qator misollar etarli emas. Bunday dalil berish uchun bir juft sonni , ikkinchisini esa bilan belgilaymiz. Ushbu raqamlarni qo'shib, biz yozishimiz mumkin

Miqdor shaklda yoziladi. Bundan 2 ga bo'linishini ko'rishimiz mumkin.Yozishning o'zi kifoya qilmaydi

chunki oxirgi ifoda juft son va bir xil sonning yig'indisidir. Boshqacha qilib aytganda, biz ikki marta juft son yana juft son ekanligini (aslida hatto 4 ga bo'linishini) isbotlaymiz, shu bilan birga har qanday ikkita juft sonning yig'indisi juft son ekanligini isbotlashimiz kerak. Shuning uchun, biz bu raqamlar har xil bo'lishi mumkinligini ko'rsatish uchun bir juft son uchun va boshqa juft son uchun yozuvdan foydalandik.

Har qanday toq sonni qanday yozuv bilan yozish mumkin? E'tibor bering, toq sondan 1 ni ayirish natijasida juft son bo'ladi. Shu sababli, har qanday toq raqam shaklda yozilganligi haqida bahslashish mumkin. Xuddi shunday, biz toq songa 1 ni qo‘shish juft sonni hosil qilishini payqashimiz mumkin va bundan xulosa qilishimiz mumkinki, har qanday toq son quyidagicha yoziladi.

Xuddi shunday, biz har qanday toq raqamni yoki yoki hokazo shaklida yozilishini aytishimiz mumkin.

Har bir toq son bu formulaga butun sonlarni qo'yish shaklida yoziladi, deyish mumkinmi?

biz quyidagi raqamlar to'plamini olamiz:

Bu raqamlarning har biri toq, lekin ular barcha toq raqamlarni tugatmaydi. Masalan, 5 toq sonini bu tarzda yozib bo'lmaydi. Shunday qilib, shaklning har bir butun soni toq bo'lsa-da, har bir toq son shaklga ega ekanligi to'g'ri emas. Xuddi shunday, har bir juft son k belgisi diapazoni barcha butun sonlar to'plami bo'lgan shaklda yozilishi to'g'ri emas. Misol uchun, 6 biz A deb oladigan har qanday butun songa teng emas. Biroq, shaklning har bir butun soni juftdir.

Ushbu bayonotlar o'rtasidagi munosabat "barcha mushuklar hayvonlar" va "barcha hayvonlar mushuklar" iboralari bilan bir xil. Ularning birinchisi to'g'ri ekanligi aniq, lekin ikkinchisi to'g'ri emas. Bu munosabat “keyin”, “faqat o‘shanda” va “o‘shanda va shundan keyingina” iboralarini o‘z ichiga olgan iboralarni tahlil qilishda ko‘proq muhokama qilinadi (II bobning 3-bandiga qarang).

Mashqlar

Quyidagi fikrlardan qaysi biri to‘g‘ri, qaysi biri noto‘g‘ri? (Belgilar diapazoni barcha butun sonlar to'plami sifatida qabul qilinadi.)

1. Har bir toq sonni quyidagicha ifodalash mumkin

2. a) tipidagi har bir butun son (1-mashqga qarang) toq; b), c), d), e) va f) ko'rinishdagi raqamlar uchun ham xuddi shunday.

3. Har bir juft son kabi ifodalanishi mumkin

4. a) tipidagi har bir butun son (3-mashqga qarang) juft; b), c), d) va e) ko'rinishdagi raqamlar uchun ham xuddi shunday.

Koinotda qarama-qarshi juftliklar mavjud bo'lib, ular uning tuzilishida muhim omil hisoblanadi. Numerologlar juft (1, 3, 5, 7, 9) va toq (2, 4, 6, 8) raqamlarni qarama-qarshilik juftlari sifatida belgilaydigan asosiy xususiyatlar quyidagilardir:

1 - faol, maqsadli, hukmron, qo'pol, etakchi, tashabbuskor 2 - passiv, qabul qiluvchi, zaif, hamdard, bo'ysunuvchi 3 - yorqin, quvnoq, badiiy, muvaffaqiyatli, muvaffaqiyatga oson erishadi 4 - mehnatsevar, zerikarli, tashabbussiz, baxtsiz; mashaqqatli mehnat va tez-tez mag'lub bo'lish 5 - faol, tashabbuskor, asabiy, ishonchsiz, shahvoniy 6 - oddiy, xotirjam, uy-ro'zg'or, yaxshi sozlangan; onalik muhabbati 7 - dunyodan chekinish; tasavvuf, sirlar 8 - dunyo hayoti; moddiy muvaffaqiyat yoki muvaffaqiyatsizlik 9 - intellektual va ma'naviy barkamollik

