Для консольной балки, нагруженной распределенной нагрузкой интенсивностью кН/м и сосредоточенным моментом кН·м (рис. 3.12), требуется: построить эпюры перерезывающих сил и изгибающих моментов , подобрать балку круглого поперечного сечения при допускаемом нормальном напряжении кН/см2 и проверить прочность балки по касательным напряжениям при допускаемом касательном напряжении кН/см2. Размеры балки м; м; м.
Расчетная схема для задачи на прямой поперечный изгиб
Рис. 3.12
Решение задачи "прямой поперечный изгиб"
Определяем опорные реакции
Горизонтальная реакция в заделке равна нулю, поскольку внешние нагрузки в направлении оси z на балку не действуют.
Выбираем направления остальных реактивных усилий, возникающих в заделке: вертикальную реакцию направим, например, вниз, а момент – по ходу часовой стрелки. Их значения определяем из уравнений статики:
Составляя эти уравнения, считаем момент положительным при вращении против хода часовой стрелки, а проекцию силы положительной, если ее направление совпадает с положительным направлением оси y.
Из первого уравнения находим момент в заделке :
Из второго уравнения – вертикальную реакцию :
Полученные нами положительные значения для момента и вертикальной реакции в заделке свидетельствуют о том, что мы угадали их направления.
В соответствии с характером закрепления и нагружения балки, разбиваем ее длину на два участка. По границам каждого из этих участков наметим четыре поперечных сечения (см. рис. 3.12), в которых мы и будем методом сечений (РОЗУ) вычислять значения перерезывающих сил и изгибающих моментов.
Сечение 1. Отбросим мысленно правую часть балки. Заменим ее действие на оставшуюся левую часть перерезывающей силой и изгибающим моментом . Для удобства вычисления их значений закроем отброшенную нами правую часть балки листком бумаги, совмещая левый край листка с рассматриваемым сечением.
Напомним, что перерезывающая сила, возникающая в любом поперечном сечении, должна уравновесить все внешние силы (активные и реактивные), которые действуют на рассматриваемую (то есть видимую) нами часть балки. Поэтому перерезывающая сила должна быть равна алгебраической сумме всех сил, которые мы видим.
Приведем и правило знаков для перерезывающей силы: внешняя сила, действующая на рассматриваемую часть балки и стремящаяся «повернуть» эту часть относительно сечения по ходу часовой стрелки, вызывает в сечении положительную перерезывающую силу. Такая внешняя сила входит в алгебраическую сумму для определения со знаком «плюс».
В нашем случае мы видим только реакцию опоры , которая вращает видимую нами часть балки относительно первого сечения (относительно края листка бумаги) против хода часовой стрелки. Поэтому
кН.
Изгибающий момент в любом сечении должен уравновесить момент, создаваемый видимыми нами внешними усилиями, относительно рассматриваемого сечения. Следовательно, он равен алгебраической сумме моментов всех усилий, которые действуют на рассматриваемую нами часть балки, относительно рассматриваемого сечения (иными словами, относительно края листка бумаги). При этом внешняя нагрузка, изгибающая рассматриваемую часть балки выпуклостью вниз, вызывает в сечении положительный изгибающий момент. И момент, создаваемый такой нагрузкой, входит в алгебраическую сумму для определения со знаком «плюс».
Мы видим два усилия: реакцию и момент в заделке . Однако у силы плечо относительно сечения 1 равно нулю. Поэтому
кН·м.
Знак «плюс» нами взят потому, что реактивный момент изгибает видимую нами часть балки выпуклостью вниз.
Сечение 2. По-прежнему будем закрывать листком бумаги всю правую часть балки. Теперь, в отличие от первого сечения, у силы появилось плечо: м. Поэтому
кН; кН·м.
Сечение 3. Закрывая правую часть балки, найдем
кН;
Сечение 4. Закроем листком левую часть балки. Тогда
кН·м.
кН·м.
.
По найденным значениям строим эпюры перерезывающих сил (рис. 3.12, б) и изгибающих моментов (рис. 3.12, в).
Под незагруженными участками эпюра перерезывающих сил идет параллельно оси балки, а под распределенной нагрузкой q – по наклонной прямой вверх. Под опорной реакцией на эпюре имеется скачок вниз на величину этой реакции, то есть на 40 кН.
