Под словом «проводник» в физике понимается проводящее тело любых размеров и формы, содержащее свободные заряды (электроны или ионы). Для определенности в дальнейшем будем рассматривать металлы.

Если проводнику сообщить некоторый заряд q, то он распределится так, чтобы соблюдалось условие равновесия (т.к. одноименные заряды отталкиваются, они располагаются на поверхности проводника).


1.
Если заряды проводника находятся в равновесии, то равнодействующая всех сил, действующих на каждый заряд, равна нулю:

т.к. а Е=0, то

в любой точке внутри проводника Е=0.

2. Т.к.

во всех точках внутри проводника потенциал постоянен.

3. Т.к. при равновесии заряды не движутся по поверхности проводника, то работа по их перемещению равна нулю:

т.е. поверхность проводника является эквипотенциальной.

4. Т.к. линии вектора перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям, линии перпендикулярны поверхности проводника.

5. Согласно теореме Гаусса

Если S - поверхность заряженного проводника, то внутри нее E=0,

т.е. заряды располагаются на поверхности проводника.

6. Выясним, как связана поверхностная плотность заряда с кривизной поверхности.

Для заряженной сферы

Плотность зарядов определяется кривизной поверхности проводника: растет с увеличением положительной кривизны (выпуклости) и убывает с увеличением отрицательной кривизны (вогнутости). Особенно велика на острие. При этом имеющиеся в воздухе в небольшом количестве ионы обоих знаков и электроны разгоняются вблизи острия сильным полем и ударяясь об атомы газа, ионизируют их. Создается область пространственного заряда, откуда ионы того же знака, что и острие, выталкиваются полем, увлекая за собой атомы газа. Поток атомов и ионов, направленный от острия, создает впечатление «стекания зарядов». При этом острие разрежается попадающими на него ионами противоположного знака. Возникающее при этом ощутимое движение газа у острия называют «электрическим ветром».

Проводник во внешнем электрическом поле:

При внесении незаряженного проводника в электрическое поле его электроны (свободные заряды) приходят в движение, на поверхности проводника появляются индуцированные заряды, поле внутри проводника равно нулю. Это используют для электростатической защиты, т.е. экранировки электро- и радиоприборов (и человека) от влияния электростатических полей. Прибор окружают проводящим экраном (сплошным или в виде сетки). Внешнее поле компенсируется внутри экрана полем возникающих на его поверхности индуцированных зарядов.

Мы видели, что поверхность проводника, как нейтрального, так и заряженного, является эквипотенциальной поверхностью (§ 24) и внутри проводника напряженность поля равна нулю (§ 16). То же относится и к полому проводнику: поверхность его есть поверхность эквипотенциальная и поле внутри полости равно нулю, как бы сильно ни был заряжен проводник, если, конечно, внутри полости нет изолированных от проводника заряженных тел.

Этот вывод был наглядно продемонстрирован английским физиком Майклом Фарадеем (1791-1861), обогатившим науку рядом крупнейших открытий. Его опыт состоял в следующем. Большая деревянная клетка была оклеена листами станиоля (оловянной бумагой), изолирована от Земли и сильно заряжена при помощи электрической машины. В клетку помещался сам Фарадей с очень чувствительным электроскопом. Несмотря на то, что с внешней поверхности клетки при приближении к ней тел, соединенных с Землей, вылетали искры, указывая этим на большую разность потенциалов между клеткой и Землей, электроскоп внутри клетки не показывал никакого отклонения (рис. 53).

Рис. 53. Опыт Фарадея

Видоизменение этого опыта показано на рис. 54. Если сделать из металлической сетки замкнутую полость и привесить листочки бумаги с внутренней и внешней сторон полости, то обнаружим, что отклоняются лишь наружные листочки. Это показывает, что электрическое поле существует только в пространстве между клеткой и окружающими ее предметами, т. е. снаружи клетки; внутри же клетки поле отсутствует.