Toq raqamlar ko'proq ajoyib xususiyatlarga ega. "1" energiyasidan, "3" ning yorqinligi va omadidan, "5" ning sarguzashtli harakatchanligi va ko'p qirraliligidan, "7" ning donoligidan va "9" ning mukammalligidan keyin, juft raqamlar unchalik yorqin ko'rinmaydi. Koinotda 10 ta asosiy qarama-qarshilik juftligi mavjud. Bu juftliklar orasida: juft - toq, bitta - ko'p, o'ng - chap, erkak - ayol, yaxshi - yomon. Bir, o'ng, erkak va yaxshi toq raqamlar bilan bog'liq edi; ko'p, chap, ayol va yovuz - hatto bilan. Toq sonlar ma'lum bir hosil qiluvchi o'rtaga ega, har qanday juft sonda esa o'z ichida lakuna kabi sezuvchi teshik mavjud. Fallik toq sonlarning erkaklik xususiyatlari ularning juft sonlardan kuchliroq ekanligidan kelib chiqadi. Agar juft son ikkiga bo'lingan bo'lsa, o'rtada bo'shlikdan boshqa hech narsa qolmaydi. Toq sonni sindirish oson emas, chunki o'rtada nuqta bor. Agar siz juft va toq raqamlarni birlashtirsangiz, toq raqam g'alaba qozonadi, chunki natija har doim toq bo'ladi. Shuning uchun ham toq sonlar erkaklarga xos, kuchli va qattiq, juft sonlar esa ayollik, passiv va qabul qiluvchi xususiyatlarga ega. Juft sonlarning juft soni to'rtta. Toq raqamlar quyosh, elektr, kislotali va dinamikdir. Ular shartlar; ular biror narsa bilan birlashtirilgan. Juft sonlar oy, magnit, ishqoriy va statikdir. Ular chegirib tashlanadi, ular kamayadi. Ular harakatsiz qoladilar, chunki ular juft juftlik guruhlariga ega (2 va 4; 6 va 8 toq sonlarni guruhlasak, har doim bitta raqam uning juftligisiz qoladi (1 va 3; 5 va 7; 9). Bu ularni dinamik qiladi.

Juft + juft = juft (statik) 2+2=4juft + toq = toq (dinamik) 3+2=5toq + toq = juft (statik) 3+3=6

Ba'zi raqamlar do'stona; boshqalar bir-biriga qarshi. Raqamlar o'rtasidagi munosabatlar ularni boshqaradigan sayyoralar o'rtasidagi munosabatlar bilan belgilanadi ("Raqamlarning mosligi" bo'limidagi tafsilotlar). Ikki do'stona raqam tegsa, ularning hamkorligi unchalik samarali bo'lmaydi. Do'stlar kabi ular dam olishadi - va hech narsa bo'lmaydi. Ammo dushman raqamlar bir xil kombinatsiyada bo'lsa, ular bir-birlarini ehtiyotkor bo'lishga majbur qiladilar va bir-birlarini faol harakatlarga undashadi; shuning uchun bu ikki kishi ko'proq ishlaydi. Bunday holda, dushman raqamlar aslida do'st bo'lib chiqadi va do'stlar haqiqiy dushman bo'lib, taraqqiyotni sekinlashtiradi. Neytral raqamlar faol emas. Ular qo'llab-quvvatlamaydi, faoliyatni keltirib chiqarmaydi yoki bostirmaydi.

Ruhiy numerologiyada juft va toq raqamlar nimani anglatadi. Bu o'rganish uchun juda muhim mavzu! Juft sonlar toq sonlardan tabiatan qanday farq qiladi?

Juft raqamlar

Ma'lumki, juft sonlar ikkiga bo'linadigan sonlardir. Ya'ni 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 va hokazo raqamlar.