На эпюре изгибающих моментов мы видим излом под опорной реакцией . Угол излома направлен навстречу реакции опоры. Под распределенной нагрузкой q эпюра изменяется по квадратичной параболе, выпуклость которой направлена навстречу нагрузке. В сечении 6 на эпюре – экстремум, поскольку эпюра перерезывающей силы в этом месте проходит здесь через нулевое значение.
Определяем требуемый диаметр поперечного сечения балки
Условие прочности по нормальным напряжениям имеет вид:
,
где – момент сопротивления балки при изгибе. Для балки круглого поперечного сечения он равен:
.
Наибольший по абсолютному значению изгибающий момент возникает в третьем сечении балки: 
кН·см.
Тогда требуемый диаметр балки определяется по формуле
см.
Принимаем мм. Тогда
кН/см2 кН/см2.
«Перенапряжение» составляет
,
что допускается.
Проверяем прочность балки по наибольшим касательным напряжениям
Наибольшие касательные напряжения, возникающие в поперечном сечении балки круглого сечения, вычисляются по формуле
,
где – площадь поперечного сечения.
Согласно эпюре , наибольшее по алгебраической величине значение перерезывающей силы равно 
кН. Тогда
кН/см2 кН/см2,
то есть условие прочности и по касательным напряжениям выполняется, причем, с большим запасом.
Пример решения задачи "прямой поперечный изгиб" №2
Условие примера задачи на прямой поперечный изгиб
Для шарнирно опертой балки, нагруженной распределенной нагрузкой интенсивностью кН/м, сосредоточенной силой кН и сосредоточенным моментом кН·м (рис. 3.13), требуется построить эпюры перерезывающих сил и изгибающих моментов и подобрать балку двутаврового поперечного сечения при допускаемом нормальном напряжении кН/см2 и допускаемом касательном напряжении кН/см2. Пролет балки м.
Пример задачи на прямой изгиб – расчетная схема
 |
Рис. 3.13
Решение примера задачи на прямой изгиб
Определяем опорные реакции
Для заданной шарнирно опертой балки необходимо найти три опорные реакции: , и . Поскольку на балку действуют только вертикальные нагрузки, перпендикулярные к ее оси, горизонтальная реакция неподвижной шарнирной опоры A равна нулю: .
Направления вертикальных реакций и выбираем произвольно. Направим, например, обе вертикальные реакции вверх. Для вычисления их значений составим два уравнения статики:
Напомним, что равнодействующая погонной нагрузки , равномерно распределенной на участке длиной l, равна , то есть равна площади эпюры этой нагрузки и приложена она в центре тяжести этой эпюры, то есть посредине длины.
;
кН.
Делаем проверку: .
Напомним, что силы, направление которых совпадает с положительным направлением оси y, проектируются (проецируются) на эту ось со знаком плюс:
то есть верно.
Строим эпюры перерезывающих сил и изгибающих моментов
Разбиваем длину балки на отдельные участки. Границами этих участков являются точки приложения сосредоточенных усилий (активных и/или реактивных), а также точки, соответствующие началу и окончанию действия распределенной нагрузки. Таких участков в нашей задаче получается три. По границам этих участков наметим шесть поперечных сечений, в которых мы и будем вычислять значения перерезывающих сил и изгибающих моментов (рис. 3.13, а).
Сечение 1. Отбросим мысленно правую часть балки. Для удобства вычисления перерезывающей силы и изгибающего момента , возникающих в этом сечении, закроем отброшенную нами часть балки листком бумаги, совмещая левый край листка бумаги с самим сечением.
Перерезывающая сила в сечении балки равна алгебраической сумме всех внешних сил (активных и реактивных), которые мы видим. В данном случае мы видим реакцию опоры и погонную нагрузку q, распределенную на бесконечно малой длине. Равнодействующая погонной нагрузки равна нулю. Поэтому
кН.
Знак «плюс» взят потому, что сила вращает видимую нами часть балки относительно первого сечения (края листка бумаги) по ходу часовой стрелки.