Рис. 54. Видоизменение опыта Фарадея. Металлическая клетка заряжена. Листочки бумаги снаружи отклоняются, указывая на наличие заряда на внешних поверхностях стен клетки. Внутри клетки заряда нет, листочки бумаги не отклоняются

При зарядке любого проводника заряды распределяются в нем так, что электрическое поле внутри него исчезает, и разность потенциалов между любыми точками обращается в нуль. Посмотрим, каким образом для этого должны разместиться заряды.

Зарядим полый проводник, например полый изолированный шар 1 (рис. 55), имеющий небольшое отверстие. Возьмем маленькую металлическую пластинку 2, укрепленную на изолирующей ручке («пробную пластинку»), коснемся ею какого-либо места внешней поверхности шара и затем приведем в соприкосновение с электроскопом. Листки электроскопа разойдутся на некоторый угол, указывая этим, что пробная пластинка при соприкосновении с шаром зарядилась. Если мы, однако, коснемся пробной пластинкой внутренней поверхности шара, то пластинка будет оставаться незаряженной, как бы сильно ни был заряжен шар. Почерпнуть заряды можно только с внешней поверхности проводника, а с внутренней это оказывается невозможным. Более того, если мы предварительно зарядим пробную пластинку и коснемся ею внутренней поверхности проводника, то весь заряд перейдет на этот проводник. Это происходит независимо от того, какой заряд уже имелся на проводнике. В § 19 мы подробно разъяснили это явление. Итак, в состоянии равновесия заряды распределяются только на внешней поверхности проводника. Конечно, если бы мы повторили с полым проводником опыт, изображенный на рис. 45, касаясь проводника концом проволоки, ведущей к электрометру, то убедились бы, что вся поверхность проводника, как внешняя, так и внутренняя, есть поверхность одного потенциала: распределение зарядов по внешней поверхности проводника есть результат действия электрического поля. Только тогда, когда весь заряд перейдет на поверхность проводника, установится равновесие, т. е. внутри проводника напряженность поля сделается равной нулю и все точки проводника (внешняя поверхность, внутренняя поверхность и точки в толще металла) будут иметь один и тот же потенциал.

Рис. 55. Исследование распределения заряда в проводнике 1 при помощи пробной пластинки 2. Внутри полости проводника заряда нет

Таким образом, проводящая поверхность вполне защищает область, которую она окружает, от действия электрического поля, созданного зарядами, расположенными на этой поверхности или вне ее. Линии внешнего поля оканчиваются на этой поверхности, в проводящем слое они не могут проходить, и внутренняя полость оказывается свободной от поля. Поэтому такие металлические поверхности называются электростатическими защитами. Интересно отметить, что даже поверхность, сделанная из металлической сетки, может служить защитой, если только сетка достаточно густа.

31.1. В центре полого изолированного металлического шара находится заряд. Отклонится ли заряженный грузик, подвешенный на шелковой нити и помешенный вне шара? Разберите подробно, что при этом происходит. Что будет, если шар заземлен?

31.2. Почему пороховые склады для защиты от удара молний окружают со всех сторон заземленной металлической сеткой? Почему введенные в такое здание водопроводные трубы должны быть также хорошо заземлены?

Тем обстоятельством, что заряды распределяются на внешней поверхности проводника, часто пользуются на практике. Когда желают полностью перенести заряд какого-нибудь проводника на электроскоп (или электрометр), то к электроскопу присоединяют по возможности замкнутую металлическую полость и вводят заряженный проводник внутрь этой полости. Проводник полностью разряжается, и весь его заряд переходит на электроскоп. Это приспособление в честь Фарадея называют «фарадеевым цилиндром», так как на практике эта полость чаще всего выполняется в виде металлического цилиндра. Мы уже пользовались этим свойством фарадеева цилиндра (стакана) в опыте, изображенном на рис. 9, и подробно разъяснили его в § 19.