Juft sonlar ga nisbatan nimani anglatadi? Ikkiga bo'lishning numerologik mohiyati nimadan iborat? Ammo gap shundaki, ikkitaga bo'linadigan barcha raqamlar ikkitaning ba'zi xususiyatlarini o'z ichiga oladi.

Bu bir nechta ma'noga ega. Birinchidan, bu numerologiyadagi eng "inson" raqam. Ya'ni, 2 raqami insonning zaif tomonlari, kamchiliklari va afzalliklarining butun gamutini aks ettiradi - aniqrog'i, jamiyatda odatda afzallik va kamchiliklar, "to'g'rilik" va "noto'g'rilik" deb hisoblanadigan narsalar.

Va bu "to'g'rilik" va "noto'g'rilik" yorliqlari bizning dunyo haqidagi cheklangan qarashlarimizni aks ettirganligi sababli, ikkitasi numerologiyada eng cheklangan, eng "ahmoq" raqam deb hisoblanish huquqiga ega. Bundan ko'rinib turibdiki, juft sonlar ikkiga bo'linmaydigan toq raqamlarga qaraganda ancha "qattiq" va to'g'ridan-to'g'ri.

Biroq, bu juft raqamlar toq raqamlardan yomonroq degani emas. Ular oddiygina farq qiladi va toq raqamlarga nisbatan inson mavjudligi va ongining boshqa shakllarini aks ettiradi. Hatto ruhiy numerologiyadagi raqamlar ham har doim oddiy, moddiy, "er yuzidagi" mantiq qonunlariga bo'ysunadi. Nega?

Chunki ikkitaning boshqa ma'nosi: standart mantiqiy fikrlash. Va ruhiy numerologiyadagi barcha juft raqamlar, u yoki bu tarzda, haqiqatni idrok etish uchun ma'lum mantiqiy qoidalarga bo'ysunadi.

Oddiy misol: agar tosh otilgan bo'lsa, u ma'lum bir balandlikka erishgandan so'ng, erga yuguradi. Juft sonlar shunday "o'ylaydi". Toq raqamlar esa toshning kosmosga uchib ketishini osonlik bilan ko'rsatishi mumkin; yoki u uddasidan chiqmaydi, lekin havoda biror joyga yopishib qoladi ... uzoq vaqt, asrlar davomida. Yoki u shunchaki eriydi! Gipoteza qanchalik mantiqsiz bo'lsa, u toq raqamlarga shunchalik yaqinroq bo'ladi.

Toq raqamlar

Toq sonlar ikkiga boʻlinmaydigan sonlardir: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21 va boshqalar. Ruhiy numerologiya nuqtai nazaridan, toq raqamlar moddiy emas, balki ruhiy mantiqqa bo'ysunadi.

Aytgancha, bu o'ylashga o'rnak beradi: nega tirik odam uchun guldastadagi gullar soni g'alati, lekin o'lik odam uchun ham... Bu moddiy mantiq ("ha-yo'q" doirasidagi mantiq) tufaylimi? ) inson ruhiga nisbatan o'likmi?

Moddiy mantiq va ma'naviy mantiqning ko'rinadigan tasodiflari juda tez-tez sodir bo'ladi. Lekin bu sizni aldashiga yo'l qo'ymang. Ruhning mantig'i, ya'ni toq sonlar mantig'ini inson mavjudligi va ongining tashqi, jismoniy darajalarida hech qachon to'liq kuzatib bo'lmaydi.

Masalan, sevgi sonini olaylik. Biz har qadamda sevgi haqida gapiramiz. Biz buni tan olamiz, orzu qilamiz, hayotimizni va boshqalarning hayotini u bilan bezatamiz.

Ammo biz sevgi haqida nimani bilamiz? Koinotning barcha sohalariga singib ketgan bu butun sevgi haqida. Issiqlikdek sovuq, mehrdek nafrat borligiga rozi bo‘lib, qabul qila olamizmi?! Ishqning eng oliy, ijodiy mohiyatini aynan mana shu paradokslar tashkil etishini anglay olamizmi?!

Paradoksallik toq sonlarning asosiy xususiyatlaridan biridir. IN toq sonlarning talqini biz tushunishimiz kerak: insonga ko'rinadigan narsa har doim ham mavjud emas. Ammo shu bilan birga, agar biror narsa kimgadir tuyulsa, u allaqachon mavjud. Mavjudlikning turli darajalari bor va illyuziya ulardan biri...