Изгибающий момент в сечении балки равен алгебраической сумме моментов всех усилий, которые мы видим, относительно рассматриваемого сечения (то есть относительно края листка бумаги). Мы видим реакцию опоры и погонную нагрузку q, распределенную на бесконечно малой длине. Однако у силы плечо равно нулю. Равнодействующая погонной нагрузки также равна нулю. Поэтому
Сечение 2. По-прежнему будем закрывать листком бумаги всю правую часть балки. Теперь мы видим реакцию и нагрузку q, действующую на участке длиной . Равнодействующая погонной нагрузки равна . Она приложена посредине участка длиной . Поэтому
Напомним, что при определении знака изгибающего момента мы мысленно освобождаем видимую нами часть балки от всех фактических опорных закреплений и представляем ее как бы защемленной в рассматриваемом сечении (то есть левый край листка бумаги нами мысленно представляется жесткой заделкой).
Сечение 3. Закроем правую часть. Получим
Сечение 4. Закрываем листком правую часть балки. Тогда
Теперь, для контроля правильности вычислений, закроем листком бумаги левую часть балки. Мы видим сосредоточенную силу P, реакцию правой опоры и погонную нагрузку q, распределенную на бесконечно малой длине. Равнодействующая погонной нагрузки равна нулю. Поэтому
кН·м.
То есть все верно.
Сечение 5. По-прежнему закроем левую часть балки. Будем иметь
кН;
кН·м.
Сечение 6. Опять закроем левую часть балки. Получим
кН;
По найденным значениям строим эпюры перерезывающих сил (рис. 3.13, б) и изгибающих моментов (рис. 3.13, в).
Убеждаемся в том, что под незагруженным участком эпюра перерезывающих сил идет параллельно оси балки, а под распределенной нагрузкой q – по прямой, имеющей наклон вниз. На эпюре имеется три скачка: под реакцией – вверх на 37,5 кН, под реакцией – вверх на 132,5 кН и под силой P – вниз на 50 кН.
На эпюре изгибающих моментов мы видим изломы под сосредоточенной силой P и под опорными реакциями. Углы изломов направлены навстречу этим силам. Под распределенной нагрузкой интенсивностью q эпюра изменяется по квадратичной параболе, выпуклость которой направлена навстречу нагрузке. Под сосредоточенным моментом – скачок на 60 кН ·м, то есть на величину самого момента. В сечении 7 на эпюре – экстремум, поскольку эпюра перерезывающей силы для этого сечения проходит через нулевое значение (). Определим расстояние от сечения 7 до левой опоры.
Деформация изгиба заключается в искривлении оси прямого стержня или в изменении начальной кривизны прямого стержня (рис. 6.1). Ознакомимся с основными понятиями, которые используются при рассмотрении деформации изгиба.
Стержни, работающие на изгиб, называют балками .
Чистым называется изгиб, при котором изгибающий момент является единственным внутренним силовым фактором, возникающем в поперечном сечении балки.
Чаще, в поперечном сечении стержня наряду с изгибающим моментом возникает также и поперечная сила. Такой изгиб называют поперечным.
Плоским (прямым) называют изгиб, когда плоскость действия изгибающего момента в поперечном сечении проходит через одну из главных центральных осей поперечного сечения.
При косом изгибе плоскость действия изгибающего момента пересекает поперечное сечение балки по линии, не совпадающей ни с одной из главных центральных осей поперечного сечения.
Изучение деформации изгиба начнем со случая чистого плоского изгиба.
Нормальные напряжения и деформации при чистом изгибе.
Как уже было сказано, при чистом плоском изгибе в поперечном сечении из шести внутренних силовых факторов не равен нулю только изгибающий момент (рис. 6.1, в):
Опыты, поставленные на эластичных моделях, показывают, что если на поверхность модели нанести сетку линий (рис. 6.1, а), то при чистом изгибе она деформируется следующим образом (рис. 6.1, б):
а) продольные линии искривляются по длине окружности;
б) контуры поперечных сечений остаются плоскими;
в) линии контуров сечений всюду пересекаются с продольными волокнами под прямым углом.
На основании этого можно предположить, что при чистом изгибе поперечные сечения балки остаются плоскими и поворачиваются так, что остаются нормальными к изогнутой оси балки (гипотеза плоских сечений при изгибе).