Ван-де-Грааф предложил использовать свойства фарадеева цилиндра для получения очень высоких напряжений. Принцип действия его генератора показан на рис. 56. Бесконечная лента 1 из какого-нибудь изолирующего материала, например шелка, движется при помощи мотора на двух роликах и одним своим концом заходит внутрь полого, изолированного, от Земли металлического шара 2. Вне шара лента при помощи кисточки 3 заряжается каким-либо источником, например батареей или электрической машиной 4, до напряжения 30-50 кВ относительно Земли, если второй полюс батареи или машины заземлен. Внутри шара 2 заряженные участки ленты касаются кисточки 5 и полностью отдают шару свой заряд, который сейчас же перераспределяется по внешней поверхности шара. Благодаря этому ничто не препятствует непрерывному переносу заряда на шар. Напряжение между шаром 2 и Землей непрерывно увеличивается. Таким образом можно получить напряжение в несколько миллионов вольт. Подобные машины применяли в опытах по расщеплению атомных ядер.

Рис. 56. Принцип устройства генератора Ван-де-Граафа

31.3. Мог бы описанный выше генератор Ван-де-Граафа работать, если бы шар его был сделан из изолирующего материала или если бы транспортерная лента в нем была проводящей (металлической)?

Идеальной физической моделью заряда в электростатике является точечный заряд.

Точечным зарядом называется заряд, сосредоточенный на теле, размерами которого можно пренебречь по сравнению с расстоянием до других тел или до рассматриваемой точки поля. Иными словами, точечный заряд - это материальная точка, которая имеет электрический заряд.

Если заряженное тело настолько велико, что его нельзя рассматривать как точечный заряд, то в этом случае необходимо знать распределение зарядов внутри тела.

Выделим внутри заряженного тела малый объем и обозначим через электрический заряд, находящийся в этом объеме. Предел отношения , когда объем неограниченно уменьшается, называют объемной плотностью электрического заряда в данной точке . Обозначают ее буквой :

Единицей объемной плотности заряда в СИ является кулон на кубический метр (Кл/м 3).

В случае неравномерно заряженного тела плотность различна в разных точках. Распределение заряда в объеме тела задано, если известно как функция координат.

В металлических телах заряды распределяются только внутри тонкого слоя, прилегающего к поверхности. В этом случае удобно пользоваться поверхностной плотностью заряда , которая представляет собой предел отношения заряда к площади поверхности, по которой распределен этот заряд:

где - заряд, находящийся на участке поверхности площадью .

Следовательно, поверхностная плотность заряда измеряется зарядом, приходящимся на единицу поверхности тела. Распределение зарядов по поверхности описывается зависимостью поверхностной плотности (x, y, z) от координат точек поверхности.

Единицей поверхностной плотности заряда в СИ является кулон на квадратный метр (Кл/м 2).

В том случае, если заряженное тело по форме представляет собой нить (диаметр поперечного сечения тела много меньше его длины , удобно использовать линейную плотность заряда

где - заряд, находящийся на длине тела.

Единицей линейной плотности заряда в СИ является кулон на метр (Кл/м).

Если известно распределение зарядов внутри тела, то можно вычислить напряженность электростатического поля, создаваемого этим телом. Для этого заряженное тело мысленно разбивают на бесконечно малые части и, рассматривая их как точечные заряды, вычисляют напряженность поля, создаваемую отдельными частями тела. Суммарную напряженность поля находят затем суммированием полей, создаваемых отдельными частями тела, т.е.