Aytgancha, aqlning etukligi paradokslarni idrok etish qobiliyati bilan tavsiflanadi. Shuning uchun, toq raqamlarni tushuntirish uchun, juft raqamlarni tushuntirishdan ko'ra, bir oz ko'proq aql kerak.

Numerologiyada juft va toq raqamlar

Keling, xulosa qilaylik. Juft sonlar va toq sonlar o'rtasidagi asosiy farq nima?

Juft raqamlarni bashorat qilish mumkin (10-raqamdan tashqari), qat'iy va izchil. Juft raqamlar bilan bog'liq hodisalar va odamlar yanada barqaror va tushunarli. Tashqi o'zgarishlar uchun juda mavjud, lekin faqat tashqi o'zgarishlar uchun! Ichki o'zgarishlar - bu toq sonlar maydoni ...

Toq raqamlar eksantrik, erkinlikni sevuvchi, beqaror, oldindan aytib bo'lmaydi. Ular har doim kutilmagan hodisalar keltiradi. Siz qandaydir g'alati raqamning ma'nosini bilganga o'xshaysiz, lekin u, bu raqam, birdan o'zini shunday tuta boshlaydiki, bu sizni deyarli butun hayotingizni qayta ko'rib chiqishga majbur qiladi ...

Diqqat qilish!

Mening "Ruhiy numerologiya" nomli kitobim allaqachon do'konlarga etib kelgan. Raqamlar tili." Bugungi kunda bu raqamlarning ma'nosi bo'yicha mavjud bo'lgan barcha ezoterik qo'llanmalarning eng to'liq va mashhuridir. Bu haqda batafsil,Shuningdek, kitobga buyurtma berish uchun quyidagi havolaga o‘ting: « «

———————————————————————————————

• Toq raqam- bu butun son baham ko'rilmagan qoldiqsiz: …, −3, −1, 1, 3, 5, 7, 9, …

Agar m juft bo'lsa, u holda shaklda ifodalanishi mumkin $m\; =\; 2k$, va agar g'alati bo'lsa, u holda shaklda $m\; =\; 2\; k\; +\; 1$, Qayerda $k\; \backslash in\; \backslash mathbb\; Z$.

Tarix va madaniyat

Raqamlar pariteti tushunchasi qadim zamonlardan beri ma'lum bo'lib, ko'pincha mistik ma'noga ega. Xitoy kosmologiyasi va tabiat falsafasida juft raqamlar "yin" tushunchasiga, toq raqamlar esa "yang" ga mos keladi.

Turli mamlakatlarda berilgan gullar soni bilan bog'liq an'analar mavjud. Masalan, AQSh, Evropa va ba'zi sharqiy mamlakatlarda berilgan gullarning teng soni baxt keltiradi, deb ishoniladi. Rossiya va MDH mamlakatlarida faqat o'liklarning dafn marosimiga teng miqdordagi gullarni olib kelish odat tusiga kiradi. Biroq, guldastada gullar ko'p bo'lgan hollarda (odatda ko'proq), ularning sonining tengligi yoki to'qligi endi hech qanday rol o'ynamaydi. Misol uchun, bir ayolga 12, 14, 16 va hokazo gullar yoki ko'plab kurtaklari bo'lgan buta gulining bo'limlarini berish juda maqbuldir, ularda, qoida tariqasida, hisoblab bo'lmaydi. Bu, ayniqsa, boshqa holatlarda berilgan ko'proq gullar (kesilgan) uchun to'g'ri keladi.

Amaliyot

O'quv jarayonining murakkab jadvallari bo'lgan oliy ta'lim muassasalarida juft va toq haftalar qo'llaniladi. Ushbu haftalar ichida mashg'ulotlar jadvali va ba'zi hollarda ularning boshlanish va tugash vaqtlari farqlanadi. Ushbu amaliyot yukni sinflar, o'quv binolari bo'ylab teng taqsimlash va sinf yuki past bo'lgan fanlar bo'yicha darslarning ritmini ta'minlash uchun qo'llaniladi (har 2 haftada bir marta).

Poyezdlar jadvalida harakat yo‘nalishiga qarab (to‘g‘ridan-to‘g‘ri yoki teskari) juft va toq poyezd raqamlari qo‘llaniladi. Shunga ko'ra, juft/toq poezd har bir stantsiya orqali o'tadigan yo'nalishni ko'rsatadi.