Рис. 6.1
Замеряя длину продольных линий (рис. 6.1, б), можно обнаружить, что верхние волокна при деформации изгиба балки удлиняются, а нижние укорачиваются. Очевидно, что можно найти такие волокна, длина которых остается неизменной. Совокупность волокон, не меняющих своей длины при изгибе балки, называется нейтральным слоем (н. с.) . Нейтральный слой пересекает поперечное сечение балки по прямой, которая называетсянейтральной линией (н. л.) сечения .
Для вывода формулы, определяющей величину нормальных напряжений, возникающих в поперечном сечении, рассмотрим участок балки в деформированном и не деформированном состоянии (рис. 6.2).
Рис. 6.2
Двумя бесконечно малыми поперечными
сечениями выделим элемент длиной
.
До деформации сечения, ограничивающие
элемент
,
были параллельны между собой (рис. 6.2,
а), а после деформации они несколько
наклонились, образуя угол
.
Длина волокон, лежащих в нейтральном
слое, при изгибе не меняется
.
Обозначим радиус кривизны следа
нейтрального слоя на плоскости чертежа
буквой
.
Определим линейную деформацию
произвольного волокна
,
отстоящего на расстоянии
от нейтрального слоя.
Длина этого волокна после деформации
(длина дуги
)
равна
.
Учитывая, что до деформации все волокна
имели одинаковую длину
,
получим, что абсолютное удлинение
рассматриваемого волокна
Его относительная деформация
Очевидно, что
,
так как длина волокна, лежащего в
нейтральном слое не изменилась. Тогда
после подстановки
получим
(6.2)
Следовательно, относительная продольная деформация пропорциональна расстоянию волокна от нейтральной оси.
Введем предположение, что при изгибе
продольные волокна не надавливают друг
на друга. При таком предположении каждое
волокно деформируется изолировано,
испытывая простое растяжение или сжатие,
при котором
.
С учетом (6.2)
, (6.3)
т. е. нормальные напряжения прямо пропорциональны расстояниям рассматриваемых точек сечения от нейтральной оси.
Подставим зависимость (6.3) в выражение
изгибающего момента
в поперечном сечении (6.1)
.
Вспомним, что интеграл
представляет собой момент инерции
сечения относительно оси
.
(6.4)
Зависимость (6.4) представляет собой
закон Гука при изгибе, поскольку она
связывает деформацию (кривизну
нейтрального слоя
)
с действующим в сечении моментом.
Произведение
носит название жесткости сечения при
изгибе, Н·м 2 .
Подставим (6.4) в (6.3)
(6.5)
Это и есть искомая формула для определения нормальных напряжений при чистом изгибе балки в любой точке ее сечения.
Для того, чтобы установить,
где в поперечном сечении находится
нейтральная линия подставим значение
нормальных напряжений в выражение
продольной силы
и изгибающего момента
Поскольку
,
;
(6.6)
(6.7)
Равенство (6.6) указывает, что ось
– нейтральная ось сечения – проходит
через центр тяжести поперечного сечения.
Равенство (6.7) показывает что
и
- главные центральные оси сечения.
Согласно (6.5) наибольшей величины напряжения достигают в волокнах наиболее удаленных от нейтральной линии
При прямом чистом изгибе бруса в его поперечных сечениях возникают только нормальные напряжения. Когда величина изгибающего момента М в сечении стержня меньше некоторого значения, эпюра, характеризующая распределение нормальных напряжений вдоль оси у поперечного сечения, перпендикулярной нейтральной оси (рис. 11.17, а), имеет вид, показанный на рис. 11.17, б. Наибольшие напряжения при этом равны По мере увеличения изгибающего момента М нормальные напряжения возрастают, пока наибольшие их значения (в волокнах, наиболее удаленных от нейтральной оси) становятся равными пределу текучести (рис. 11.17, в); при этом изгибающий момент равен опасному значению:
При увеличении изгибающего момента сверх опасного значения напряжения, равные пределу текучести возникают не только в волокнах, наиболее удаленных от нейтральной оси, но и в некоторой зоне поперечного сечения (рис. 11.17, г); в этой зоне материал находится в пластическом состоянии. В средней части сечения напряжения меньше предела текучести, т. е. материал в этой части находится еще в упругом состоянии.
При дальнейшем увеличении изгибающего момента пластическая зона распространяется в сторону нейтральной оси, а размеры упругой зоны уменьшаются.