Проводниками называют тела с высокой концентрацией свободных заряженных частиц, способных перемещаться под действием электрического поля. Если сообщить проводнику некоторый избыточный заряд, то составляющие его свободные заряженные частицы будут перемещаться (положительные - в область с меньшим потенциалом, отрицательные - наоборот) до тех пор, пока потенциалы во всех точках проводника не станут одинаковыми. При этом достигается состояние, когда внутри проводника напряженность равна нулю, а на поверхности векторы напряженности перпендикулярны к ней. Если выбрать внутри проводника замкнутую поверхность S , которая очень близка к поверхности проводника (рис. 37.1), то в соответствии с теоремой Гаусса поток вектора напряженности через эту поверхность будет равен нулю. Это означает, что внутри нее заряд отсутствует и весь избыточный заряд распределяется по внешней поверхности проводника. Выясним, от чего зависит поверхностная плотность заряда.

Для этого рассмотрим два металлических шарика, соединенных тонкой проволокой (рис. 37.2). Шарики и проволока составляют единый проводник и потому потенциалы их одинаковы во всех точках. Потенциал первого шарика равен , площадь его поверхности . Выразим заряд и поверхностную плотность заряда на поверхности этого шарика:

; .

Аналогичные выражения получаются для второго шарика:

; .

Разделив выражения для плотностей заряда, находим

Заряд, сообщенный проводнику, распределяется по внешней поверхности проводника, при этом поверхностная плотность заряда обратно пропорциональна радиусу поверхности.

Величина, обратная радиусу поверхности в данной ее точке,называетсякривизной поверхности. Там, где меньше радиус, кривизна поверхности больше, и наоборот. У выступов и заострений кривизна поверхности максимальна, согласно выражению (37.1) там будет максимальна и поверхностная плотность заряда.

Таким образом, приходим к заключению:

Все точки внутри и на поверхности заряженного проводника имеют одинаковый потенциал,

В проводниках электрические заряды могут свободно перемещаться под действием поля. Силы, действующие на свободные электроны металлического проводника, помещенного во внешнее электростатическое поле, пропорциональны напряженности этого поля. Поэтому под действием внешнего поля заряды в проводнике перераспределяются так, чтобы напряженность поля в любой точке внутри проводника была равна нулю.

На поверхности заряженного проводника вектор напряженности должен быть направлен по нормали к этой поверхности, иначе под действием составляющей вектора , касательной к поверхности проводника, заряды перемещались бы по проводнику. Это противоречит их статическому распределению. Таким образом:

1. Во всех точках внутри проводника , а во всех точках его поверхности , .

2. Весь объем проводника, находящегося в электростатическом поле, является эквипотенциальным, в любой точке внутри проводника:

Поверхность проводника также эквипотенциальна, так как для любой линии поверхности

3. В заряженном проводнике нескомпенсированные заряды располагаются только на поверхности проводника. Действительно, проведем внутри проводника произвольную замкнутую поверхность , ограничивающую некоторый внутренний объем проводника (рис.1.3.1). Тогда согласно теореме Гаусса суммарный заряд этого объема равен:

так как в точках поверхности , находящихся внутри проводника, поля нет.

Определим напряженность поля заряженного проводника. Для этого выделим на его поверхности произвольную малую площадку и построим на ней цилиндр высоты с образующей, перпендикулярной к площадке , с основаниями и , параллельными . На поверхности проводника и вблизи нее векторы и перпендикулярны к этой поверхности, и поток вектора сквозь боковую поверхность цилиндра равен нулю. Поток электрического смещения сквозь также равен нулю, так как она лежит внутри проводника, и во всех ее точках .

Поток смещения сквозь всю замкнутую поверхность цилиндра равен потоку сквозь верхнее основание :

По теореме Гаусса этот поток равен сумме зарядов , охватываемых поверхностью:

где - поверхностная плотность зарядов на элементе поверхности проводника. Тогда

И , так как .

Таким образом, если электростатическое поле создается заряженным проводником, то напряженность этого поля на поверхности проводника прямо пропорциональна поверхностной плотности зарядов, находящихся в нем.