Oyning juft va toq kunlari ba'zan har kuni tashkil qilinadigan poezdlar jadvali bilan bog'liq.

“Juft va toq sonlar” maqolasiga sharh yozing.

Eslatmalar

Havolalar

• OEISda A005408 ketma-ketligi: toq raqamlar
• OEISda A005843 ketma-ketligi: juft raqamlar
• OEISda A179082 ketma-ketligi: o'nlik yozuvda raqamlar yig'indisi juft bo'lgan juft raqamlar

Juft va toq sonlarni tavsiflovchi parcha

- Demak, - dedi knyaz Andrey Alpatichga o'girilib, - men aytganimdek hammasini ayt. - Va uning yonida jim bo'lib qolgan Berg javob bermay, otini boshlab, xiyobonga otlandi.

Qo'shinlar Smolenskdan chekinishni davom ettirdilar. Dushman ularga ergashdi. 10 avgust kuni knyaz Andrey boshchiligidagi polk katta yo'l bo'ylab, Taqir tog'larga olib boruvchi xiyobondan o'tdi. Issiqlik va qurg'oqchilik uch haftadan ko'proq davom etdi. Har kuni jingalak bulutlar osmon bo'ylab yurib, vaqti-vaqti bilan quyoshni to'sib qo'yishdi; lekin kechqurun u yana tozalandi va quyosh jigarrang-qizil tumanga botdi. Faqat tunda kuchli shudring er yuzini yangiladi. Ildizda qolgan non yonib, to‘kilib ketdi. Botqoqlar quruq. Chorvalar oftobda kuygan o‘tloqlarda ovqat topolmay, ochlikdan bo‘kirishdi. Faqat tunda va o'rmonlarda hali ham shudring bor edi va salqinlik bor edi. Ammo yo'l bo'ylab, qo'shinlar yurgan katta yo'l bo'ylab, hatto tunda, hatto o'rmonlar bo'ylab ham, bunday salqinlik yo'q edi. Arshinning to‘rtdan bir qismidan ko‘proq surilgan yo‘lning qumli changida shudring sezilmadi. Tong otishi bilanoq harakat boshlandi. Konvoylar va artilleriya markaz bo'ylab jimgina yurishdi va piyodalar bir kechada sovib ketmagan yumshoq, to'ldirilgan, issiq changda to'pig'igacha edi. Ushbu qum changining bir qismi oyoq va g'ildiraklar bilan yoğurulur, ikkinchisi ko'tarilib, qo'shin tepasida bulut bo'lib turdi va shu bo'ylab harakatlanayotgan odamlar va hayvonlarning ko'zlari, sochlari, quloqlari, burun teshigiga va eng muhimi o'pkasiga yopishdi. yo'l. Quyosh qanchalik baland ko'tarilgan bo'lsa, chang buluti shunchalik baland ko'tarildi va bu nozik, issiq chang orqali bulutlar qoplanmagan quyoshga oddiy ko'z bilan qarash mumkin edi. Quyosh katta qip-qizil shardek paydo bo'ldi. Shamol yo'q edi, odamlar bu sokin atmosferada bo'g'ilib ketishdi. Odamlar burun va og'izlariga sharf bog'lab yurishgan. Qishloqqa kelib, hamma quduqlarga yugurdi. Ular suv uchun urushib, iflos bo'lguncha ichishdi.
Knyaz Andrey polkni boshqargan va polkning tuzilishi, uning xalqining farovonligi, buyruqlarni qabul qilish va berish zarurati uni egallagan. Smolensk olovi va uning tark etilishi knyaz Andrey uchun davr edi. Dushmanga qarshi yangi achchiq tuyg'u unga qayg'usini unutdi. U o'z polkining ishlariga to'liq sodiq edi, u o'z xalqi va zobitlari haqida qayg'urar, ularga mehr qo'yar edi. Polkda uni shahzodamiz deb atashgan, u bilan faxrlanishgan va sevishgan. Ammo u faqat polk askarlari bilan, Timoxin va boshqalar bilan, butunlay yangi odamlar va begona muhitda, uning o'tmishini bilmaydigan va tushuna olmaydigan odamlar bilan mehribon va yumshoq edi; lekin u o'zining avvalgilaridan biriga duch kelishi bilanoq, tayog'idan, u darhol yana tuklar qildi; u g'azablangan, masxara va nafratlangan bo'lib qoldi. Uning xotirasini o'tmish bilan bog'laydigan hamma narsa uni qaytardi va shuning uchun u bu sobiq dunyo munosabatlarida faqat adolatsiz bo'lmaslikka va o'z burchini bajarishga harakat qildi.