При некотором предельном значении изгибающего момента , соответствующем полному исчерпанию несущей способности сечения стержня на изгиб, упругая зона исчезает, а зона пластического состояния занимает всю площадь поперечного сечения (рис. 11.17, д). При этом в сечении образуется так называемый пластический шарнир (или шарнир текучести).
В отличие от идеального шарнира, который не воспринимает момента, в пластическом шарнире действует постоянный момент Пластический шарнир является односторонним: он исчезает при действии на стержень моментов обратного (по отношению к ) знака или при разгрузке балки.
Для определения величины предельного изгибающего момента выделим в части поперечного сечения балки, расположенной над нейтральной осью, элементарную площадку отстоящую на расстоянии от нейтральной оси, а в части, расположенной под нейтральной осью, - площадку отстоящую на расстоянии от нейтральной оси (рис. 11.17, а).
Элементарная нормальная сила, действующая на площадку в предельном состоянии, равна а ее момент относительно нейтральной оси равен аналогично момент нормальной силы действующей на площадку равен Оба эти момента имеют одинаковые знаки. Величина предельного момента равна моменту всех элементарных сил относительно нейтральной оси:
где - статические моменты соответственно верхней и нижней частей поперечного сечения относительно нейтральной оси .
Сумму называют осевым пластическим моментом сопротивления и обозначают
(10.17)
Следовательно,
(11.17)
Продольная сила в поперечном сечении при изгибе равна нулю, а потому площадь сжатой зоны сечения равняется площади растянутой зоны. Таким образом, нейтральная ось в сечении, совпадающем с пластическим шарниром, делит это поперечное сечение на две равновеликие части. Следовательно, при несимметричном поперечном сечении нейтральная ось не проходит в предельном состоянии через центр тяжести сечения.
Определим по формуле (11.17) величину предельного момента для стержня прямоугольного сечения высотой h и шириной b:
Опасное значение момента при котором эпюра нормальных напряжений имеет вид, изображенный на рис. 11.17, в, для прямоугольного сечения определяется по формуле
Отношение
Для круглого сечения отношение а для двутаврового
Если изгибаемый брус является статически определимым, то после снятия нагрузки, вызвавшей в нем момент изгибающий момент в его поперечном сечении равняется нулю. Несмотря на это, нормальные напряжения в поперечном сечении не исчезают. На эпюру нормальных напряжений в пластической стадии (рис. 11.17, е) накладывается эпюра напряжений в упругой стадии (рис. 11.17, е), аналогичная эпюре, изображенной на рис. 11.17,б, так как при разгрузке (которую можно рассматривать как нагрузку моментом обратного знака) материал ведет себя как упругий.
Изгибающий момент М, соответствующий эпюре напряжений, показанный на рис. 11.17, е, по абсолютной величине равен так как только при этом условии в поперечном сечении бруса от действия момента и М суммарный момент равен нулю. Наибольшее напряжение на эпюре (рис. 11.17, е) определяется из выражения
Суммируя эпюры напряжений, показанные на рис. 11.17, д,е, получаем эпюру, изображенную на рис. 11.17, ж. Эта эпюра характеризует распределение напряжений после снятия нагрузки, вызывавшей момент При такой эпюре изгибающий момент в сечении (а также и продольная сила) равняется нулю.
Изложенная теория изгиба за пределом упругости используется не только в случае чистого изгиба, но и в случае поперечного изгиба, когда в поперечном сечении балки кроме изгибающего момента действует также поперечная сила.
Определим теперь предельное значение силы Р для статически определимой балки, изображенной на рис. 12.17, а. Эпюра изгибающих моментов для этой балки показана на рис. 12.17,б. Наибольший изгибающий момент возникает под грузом где он равен Предельное состояние, соответствующее полному исчерпанию несущей способности балки, достигается тогда, когда в сечении под грузом возникает пластический шарнир, в результате чего балка превращается в механизм (рис. 12.17, в).
При этом изгибающий момент в сечении под грузом равняется
Из условия находим [см. формулу (11.17)]
Теперь вычислим предельную нагрузку для статически неопределимой балки. Рассмотрим в качестве примера два раза статически неопределимую балку постоянного сечения, изображенную на рис. 13.17, а. Левый конец А балки жестко защемлен, а правый конец В закреплен против поворота и вертикального смещения.