Исследования распределения зарядов на проводниках различной формы, находящихся в однородном диэлектрике вдали от других тел показали, что распределение зарядов во внешней поверхности проводника зависит только от ее формы: чем больше кривизна поверхности, тем больше плотность зарядов ; на внутренних поверхностях замкнутых полых проводников избыточные заряды отсутствуют и .

Большая величина напряженности поля вблизи острого выступа на заряженном проводнике приводит к электрическому ветру. В сильном электрическом поле около острия положительные ионы, имеющиеся в воздухе, движутся с большой скоростью, сталкиваясь с молекулами воздуха и ионизируя их. Возникает все большее число движущихся ионов, образующих электрический ветер. Вследствие сильной ионизации воздуха около острия оно быстро теряет электрический заряд. Поэтому для сохранения заряда на проводниках стремятся, чтобы поверхности их не имели острых выступов.

1.3.2.ПРОВОДНИК ВО ВНЕШНЕМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ

Если незаряженный проводник внести во внешнее электростатическое поле, то под влиянием электрических сил свободные электроны будут перемещаться в нем в направлении, противоположном направлению напряженности поля. В результате этого на двух противоположных концах проводника появятся разноименные заряды: отрицательный на том конце, где оказались лишние электроны, и положительный - на том, где электронов не хватает. Эти заряды называются индуцированными. Явление, состоящее в электризации незаряженного проводника во внешнем электрическом поле путем разделения на этом проводнике уже имеющихся в нем в равных количествах положительных и отрицательных электрических зарядов, называется электризацией через влияние или электростатической индукцией. Если проводник удалить из поля, индуцированные заряды исчезают.

Индуцированные заряды распределяются по внешней поверхности проводника. Если внутри проводника имеется полость, то при равномерном распределении индуцированных зарядов поле внутри нее равно нулю. На этом основана электростатическая защита. Когда прибор хотят оградить (экранировать) от внешних полей, его окружают проводящим экраном. Внешнее поле компенсируется внутри экрана возникающими на его поверхности индуцированными зарядами.

1.3.3.ЭЛЕКТРОЕМКОСТЬ УЕДИНЕННОГО ПРОВОДНИКА

Рассмотрим проводник, находящийся в однородной среде вдали от других проводников. Такой проводник называется уединенным. При сообщении этому проводнику электричества, происходит перераспределение его зарядов. Характер этого перераспределения зависит от формы проводника. Каждая новая часть зарядов распределяется по поверхности проводника подобно предыдущей, таким образом, при увеличении в раз заряда проводника во столько же раз возрастает поверхностная плотность заряды в любой точке его поверхности , где - некоторая функция координат рассматриваемой точки поверхности.

Поверхность проводника разобьем на бесконечно малые элементы , заряд каждого такого элемента равен , и его можно считать точечным. Потенциал поля заряда в точке, отстоящей от него на расстояние равен:

Потенциал в произвольной точке электростатического поля, образованного замкнутой поверхностью проводника, равен интегралу:

Для точки, лежащей на поверхности проводника, является функцией координат этой точки и элемента . В этом случае интеграл зависит только от размеров и формы поверхности проводника. При этом для всех точек проводника потенциал одинаков, поэтому и значения одинаковы.

Считается, что потенциал незаряженного уединенного проводника равен нулю.

Из формулы (1.3.1) видно, что потенциал уединенного проводника прямо пропорционален его заряду. Отношение называется электрической емкостью

Электроемкость уединенного проводника численно равна электрическому заряду, который нужно сообщить этому проводнику для того, чтобы потенциал проводника изменился на единицу. Электроемкость проводника зависит от его формы и размеров, причем геометрически подобные проводники обладают пропорциональными емкостями, так как распределение зарядов на них также подобно, а расстояния от аналогичных зарядов до соответствующих точек поля прямо пропорциональны линейным размерам проводников.

Потенциал же электростатического поля, создаваемого каждым точечным зарядом, обратно пропорционален расстоянию от этого заряда. Таким образом, потенциалы одинаково заряженных и геометрически подобных проводников изменяются обратно пропорционально их линейным размерам, а емкости этих проводников – прямо пропорционально.