To'g'ri, knyaz Andreyga hamma narsa qorong'u, ma'yus nurda tuyuldi - ayniqsa ular Smolenskni tark etgandan keyin (uning tushunchalariga ko'ra, himoya qilinishi mumkin edi va kerak edi) 6 avgust kuni va otasi kasal bo'lib, Moskvaga qochishga majbur bo'lganidan keyin. va u tomonidan qurilgan va yashaydigan juda suyukli Taqir tog'larni talon-taroj qilish uchun tashlang; ammo, shunga qaramay, polk tufayli knyaz Andrey umumiy masalalardan mutlaqo mustaqil bo'lgan boshqa mavzu - o'z polki haqida o'ylashi mumkin edi. 10 avgust kuni uning polki joylashgan kolonna Bald tog'lariga etib bordi. Knyaz Andrey ikki kun oldin otasi, o'g'li va singlisi Moskvaga jo'nab ketgani haqida xabar oldi. Knyaz Andreyning Bald tog'larida hech qanday ishi bo'lmasa-da, u qayg'usini engillashtirish uchun o'ziga xos istagi bilan Taqir tog'larida to'xtashga qaror qildi.
U otni egarlashni buyurdi va o'tish joyidan o'zi tug'ilgan va bolaligi o'tgan otasining qishlog'iga ot minib ketdi. Knyaz Andrey o'nlab ayollar doimo gaplashadigan, roliklarni urib, kirlarini yuvadigan hovuz yonidan o'tib ketayotganda, knyaz Andrey hovuzda hech kim yo'qligini va yarim suv bilan to'ldirilgan yirtilgan sal suvning o'rtasida yonboshlab suzib yurganini payqadi. hovuz. Knyaz Andrey mashinada darvoza tomon yo'l oldi. Kirish tosh darvozasida hech kim yo'q edi, eshik qulfi ochiq edi. Bog 'yo'llari allaqachon o'sib chiqqan, buzoqlar va otlar ingliz bog'ida aylanib yurgan. Knyaz Andrey issiqxonaga bordi; shisha singan, vannalardagi ba'zi daraxtlar qulab tushgan, ba'zilari qurib qolgan. U bog'bon Tarasni chaqirdi. Hech kim javob bermadi. Issiqxonani aylanib, ko‘rgazmaga borar ekan, u yog‘och o‘ymakor panjaraning hammasi singanini, shoxlaridan olxo‘ri mevalari uzilib ketganini ko‘rdi. Bir chol (Knyaz Andrey uni bolaligida darvoza oldida ko'rgan) yashil skameykada o'tirdi va oyoq kiyimlarini to'qdi.
U kar edi va knyaz Andreyning kirishini eshitmadi. U keksa shahzoda o'tirishni yaxshi ko'radigan skameykada o'tirgan va uning yonida singan va quritilgan magnoliya shoxlariga tayoq osilgan edi.
Knyaz Andrey uyga bordi. Qadimgi bog'dagi bir nechta jo'ka daraxtlari kesilgan edi, uyning oldidan atirgul daraxtlari orasidan bir qulochli ot yurardi. Uy panjurlar bilan o'ralgan edi. Pastki qavatda bitta deraza ochiq edi. Hovli bolasi knyaz Andreyni ko'rib, uyga yugurdi.
Alpatich oilasini jo'natib, Taqir tog'larida yolg'iz qoldi; u uyda o'tirdi va Hayotlarni o'qidi. Knyaz Andreyning kelishi haqida bilib, u burnida ko'zoynak bilan tugmachani bog'lab, uydan chiqib ketdi, shosha-pisha shahzodaga yaqinlashdi va hech narsa demasdan knyaz Andreyni tizzasidan o'pib yig'lay boshladi.

Matematika masalalarini (ham elementar, ham juda "ilg'or") yechishda tenglik (g'alatilik)ni hisobga olish ko'pincha qo'llaniladi. Ushbu maqolada bunday muammolarni hal qilish usullari muhokama qilinadi.