Если напряжения в балке не превышают предела пропорциональности, то эпюра изгибающих моментов имеет вид, показанный на рис. 13.17, б. Она построена по результатам расчета балки обычными методами, например с помощью уравнений трех моментов. Наибольший изгибающий момент равный возникает в левом опорном сечении рассматриваемой балки. При значении нагрузки изгибающий момент в этом сечении достигает опасного значения вызывающего появление напряжений, равных пределу текучести, в волокнах балки, наиболее удаленных от нейтральной оси.
Увеличение нагрузки сверх указанной величины приводит к тому, что в левом опорном сечении А изгибающий момент становится равным предельному значению и в этом сечении появляется пластический шарнир. Однако несущая способность балки полностью еще не исчерпывается.
При дальнейшем возрастании нагрузки до некоторого значения пластические шарниры появляются также в сечениях В и С. В результате появления трех шарниров балка, вначале дважды статически неопределимая, становится геометрически изменяемой (превращается в механизм). Такое состояние рассматриваемой балки (когда в ней возникают три пластических шарнира) является предельным и соответствует полному исчерпанию ее несущей способности; дальнейшее увеличение нагрузки Р становится невозможным.
Величину предельной нагрузки можно установить без исследования работы балки в упругой стадии и выяснения последовательности образования пластических шарниров.
Значения изгибающих моментов в сечениях. А, В и С (в которых возникают пластические шарниры) в предельном состоянии равны соответственно и, следовательно, эпюра изгибающих моментов при предельном состоянии балки имеет вид, изображенный на рис. 13.17, в. Эту эпюру можно представить состоящей из двух эпюр: первая из них (рис. 13.17, г) представляет собой прямоугольник с ординатами и вызвана моментами приложенными по концам простой балки, лежащей на двух опорах (рис. 13.17, д); вторая эпюра (рис. 13.17, е) представляет собой треугольник с наибольшей ординатой и вызвана грузом действующим на простую балку (рис. 13.17, ж.
Известно, что сила Р, действующая на простую балку, вызывает в сечении под грузом изгибающий момент где а и - расстояния от груза до концов балки. В рассматриваемом случае (рис.
И, следовательно, момент под грузом
Но этот момент, как показано (рис. 13.17, е), равняется
Аналогичным образом устанавливаются предельные нагрузки для каждого пролета многопролетной статически неопределимой балки. В качестве примера рассмотрим четырежды статически неопределимую балку постоянного сечения, изображенную на рис. 14.17, а.
В предельном состоянии, соответствующем полному исчерпанию несущей способности балки в каждом ее пролете, эпюра изгибающих моментов имеет вид, показанный на рис. 14.17, б. Эту эпюру можно рассматривать состоящей из двух эпюр, построенных в предположении, что каждый пролет представляет собой простую балку, лежащую на двух опорах: одной эпюры (рис. 14.17, в), вызванной моментами действующими в опорных пластических шарнирах, и второй (рис. 14.17, г), вызванной предельными нагрузками, приложенными в пролетах.
Из рис. 14.17, г устанавливаем:
В этих выражениях
Полученное значение предельной нагрузки для каждого пролета балки не зависит от характера и величин нагрузок в остальных пролетах.
Из разобранного примера видно, что расчет статически неопределимой балки по несущей способности оказывается проще, чем расчет по упругой стадии.
Несколько иначе проводится расчет неразрезной балки по несущей способности в тех случаях, когда кроме характера нагрузки в каждом пролете задаются также соотношения между величинами нагрузок в разных пролетах. В этих случаях предельной нагрузкой считается такая, при которой происходит исчерпание несущей способности балки не во всех пролетах, а в одном из ее пролетов.
Предельно допускаемая нагрузка определяется путем деления величин на нормативный коэффициент запаса прочности.
Значительно сложнее определение предельных нагрузок при действии на балку сил, направленных не только сверху вниз, но также и снизу вверх, а также при действии сосредоточенных моментов.
Рассчитывать балку на изгиб
можно несколькими вариантами:
1. Расчет максимальной нагрузки, которую она выдержит
2. Подбор сечения этой балки
3. Расчет по максимальным допустимым напряжениям (для проверки)
Давайте рассмотрим общий принцип подбора сечения балки
на двух опорах загруженной равномерно распределенной нагрузкой или сосредоточенной силой.