Из выражения (1.3.2) видно, что емкость прямо пропорциональна диэлектрической проницаемости среды. Ни от материала проводника, ни от его агрегатного состояния, ни от формы и размеров возможных полостей внутри проводника его емкость не зависит. Это связано с тем, что избыточные заряды распределены только на внешней поверхности проводника. не зависит также от и .

Единицы емкости: - фарад, производные от него ; .

Емкость Земли как проводящего шара () равна .

1.3.4. ВЗАИМНАЯ ЭЛЕКТРОЕМКОСТЬ. КОНДЕНСАТОРЫ

Рассмотрим проводник , вблизи которого имеются другие проводники. Этот проводник уже нельзя считать уединенным, его емкость окажется большей, чем емкость уединенного проводника. Это связано с тем, что при сообщении проводнику заряда окружающие его проводники заряжаются через влияние, причем ближайшими к наводящему заряду оказываются заряды противоположного знака. Эти заряды несколько ослабляют поле, создаваемое зарядом . Таким образом, они понижают потенциал проводника и повышают его электроемкость (1.3.2).

Рассмотрим систему, составленную из близко расположенных проводников, заряды которых численно равны, но противоположны по знаку. Обозначим разность потенциалов между проводниками , абсолютная величина зарядов равна . Если проводники находятся вдали от других заряженных тел, то

где - взаимная электроемкость двух проводников:

- она численно равна заряду, который необходимо перенести с одного проводника на другой для изменения разности потенциалов между ними на единицу.

Взаимная электроемкость двух проводников зависит от их формы, размеров и взаимного расположения, а также от диэлектрической проницаемости среды. Для однородной среды .

Если один из проводников удалить, то разность потенциалов возрастает, и взаимная емкость убывает, стремясь к значению емкости уединенного проводника.

Рассмотрим два разноименно заряженных проводника, у которых форма и взаимное расположение таковы, что создаваемое ими поле сосредоточено в ограниченной области пространства. Такая система называется конденсатором.

1.Плоский конденсатор имеет две параллельные металлические пластины площадью , расположенные на расстоянии одна от другой (1.3.3). Заряды пластин и . Если линейные размеры пластин велики по сравнению с расстоянием , то электростатическое поле между пластинами можно считать эквивалентным полю между двумя бесконечными плоскостями, заряженными разноименно с поверхностными плотностями зарядов и , напряженность поля , разность потенциалов между обкладками , тогда , где - диэлектрическая проницаемость среды, заполняющей конденсатор.

2.Сферический конденсатор состоит из металлического шара радиусом , окруженного концентрическим с ним полым металлическим шаром радиусом , (рис.1.3.4). Вне конденсатора поля, создаваемые внутренней и внешними обкладками, взаимно уничтожаются. Поле между обкладками создается только зарядом шара , так как заряд шара не создает внутри этого шара электрического поля. Поэтому разность потенциалов между обкладками: , тогда

Пример цилиндрического конденсатора – лейденская банка. Если зазор между обкладками конденсатора мал , то и , где - боковая площадь обкладки.

Таким образом, электроемкость любого конденсатора пропорциональна диэлектрической проницаемости вещества, заполняющего зазор между обкладками.

Кроме электроемкости конденсатор характеризуется пробивным напряжением. Это разность потенциалов между обкладками, при которой может произойти пробой.

1.3.5. СОЕДИНЕНИЯ КОНДЕНСАТОРОВ

1. Параллельное соединение. Рассмотрим батарею конденсаторов, соединенных одноименными обкладками (рис.1.3.6). Емкости конденсаторов соответственно равны . Разности потенциалов для всех конденсаторов одинаковы, поэтому заряды на обкладках всегда меньше минимальной электроемкости, входящей в батарею.