Biz eng oddiy misollardan boshlaymiz va yakuniy qismda biz bir nechta "olimpiada" vazifalarini ko'rib chiqamiz, bunda paritetni hisobga olish bizga yordam beradi.

Juft va toq raqamlar. Dastlabki ma'lumotlar

Ushbu maqolada biz asosan natural yoki butun sonlarni ko'rib chiqamiz. Sizga shuni eslatib o'tamanki, raqam 2 ga bo'linsa ham chaqiriladi. Boshqacha qilib aytganda, har qanday juft son n ni n = 2k ko'rinishida ifodalash mumkin, bu erda k butun son, har qanday toq son esa n = 2k ko'rinishida ifodalanishi mumkin. + 1 (yoki n = 2k - 1). Nol, albatta, juft son hisoblanadi.

1-misol. 34 va 171 raqamlarini 2k yoki 2k + 1 shaklida ifodalang, bu erda k butun sondir.

34 = 2 17 (34 - juft son); 171 = 2 85 + 1 (171 - toq raqam).

Vazifa 1. 68, 133, -2246 va -8977 raqamlarini 2k yoki 2k+1 shaklida yozing, bu erda k butun son.

Vazifa 2. 18 raqamini quyidagicha tasavvur qiling: a) ikkita juft sonning yig'indisi, b) ikkita toq sonning yig'indisi. Juft va toq sonlarni qo'shib 18 ni olish mumkinmi?

Vazifa 3. 24 sonni quyidagicha tasavvur qiling: a) ikkita juft sonning ko‘paytmasi, b) juft va toq sonning ko‘paytmasi. Ikki toq sonni ko'paytirish orqali 24 ni olish mumkinmi?

Juft (toq) sonlarning yig‘indisi, ko‘paytmasi, qismi

Bayonot 1. Ikki juft sonning yig'indisi juft sondir.

Isbot. m va n sonlari juft bo‘lsin. r = m + n soni ham juft ekanligini isbotlaylik. m=2k, n=2p, bu yerda k va p butun sonlar. Keyin r = m + n = 2k + 2p = 2(k + p) = 2s. Agar k va p sonlar butun son bo'lsa, ularning yig'indisi s ham butun son bo'ladi. Biz r sonini ikkita va butun sonning ko'paytmasi sifatida tasvirlash mumkinligini isbotladik. Dalil to'liq.

Bayonot 2. Ikki toq sonning yig'indisi juft sondir. O'zingiz isbotlang.

Bayonot 3. Juft va toq sonning yig‘indisi toq sondir. O'zingiz isbotlang.

Bayonot 4. Ikki toq sonning ko'paytmasi toq sondir.

Isbot. m va n raqamlari toq bo'lsin. r = m n soni ham toq ekanligini isbotlaylik.
m = 2k + 1, n = 2p + 1, bu erda k va p butun sonlardir.
Keyin r = m n = (2k+1) (2p+1) = 4kp + 2k + 2p + 1 = 2(2kp + k + p) + 1 = 2s + 1.

Agar k va p sonlar butun son bo'lsa, u holda s = 2kp + k + p soni ham butun sondir.
Biz r raqamini r = 2s + 1 shaklida ifodalash mumkinligini va shuning uchun toq ekanligini isbotladik. Va hokazo.

Bayonot 5. Ikki juft sonning ko‘paytmasi juft sondir. O'zingiz isbotlang.

Bayonot 6. Juft va toq sonning ko‘paytmasi juft sondir. O'zingiz isbotlang.

Agar juft sonni juft songa bo'lsak (nolga teng emas) nima bo'ladi? Biz nimani olamiz: juft yoki toq? Tabiiyki, aniq javob berish mumkin emas. Masalan, 12 ni 4 ga bo'lganda toq natijaga erishamiz, 32 ni 4 ga bo'lganda esa juft natijaga erishamiz.

Agar siz allaqachon zeriksangiz, maqolaning 2-qismiga o'ting. Keyin har doim qaytib kelishingiz mumkin. Agar ushbu nazariy konstruktsiyalarning barchasi sizni juda zeriktirmasa, davom etaylik.

Nima uchun, aslida, biz faqat ikkita raqamni ko'rib chiqamiz? Keling, kattaroq o'ylaylik!