Для начала, вам необходимо будет найти точку (сечение), в которой будет максимальный момент. Это зависит от опирания балки или же ее заделки. Снизу приведены эпюры изгибающих моментов для схем, которые встречаются чаще всего.
После нахождения изгибающего момента мы должны найти момент сопротивления Wx этого сечения по формуле приведенной в таблице:
Далее, при делении максимального изгибающего момента на момент сопротивления в данном сечении, мы получаем максимальное напряжение в балке
и это напряжение мы должны сравнить с напряжением, которое вообще сможет выдержать наша балка из заданного материала.
Для пластичных материалов
(сталь, алюминий и т.п.) максимальное напряжение будет равно пределу текучести материала
, а для хрупких
(чугун) – пределу прочности
. Предел текучести и предел прочности мы можем найти по таблицам ниже.
Давайте рассмотрим пару примеров:
1. [i]Вы хотите проверить, выдержит ли вас двутавр №10 (сталь Ст3сп5) длиной 2 метра жестко заделанного в стену, если вы на нем повисните. Ваша масса пусть будет 90 кг.
Для начала нам необходимо выбрать расчетную схему.
На данной схеме видно, что максимальный момент будет в заделке, а поскольку наш двутавр имеет одинаковое сечение по всей длине , то и максимальное напряжение будет в заделке. Давайте найдем его:
P = m * g = 90 * 10 = 900 Н = 0.9 кН
М = P * l = 0.9 кН * 2 м = 1.8 кН*м
По таблице сортамента двутавров находим момент сопротивления двутавра №10.
Он будет равен 39.7 см3. Переведем в кубические метры и получим 0.0000397 м3.
Далее по формуле находим максимальные напряжения, которые у нас возникают в балке.
б = М / W = 1.8 кН/м / 0.0000397 м3 = 45340 кН/м2 = 45.34 МПа
После того, как мы нашли максимальное напряжение, которое возникает в балке, то мы его может сравнить с максимально допустимым напряжением равным пределу текучести стали Ст3сп5 – 245 МПа.
45.34 МПа – верно, значит данный двутавр выдержит массу 90 кг.
2. [i]Поскольку у нас получился доволи-таки большой запас, то решим вторую задачу, в которой найдем максимально возможную массу, которую выдержит все тот же двутавр №10 длиной 2 метра.
Если мы хотим найти максимальную массу, то значения предела текучести и напряжения, которое будет возникать в балке, мы должны приравнять (б=245 Мпа = 245 000 кН*м2).
Изгибом называется вид деформации, при котором искривляется продольная ось бруса. Прямые брусья, работающие на изгиб, называются балками. Прямым изгибом называется изгиб, при котором внешние силы, действующие на балку, лежат в одной плоскости (силовой плоскости), проходящей через продольную ось балки и главную центральную ось инерции поперечного сечения.
Изгиб называется чистым , если в любом поперечном сечении балки возникает только один изгибающий момент.
Изгиб, при котором в поперечном сечении балки одновременно действуют изгибающий момент и поперечная сила, называется поперечным . Линия пересечения силовой плоскости и плоскости поперечного сечения называется силовой линией .
Внутренние силовые факторы при изгибе балки.
При плоском поперечном изгибе в сечениях балки возникают два внутренних силовых фактора: поперечная сила Q и изгибающий момент М. Для их определения используют метод сечений (см. лекцию 1). Поперечная сила Q в сечении балки равна алгебраической сумме проекций на плоскость сечения всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения.
Правило знаков для поперечных сил Q:
Изгибающий момент М в сечении балки равен алгебраической сумме моментов относительно центра тяжести этого сечения всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения.
Правило знаков для изгибающих моментов M:
Дифференциальные зависимости Журавского.
Между интенсивностью q распределенной нагрузки, выражениями для поперечной силы Q и изгибающего момента М установлены дифференциальные зависимости:
На основе этих зависимостей можно выделить следующие общие закономерности эпюр поперечных сил Q и изгибающих моментов М:
Особенности эпюр внутренних силовых факторов при изгибе.
1. На участке балки, где нет распределенной нагрузки, эпюра Q представлена прямой линией , параллельной базе эпюре, а эпюра М - наклонной прямой (рис. а).