Bayonot 7. Har qanday juft sonlarning yig'indisi juftdir.

Isbot. M 1, M 2, ..., M N sonlar juft bo‘lsin, u holda ularni 2K 1, 2K 2, ..., 2K N ko‘rinishida ifodalash mumkin, bunda K 1, K 2, ..., K N butun sonlar. .

Keyin: M 1 + M 2 + ... + M N = 2K 1 + 2K 2 + ... + 2K N = 2 (K 1 + K 2 + ... + K N) = 2S, bu erda S - butun son. Paritet isbotlangan.

Bayonot 8. Toq sonlarning juft sonining yig'indisi juftdir. Toq sonlar yig'indisi toqdir. O'zingiz isbotlang.

Bayonot 9. Mahsulot faqat uning barcha omillari toq bo'lsa, g'alati bo'lishi mumkin. O'zingiz isbotlang.

Shunday qilib, 2+4+6+...+1022+1024 yig‘indisi juft bo‘ladi, chunki barcha hadlar juftdir. 1+3+5+7+9 yig'indisi toq, chunki u 5 ta toq haddan iborat. 2*3*4*...*1001*1002 mahsuloti hatto birinchi omil juft bo'lganligi sababli ham.

Vazifa 4. Quyidagi ifodalar juft yoki toq bo‘ladi: a) 2+12+22+...+1002+1012+1022, b) 1+11+111+...+111111+1111111, c) 3*13*23 *..*10003*10013*10023, d) 2*3*4*...*12357891 ?

Vazifa 5. 1 000 000 dan oshmaydigan barcha tub sonlarning ko‘paytmasi juft ekanligini isbotlang. Har biri 100 dan katta bo‘lgan tub sonlarning istalgan sonining ko‘paytmasi toq ekanligini isbotlang. Eslatib o‘taman, natural son faqat o‘ziga va 1 ga bo‘linadigan bo‘lsa tub son deyiladi.

Va yana summa va mahsulot haqida

2-misol. Yosh matematik Petya ikkita butun sonning yig'indisini va ularning mahsulotini qo'shdi. U 56792 raqamini olganini da'vo qilmoqda. Agar asl raqamlardan kamida bittasi toq ekanligi ma'lum bo'lsa, bu mumkinmi?

Yechim. Dastlabki raqamlarni A va B deb belgilaymiz. Shubhasiz, 4 ta variant mumkin:

• A va B juft sonlar (lekin bu holat masalada hisobga olinmaydi),
• A va B toq sonlar,
• A juft va B toq,
• A toq, B juft.

Aslida, oxirgi ikki holat og'riqsiz birlashtirilishi mumkin edi, ammo biz uchun bu hozir muhim emas. Oldingi paragrafda biz summa va mahsulotning pariteti haqida hamma narsani bilib oldik. Endi jadval tuzamiz. Birinchi ikkita ustunda biz A va B raqamlarining paritetini, 3-ustunda - yig'indining paritetini, 4-ustunda mahsulotning paritetini, 5-da - yakuniy sonning paritetini ko'rsatamiz.

A	B	A+B	AB	(A+B) + AB
H	H	H	H	H
N	N	H	N	N
H	N	N	H	N
N	H	N	H	N

Barcha holatlarda (birinchisidan tashqari) biz olamiz g'alati natija!

Aytgancha, bizning yosh do'stimiz Petyaning ta'kidlashicha, u juft raqamni olgan. Biz bu mumkin emasligini isbotladik. Petya xato qildi.

Vazifa 6. Yosh matematik Masha ikkita butun sonning ko'paytmasini ularning yig'indisiga ko'paytirdi. Uning ta'kidlashicha, raqam 89999719 bo'lib chiqdi. Masha to'g'rimi?

Vazifa 7. Yosh matematik Petyaning ta'kidlashicha, ikkita butun sonni qo'shganda u 927, ko'paytirganda esa 6321 ga erishgan. Bu mumkinmi? Javobingizni tushuntiring.

Maqolaning birinchi qismi o'quvchi uchun juda zerikarli va monoton bo'lib tuyulishi mumkinligini bilaman. Afsuski, bu "zerikarli" asosiy tushunchalarsiz qilish mumkin emas. Va'da qilamanki, bundan keyin bu yanada qiziqarli bo'ladi.