2. В сечении, где приложена сосредоточенная сила, на эпюре Q должен быть скачок , равный значению этой силы, а на эпюре М -точка перелома (рис. а).
3. В сечении, где приложен сосредоточенный момент, значение Q не изменяется, а эпюра М имеет скачок , равный значению этого момента, (рис. 26, б).
4. На участке балки с распределенной нагрузкой интенсивности q эпюра Q изменяется по линейному закону, а эпюра М - по параболическому, причем выпуклость параболы направлена навстречу направлению распределенной нагрузки (рис. в, г).
5. Если в пределах характерного участка эпюра Q пересекает базу эпюры, то в сечении, где Q = 0, изгибающий момент имеет экстремальное значение M max или M min (рис. г).
Нормальные напряжения при изгибе.
Определяются по формуле:
Моментом сопротивления сечения изгибу называется величина:
Опасным сечением при изгибе называется поперечное сечение бруса, в котором возникает максимальное нормальное напряжение.
Касательные напряжения при прямом изгибе.
Определяются по формуле Журавского для касательных напряжений при прямом изгибе балки:
где S отс - статический момент поперечной площади отсеченного слоя продольных волокон относительно нейтральной линии.
Расчеты на прочность при изгибе.
1. При проверочном расчете определяется максимальное расчетное напряжение, которое сравнивается с допускаемым напряжением:
2. При проектном расчете подбор сечения бруса производится из условия:
3. При определении допускаемой нагрузки допускаемый изгибающий момент определяется из условия:
Перемещения при изгибе.
Под действием нагрузки при изгибе ось балки искривляется. При этом наблюдается растяжение волокон на выпуклой и сжатие - на вогнутой частях балки. Кроме того, происходит вертикальное перемещение центров тяжести поперечных сечений и их поворот относительно нейтральной оси. Для характеристики деформации при изгибе используют следующие понятия:
Прогиб балки Y - перемещение центра тяжести поперечного сечения балки в направлении, перпендикулярном к ее оси.
Прогиб считают положительным, если перемещение центра тяжести происходит вверх. Величина прогиба меняется по длине балки, т.е. y = y (z)
Угол поворота сечения - угол θ, на который каждое сечение поворачивается по отношению к своему первоначальному положению. Угол поворота считают положительным при повороте сечения против хода часовой стрелки. Величина угла поворота меняется по длине балки, являясь функцией θ = θ (z).
Самыми распространёнными способами определения перемещений является метод Мора и правило Верещагина .
Метод Мора.
Порядок определения перемещений по методу Мора:
1. Строится «вспомогательная система» и нагружается единичной нагрузкой в точке, где требуется определить перемещение. Если определяется линейное перемещение, то в его направлении прикладывается единичная сила, при определении угловых перемещений – единичный момент.
2. Для каждого участка системы записываются выражения изгибающих моментов М f от приложенной нагрузки и М 1 - от единичной нагрузки.
3. По всем участкам системы вычисляют и суммируют интегралы Мора, получая в результате искомое перемещение:
4. Если вычисленное перемещение имеет положительный знак, то это значит, что его направление совпадает с направлением единичной силы. Отрицательный знак указывает на то, что действительное перемещение противоположно направлению единичной силы.
Правило Верещагина.
Для случая, когда эпюра изгибающих моментов от заданной нагрузки имеет произвольное, а от единичной нагрузки – прямолинейное очертание, удобно использовать графоаналитический способ, или правило Верещагина.
где A f – площадь эпюры изгибающего момента М f от заданной нагрузки; y c – ордината эпюры от единичной нагрузки под центром тяжести эпюры М f ; EI x – жесткость сечения участка балки. Вычисления по этой формуле производятся по участкам, на каждом из которых прямолинейная эпюра должна быть без переломов. Величина (A f *y c) считается положительной, если обе эпюры располагаются по одну сторону от балки, отрицательной, если они располагаются по разные стороны. Положительный результат перемножения эпюр означает, что направление перемещения совпадает с направлением единичной силы (или момента). Сложная эпюра М f должна быть разбита на простые фигуры(применяется так называемое "расслоение эпюры"), для каждой из которых легко определить ординату центра тяжести. При этом площадь каждой фигуры умножается на ординату под ее центром тяжести.
